人教版高中数学必修4-3.2《积化和差与和差化积》教学设计各种作文

兰亭集序原文及翻译-三江学院教务网

3.2 简单的三角恒等变换
3.2.1 积化和差与和差化积(卓忠越)
一、教学目标
(一)核心素养
通过本节的学习，让学生自己导出“积化和差”及 “和差化积”公式，领会这些三角恒等
变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；增强学生灵活运
用数学知识解决实际问题的能力．
(二)学习目标

1．能够推导“和差化积”及“积化和差”公式；
2．能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三
角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题；
3．揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．
(三)学习重点

1．推导“和差化积”及“积化和差”公式；
2．运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形
公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．
(四)学习难点
运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公
式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．
二、教学设计
(一)课前设计
1．预习任务
(1)强化巩固前一节所学的三角公式，并填空：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(



)

sin

cos

cos

sin

；
sin( 


)sin

cos

cos
sin


cos(



)

cos

cos

sin

sin

；
cos( 


)cos

cos

sin
sin


tan(



) tan

tan

tan

tan
 ；
tan(



)
；
1tan
tan

1tan

tan


二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2

2sin
cos

；
cos2


cos
2

sin
2

2cos
2

11 2sin
2

；
tan2


(2)阅读教材P 140例2，熟悉公式的推导，并填空：
sin

cos


2tan


2
1tan

1






cos

sin(



)sin(



)

；
sin

sin 

2sin
222
2．预习自测
(1)下列等式错误的是（）
A．
sin(AB)sin(AB)2sinAcosB

B．
sin(AB)sin(AB)2cosAsinB
C．
cos(AB )cos(AB)2cosAcosB

D．
cos(AB)cos(AB)2sinAcosB

【知识点】两角和与差的正、余弦公式
【解题过程】由两角和与差的正、余弦公式展开左边即可
【思路点拨】cos(A +B)=cosAcosB－sinAcosB,cos(A－B)=cosAcosB＋sinAcosB,
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB- cosAsinB
．

A项正确，B项正确，C项正确．D项，cos(A +B)－ cos(A－B)=cosAcosB－sinAcosB-(cosAcosB
＋sinAcosB) =－2sinAcosB．
【答案】D
(2)根据预习所学，尝试证明：
1
sin(



)sin(



)

；
2




Ⅱ．
sin

sin


2cos
． sin
22
Ⅰ．
cos

sin


【知识点】积化和差、和差化积公式推导
【数学思想】类比思想、方程思想、换元思想
【解题过程】
Ⅰ．∵
sin(



)sin

cos

cos

sin

；① sin(



)sin

cos
cos

sin

；②
将①

②得：sin(



)sin(



)2cos

sin


∴
cos

s in


1

sin(



) sin(



)


2

Ⅱ．由第一问的结论，
sin(



)sin( 


)2cos

sin


设





，





，则


∴
sin

sin

2cos



2
，





2




2
sin


2

【思路点拨】类比例2，用解方程的思想表示
cos

sin

，用换元的思想表示
sin

sin

．
【答案】见解题过程
(3)
sin15sin75
（）
111
A． B． C． D．1
842
【知识点】积化和差
【数学思想】化归思想，将非特殊角化为特殊角
【解题过程】
sin15sin7 5
111
cos(1575)cos(1575)cos90c os60


224
【思路点拨】正确使用积化和差公式即可得解
【答案】B




(4)函数
ysin(x )sinx,x

0,

的值域是（）
3

2


13

13


1
2,2
A．

B．

,

C．

,1

D．

,



2


22
22

【知识点】和差化积
【数学思想】化归思想，统一角度 
【解题过程】
ysin(x)sinx=2cos(x)sinco s(x)

3666

13



 2




∵
x

0,

∴
x+

,
∴
y

,



2663
22


【思路点拨】正确使用和差化积公式即可得解
【答案】B
(二)课堂设计
1．知识回顾
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(



