国际汇款-九年级下学期班主任工作计划

第四讲·平方差、完全平方、立方和差 主讲·汪老师
第四讲·平方差、完全平方、立方和差
主讲·汪老师

 知识归纳
二、平方差、完全平方、立方和差基本知识点
1、平方差
1）
语言叙述：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差。

2）
字母表示：(a+b)(a－b)=a－b （a,b可以表示任意的数，也可以表示
整式）

22
2、完全平方
1）语言叙述两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们
的积的 倍．
2）字母表示：
(ab)
2


(ab)
2




口诀：首平方，尾平方，积的两倍放中央（加减看前方，同号加异号减）

3、立方和与立方差
1）语言叙述：
两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和.
两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.
2）字母表示
(a－b)(a
2
+ab+b
2
) ＝a
3
－b
3

(a+b)(a
2
-ab+b
2
) ＝a
3
+b
3








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第四讲·平方差、完全平方、立方和差 主讲·汪老师
 实际操练
例1 (1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
1
2
1
a+b)(b－
2
A.(x+1)(1+x)














B.(a)
C.(－a+b)(a－b)
E.(－a－b)(a－b)
D.(x2－y)(x+y2)
F.(c
2
－d
2
)(d
2
+c
2
)
例2利用平 方差公式计算：（会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法
运算带来的方便，进一步熟悉平方 差公式.）
（1）(5+6x)(5－6x); （2） (x－2y)(x+2y);
（3）(－m+n)(－m－n).
例3 利用平方差公式计算：
1
4
1
4
(1)(－x－y)(－x+y);
(2)(ab+8)(ab－8);
(3)(m+n)(m－n)+3n
2
.
1
4
1
4
1
4
解：(1)(－x－y)(－x+y) (－x)与y的和与差的积）
1
4
1
4
=(－x)
2
－y
2
(利用平方差公式得(－x)与y的平方差)
1
=
16
x
2
－y
2
（运算至最后结果）
(2)(ab+8)(ab－8) （ab与8的和与差的积）
=(ab)
2
－8
2
(利用平方差公式得ab与8的平方差)
=a
2
b
2
－64 (运算至最后结果)
(3)(m+n)(m－n)+3n
2
(据运算顺序先计算m与n的和与差的积)
=(m
2
－n
2
)+3n
2
(利用平方差公式)

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=m
2
－n
2
+3n
2
(去括号)
=m
2
+2n
2
（合并同类项至最简结果）
例4 计算：（延伸公式应用）
（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)； （2）(m
2
＋n－7)(m
2
－n－7)．
解：（1）(a＋b－3)(a＋b＋3) （2）(m
2
＋n－7)(m
2
－n－7)
＝[(a＋b)－3][(a＋b)＋3] ＝[(m
2
－7)＋n][(m
2
－7)－n]
＝(a＋b)
2
－9＝a
2
＋2ab＋b
2
－9． ＝(m
2
－7)
2
－n
2

＝m
4
－14m
2
＋49－n
2
．


例5．应用完全平方公式计算：
222
（1）
(4mn)
（2）
(y)

（3）
(ab)
（4）
(2xy)

1
2
2




例6.计算：
22
（1）
(x2y)(x2y)(x4y)
； （2）
(a3b)(a3b)
；
1
2
2
1
2
2




（3）
(2x3y4)(2x3y4)
.





方法小结：（1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方 法则，再用
乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差< br>公式。


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例7：1、已知
x




11
3
，则
x
2

2

_________ _______
x
x
例8、已知
x
2
2(m1)xy 16y
2
是完全平方公式，则
m
=



回顾小结：
1.完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a b）
2
＝a
2
2ab+b
2
;
平方差公式的结果是两项， 即（a+b）（a−b）＝a
2
−b
2
.
2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab
时不少乘2。
3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。

公式的逆用：


平方差公式和完全平方公式的逆运用
由

ab

ab

a
2
b
2 反之
a
2
b
2


ab

ab



ab

2
 a
2
2abb
2

例9、填空：
2
（1）< br>a4(a2)(
2
（4）
x64(
反之
a
2
2abb
2


ab


2
)
（2）
25x
2
(5x)(
)(< br>)
（3）
m
2
n
2
(
)

)()

)
（5）
4m
2
49(2m7)(
4422
（6）
am(am)()(a
2
m
2< br>)(
2
)()

（7）若
x4xk(x2)
，则k =
2
（8）若
xkx9
是完全平方式，则k =

2
例10、 计算：1.

a1

a
2
2a4
2．

2xy1



2xy1


222






例11、计算:
（1）
(xy3)
（2）
(abc)


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例12、1）已知
x y4,xy2
，则
(xy)
2
=
< br>22
已知
(ab)
2
7,(ab)
2
3，求
ab
________，
ab
________

3）不论
a、b
为任意有理数，
ab4a2b7
的值总是（ ）
A.负数 B.零 C.正数 D.不小于2

2
4）已知：
ab3,ab1
，求（1）
ab
；（2）
(a b)
；（3）
abab
；
2222
22
（4）









11ba

；（5）

。
abab

例13、立方和或立方差公式：
3
(1)(x-3)( )＝x-27； (2)(2x+3)( )＝8x
3
+27；
(3)(x
2
+2)( )＝x
6
+8； (4)(3a-2)( )＝27a
3
-8
(5)( )(a
2
+2ab+4b
2
)＝__________； (6)( )(9a
2
-6ab+4b
2
)＝__________；
1
(7)( )( -xy+4y
2
)＝__________； (8)( )(m
4
+4m
2
+16)＝__________
4


例14、 计算：
115
(1)(3+2y)(9-6y+4y
2
)； (2)(5a-b
2
)(25a
2
+b
4
+ab
2
)；
242




(3)(2x-5)(4x
2
+25+10x) (4)(x2
-y
2
)(x
4
+x2y
2
+y
4
)



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例15、 已知x
2
+y
2
= 6，xy=2，求x
6
+y
6
的值．


例16、

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