)

sin

cos

cos

sin

；
sin( 


)sin

cos

cos
sin


cos(



)

cos
cos

sin

sin

； cos(



)cos

cos

sin

sin


tan(



)
tan

tan

tan

ta n

；
tan(



)
；
1tan

tan

1tan

tan
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2

2sin

cos

；
cos2


cos
2
 sin
2

2cos
2

112sin 2

；
tan2


(3)半角公式
2tan


1tan
2

sin
 2

1cos


1cos

1cos

；
cos
；
tan

22221cos

2．问题探究
探究一推导“和差化积”及“积化和差”公式
●活动① 运用解方程的思想，推导积化和差公式
sin(



)sin(



) 2sin

cos

sin

cos


1

sin(



)sin(



)


2
1
sin(


)sin(



)2cos
sin

cos

sin



s in(



)sin(



)

2
1
cos(



)cos (



)2cos

cos

co s

cos



cos(



)cos(



)


2
1
cos(



)cos(


 )2sin

sin

sin

sin



cos(



)cos(



)


2
这组公式有何特点？应注意些什么？
这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，它的优点在于将“积式”化为“和差”，且
实现了“降次”，有利于简化计算．
【设计意图】用解方程的思想，由已有知识自然过渡引出新知识，便于学生接受．
例1 求
sin

12
cos
5

的值
12
【知识点】积化和差公式应用
【解题过程】
sin

12
cos
5

1


5

5


1



13



sin()sin()



sinsin()

122

12121212

2
23

24
【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可．
13
【答案】


24
同类训练：求
sin

12
sin
5

的值
12

【知识点】积化和差公式应用
【解题过程】
sin

12
sin
5

1


5

5


1



1

cos()cos()



coscos()



122

12121212

2
 23

4
【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可．
【答案】
1

4
●活动② 运用换元的思想，推导和差化积公式 在积化和差公式中，若令





，
 



，则


什么？
sin

sin

2sin



2
，





2
将其依次代入，可得

22






sin
 sin

2cossin
22






cos

cos

2coscos22






cos

cos

2sinsin
22
cos





观察这组公式的特点：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余) 弦之和(差)可以化
为积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用．
11
例2 已知
cos

cos

,sin

sin 

，求
tan(



)
的值
23
【知识点】和差化积公式应用
【解题过程】∵
cos

cos

2sin
sin

sin

 2cos



2
sin



2

1
①
2
1

②
2 23






3



3
又∵
sin0
∴
tan
∴
tan

22222



2tan
12
2

∴
tan(



)


5
1tan
2
2



【思路点拨】由和差化积先得
tan
，再由二倍角公式得
tan(



)

2
12
【答案】


5
同类训练 sin105°＋sin15°等于（）
sin






A．
3266
B． C． D．
2224
【知识点】和差化积公式应用
【解题过程】
105
o
15
o
105
o
15
o
6
sin 105°＋sin15°＝2
sin
＝2sin60°cos45°＝
cos
22
2
【思路点拨】由和差化积将角化为特殊角求值
【答案】C
【设计意图】从正弦、余弦的和(差)角公式出发，逐步推导出积化和差、和差化积公式，再简
单应用，增强学生对公式掌握的熟练度．
探究二两组公式在三角函数变形中的应用
三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化简三角函数式及
三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数的变形中是十分重要
的．
例3 求sin75°·cos15°的值
【知识点】积化和差公式应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】(法一)考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．
sin75.cos15
1123


sin(751 5)sin(7515)

(sin90sin60)
224 (法二)由于75°与15°互为余角，可以统一角度
sin75.cos15sin7 5.sin75sin
2
75
1cos15023


24
(法三)由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以可用和差角的三角函数公式来解决
sin75sin(4530)sin45cos30cos45 sin30
62

4
62
2
23

)
44

62

4
cos15sin75 
∴
sin75.cos15(

【思路点拨】三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，
获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的
方法，以求问题的解决．
【答案】
23

4
【设计意图】从不同角度使用不同的三角公式，都殊途同归使得问题解决，有利于锻炼学生从
多角度思考问题并解决问题．
同类训练求sin37.5°cos7.5°＝________．
【知识点】积化和差公式应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
sin37.5.cos7.5
11

sin(37.57.5)sin(37.57.5)

(sin45sin30)
22
21

4
【思路点拨】利用积化和差公式化非特殊角为特殊角即可
【答案】
21

4
例4 求
sin20.sin40.sin60.sin80
=___________；
【知识点】积化和差公式应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】∵
sin60
3
，
2
111
s in20sin40sin80(cos60cos20).sin80sin80 cos20sin80

242
111133

sin80 (sin100sin60)sin80sin100
444488
∴
sin20.sin40.sin60.sin80
3

16
【思路点拨】利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角
【答案】
3

16
同类训练求
cos20cos40cos80
的值．

【知识点】积化和差公式应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
1
(法一)
cos20cos40cos80(cos60cos20 ).cos80

2
1111
cos80cos20.cos80 cos80(cos100cos60)

4244
1111
cos80cos80cos60

4448
2sin20cos20cos40cos80
(法二)
cos2 0cos40cos80=

2sin20
2sin40cos40co s802sin80cos80sin160sin201
=

4 sin208sin208sin208sin208
【思路点拨】法一利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角；法二是配凑法构
造正弦二倍角公式，是化简形如
cos
、cos2

、cos4

、Lcos2
n

的三角函数式的常用办法．
1
【答案】
8
例5 求
sin42cos12sin54
的值
【知识点】和差化积公式应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
sin42cos12sin54 sin42sin78sin54

2cos60sin18sin54sin54sin18

 2cos36sin182cos36cos72
2sin36cos36cos72 

sin36
1
sin144
sin72cos722
1


sin36sin362
【思路点拨】三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式．由于有现成的同名角
函数为
sin42, sin54
，因此考虑将这二个函数做和差化积．但本题若采用此法则无后续手段，
问题的解决将十分困难．不妨将
cos12
转化为
sin78
，使得能出现特殊角，问题迎刃而解．
【答案】
1

2
2

4

6

的值
coscos
777
同类训练求
cos
【知识点】和差化积公式应用
【数学思想】化归思想

【解题过程】
cos
2

4

6

3

6


coscos=2coscoscos
777777
3

3

3

3

=2coscos2cos
2
12cos(coscos)1

777777
4

2

-4coscoscossin
3

2

7777
1

4cosc oscos1

777
sin
7
4

2

2

4

4

18

-2c oscossin-cossinsin
777
1
77
1
27
1


sin

7
sin

7
sin

7
1

sin
7
1 1


2

2
sin
7
【思路点拨】由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中
的两个先作和差化积．采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，
再利用余弦的倍角进一步完成本题．
1
【答案】


2
例6 求证：
sin3 
sin
3

cos3

cos
3

cos
3
2


【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用
【解题过程】左边=
(sin3

sin

)sin
2

(cos3

cos

)cos
2


11
(cos4 
cos2

)sin
2

(cos4

cos2

)cos
2


22
11 11
cos4

sin
2

cos2
sin
2

cos4

cos
2

cos2

cos
2


2222
111
cos4

cos2

cos2

cos2

(cos4

1)

222
1
cos2 
.2cos
2
2

cos
3
2

=右边
2
∴原式得证
【思路点拨】使用积化和差公式降次，同时朝着统一角度为
2

的方向变形
【答案】详见解题过程
同类训练化简
sinA2sin3Asin5A

sin3A2sin5Asin7A
【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用

【解题过程】原式

(sinAsin5A)2sin 3A2sin3Acos2A2sin3A


(sin3Asin7A)2s in5A2sin5Acos2A2sin5A

2sin3A(cos2A1)sin3 A


2sin5A(cos2A1)sin5A
【思路点拨】使用和差化积公式统一角从而使式子化简
【答案】
sin3A

sin5A
3．课堂总结
知识梳理
(1)积化和差公式
sin

cos


1

sin(



)sin(



)


2
1
cos

sin



sin(



)sin(



)


2
1
cos

cos



cos(



)cos(



) 

2
1
sin

sin

 
cos(



)cos(



)


2
(2)和差化积公式
sin
sin

2sin



22






sin

sin

2cossin
22






cos

cos

2coscos
22

 



cos

cos

 2sinsin
22
cos




重难点归纳
(1)和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有系数绝对值相同的同名函数的和与差才
能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名
函数后，再运用积化和差公式化成积的形式；
(2)三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角
公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差．
(三)课后作业
基础型自主突破
1．sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=_________；

【知识点】积化和差公式的应用
【数学思想】化归思想
11
【解题过程】
sin20.cos70sin10.sin50(sin90sin 50)(cos60cos40)

22
11111
sin50cos40

22424
【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值
1

4
2．cos72°－cos36°的值为（）
【答案】
11
A．3－23 B．
2
C．－
2
D．3＋23
【知识点】和差化积公式的应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】原式
2sin
723672 36
sin2sin54sin18

22
sin36°co s36°cos72°
＝－2cos36°cos72°＝－2·
sin36°
＝－
sin72°cos72°sin144°1
＝－＝－
sin36°2sin36°2

【思路点拨】化差为积，观察到
54、18
分别与
36、7 2
互余，且
36,72
为二倍角关系，变形方
向就比较明确了．
【答案】C
1
3．若
cos(



) cos(



)
，则
cos
2
sin
2

等于（）
3
2112
A．－
3
B．－
3
C．
3
D．
3

【知识点】积化和差公式的应用
【数学思想】化归思想
1
【解题过程】原式
cos(



)cos(



)(cos2

cos2

)

2

1
2222

(2cos

1) (12sin

)cos

sin


 
2
1
∴
cos
2

sin
2



3

【思路点拨】化积为差，并用二倍角公式化简得
cos
2

sin
2


【答案】C
4．已知




2
1
，且
cos

cos


，则
c os(



)
等于________．
33
【知识点】和差化积公式的应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
cos

cos

2cos
∴
cos(



)2cos
2



2
cos



2
2cos

3
cos



2
cos



2
1

3



2
17
121
 99
2




得
cos
，再由二倍角公式得
cos(



)

32
【思路点拨】化和为积，结合




7
【答案】
 
9

5．函数
ysin(x)cosx
的最大值为（）
6
112
A．
2
B．
4
C．1 D．
2

【知识点】积化和差辅助求三角函数的最值
【数学思想】化归思想

1 


【解题过程】
ysin(x)cosx
sin(xx)sin(xx)


62

66

1


1

1

1sin(2x)sin(2x)


2

62264

∴
y
max

111


244
【思路点拨】化积为和，将三角函数化为
yAsin(

x

)B
的形式是最值的常用方法
【答案】B
6．求证
cos 2

cos

sin5

sin2

 cos4

cos3


【知识点】积化和差辅助三角恒等证明
【数学思想】化归思想
111
【解题过程】左边
(cos3
 cos

)(cos7

cos3

)(c os

cos7

)

222

右边

1
(cos7

cos

)
2
∴左边=右边 ∴原等式得证
【思路点拨】积化和差统计角
【答案】详见解题过程
能力型师生共研
7．求
cot704cos70
的值
【知识点】三角恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】原式

cos70cos704 sin70cos70

4cos70
sin70sin70
cos702sin140sin20sin40sin40


sin70sin70
2sin30cos10sin40sin80sin40 

sin70sin70
2sin60cos20
3

sin70
【思路点拨】余切函数与余弦函数共存，首先应化切为弦，接着进行通分，最后再考虑分子的
化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．
【答案】
3

8．求
tan10sec50
的值
【知识点】三角恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】原式
cot80csc40
cos801


sin80sin40
cos802cos40(cos80cos40 )cos40


sin80sin80
2cos60.cos 20cos40cos20cos40


sin80sin80
2cos30cos10
3

sin80
【思路点拨】本题若只是简单直接进行切割化弦，后续处理会很棘手，很难得到正确结果，但
注意到
10、50
分别与
80、40
互为余角，且
80、40
为二倍角关系，便于统一角度．
【答案】
3

探究型多维突破

9．
sin
2
20 cos
2
50sin20.cos50
=__________；
【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】 (法一)原式

1
1cos401cos100
sin20 cos50

22
cos100cos401
(sin70sin30)

22
113
1sin70sin30sin70

244
(法二)原式
(sin20sin40)
2
si n20.cos50

(2sin30cos10)
2
sin20.cos50
11cos20113
cos
2
10(sin70sin30) sin70

22244
当然，也可以这样配方，
原式
(sin20sin40)
2
3sin20.cos50

3
(2cos30sin10)
2
(sin70sin30)

2
3333cos20333
3sin
2
10sin70 sin70

242244
【思路点拨】法一：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利
用余弦的倍角公式作降次处理；法二：
a 2
b
2
,ab
在一起自然想到完全平方式，再进行和差化
积、积化和差化角为特殊角．
【答案】
3

4
11
10．已知
sin

sin

,cos

cos

，求(1)
cos(



)
； (2)
cos(



)

43
【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用
【数学思想】化归思想
11
∴
sin
2

2sin

sin

sin
2


………①
416
11
∵
cos

cos


∴
cos2

2cos

cos

cos
2


………②
39
263
∴①+②得：
cos(



)

288
11
②-①得：
cos2

cos2

2cos(


)

916
【解题过程】(法一)∵
sin

s in



即：
2cos(

 
).cos(



)2cos(



)
∴
cos(



)
7

144
7
288

cos(



)1


7

25
1





1
∴
2sincos
………③
4224
1


 


1
∵
cos

cos


∴
2coscos
………④
3223



2525
③
２
＋④
２
得：
4cos
2 ，即
2

1cos(



)




2144144
263
∴
cos(



)

288



1 tan
2



3
2

7
③ ÷④得：
tan
∴
cos(



)



25
24
1tan
2
2
(法二) ∵
sin

sin


【思路点拨】求
cos(



)
利用方法一简单，求
cos(



)
利用方法二简单．一般地，已知两
角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差
【答案】
cos(



)
自助餐
1．求cos37.5°·cos22.5°=_________；
【知识点】积化和差公式的应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
cos37.5.cos22.5
11111226

(cos6 0cos15)cos15cos(4530)
242428
263 7
；
cos(



)

28825
【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值
【答案】
226

8
C
，则△ABC是（） 2
2．在△ABC中，若
sinAsinBcos
2
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
【知识点】积化和差公式的应用

【解题过程】∵
11
cos(AB)cos(AB)

(1cosC)
，又AB

C

22
∴
cos(AB)cos(

C)1cosC
∴
cos(AB)1

又∵


AB

∴
AB0
即
AB
∴△ABC为等腰三角形
【思路点拨】解三角形中常用
AB

C
，借助诱导公式减少角的数量．
【答案】B

2

3．函数
ycos(x)cos( x)
的最大值是______．
33
【知识点】积化和差公式的应用

2

1



【解题过程】∵
ycos (x)cos(x)

cos(2x

)cos()


332

3


1



11
cos2xcoscos2x


2
 3

42
∵
1cos2x1
∴
y
max

3

4
【思路点拨】通过积化和差，将式子变形为
yAcos(

x

)B
的形式便于求最值
3

4
cosAcos(120B)cos(120B)
4．化简：
sinBsin(120A)sin(120A)
【答案】
【知识点】和差化积应用于三角恒等变形
ABBA
sin
cosA2cos120cosBco sAcosB
22
tan
AB


【解题过程】原式

sinB2cos120sinAsinBsinA
2cos
A B
sin
BA
2
22
2sin
【思路点拨】和差化积统一角度
AB

2
5．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．
【答案】
tan
【知识点】和差化积应用于三角恒等变形
1111
sin(AC)sin(AC)sinBsin(AC)

sin(A C)

2242
1113
∵
1sin(AC)1
∴
sin(AC)

4424
【解题过程】
cosAsi nC
【思路点拨】积化和差变形为
yAsin(

x

)B
的形式方便求范围


13

【答案】

,



44

5
s inx
1
2
,x(0,

)
6．已知
f(x) 
2
2sin
x
2
(1)将
f(x)
表示成 cosx
的多项式；
(2)求
f(x)
的最小值．
【知识点】和差化积应用于三角恒等变形
5513x
xsinxsinx2cos sinx
13xx
2

22

2
【解题过程】(1 )
f(x)2coscos

xx
2
2sin
x 22
2sin2sin
222
sin
cos2xcosx2co s
2
xcosx1

19
(2)
f(x)2(cos x)
2

且
1cosx1

48
19∴
cosx
时，
f(x)
min


4 8
【思路点拨】使用和差化积、积化和差统一角度，转化为以
cosx
为元的二次函数求最值
9
【答案】(1)
f(x)2cos
2
xcosx1
；(2)
f(x)
min


8

半路出家的意思-五四青年节活动

大气科学专业排名-大专生毕业论文范文

达式常-陕西会计网成绩查询

西安文理学院专业-考核工作总结

红河学院官网-感恩父母的作文500字

精灵女孩小卓玛-小学一年级语文上册教案

高考分数查询时间-2010年四川高考作文

关于感恩父母的作文-湘南学院教务