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二项分布的期望的方差的证明
山西大学附属中学 韩永权 hyq616@
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不 发生，在
n
次
独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一
次试验中某事件发生的概率是
P
，那么在
n
次独立重复试验中这个事
件恰好发生
k
次的概率是
P
n
(

k)C< br>n
k
p
k
q
nk
，（
k0,1,2n< br>
q1p
）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：


P

0

0n
C
n
q

1

2

3

...

n1

n1n1
C
n
pq

n

nn
C
n
p

122n2
33n3
C
n
pq
n1

C
n
pq

C
n
pq

...

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，
p为参数，并记
C
n
k
p
k
q
nk
＝ b(k；n，p)．
1 求证：服从二项分布的随机变量

的期望
E

np
.
kk1
证明如下：预备公式：
kc
n
nc
n1

00n10n220n2k 1k1(n1)(nk)n1n10
(pq)
n1
(c
n
c
1
c
n
...c
n
q...cn
q)
1
pq
n1
pq
1
pq
1
p
1
p
kkkknk
因为
p(

k)c
n
p(1p)
nk
c
n
pq,

00n1n122n2kknkn0n
所以
E

0c< br>n
pq1c
1
2c
n
pq...kc
n
pq...nc
n
pq

n
pq
00n 110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10
=
np(c
n
pqcpqcpq...cpq...cq)
< br>1n1n1n1n1
p
=
np(pq)
n1
 np

所以
E

np

方法二：
证明：若
X~B(n,p)
，则X表示
n
重贝努里试验中的“成功” 次数，
现在我们来求
X
的数学期望。

若设
X
i



1如第i次试验成功

i1,2,

0如第i次试验失败
n

则
XX
1
X
2
...X
n
，
因为

P(X
i
1)P
，
P(X
i
0)1Pq
所以
E(X
i
)0q1pp
，则
E(X) 
E[

X
i
]

E(X
i
) np

i1i1
nn
可见，服从参数为
n
和
p
的二项分布的随机变量X的数学期望是
np

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
2 求证：服从二项分布的随机变量

的方差公式
D

npq(q1p)

1k2
预备公式：
k
2
C
n
k
nC
n
k
1
n(n1)C
n2

kk1k1
k
2
C
n
knC
n
)1]C
n1
n[(k 1
1

k1k12kk1k2
k1k2
nCn
)C
n
1
n(k1)C
n1
nC
n1
n(n1
2

kC
n
nC
n1
n(n1)C
n2

22
方法一：证明：
D

E

(E

)

iini
E



i
2< br>C
n
pq

2
i0
nn
n
Cp q
1
n
n1


nC
i2
n
i1
n1
pq
inii2ini


n(n1 )C
n

2
pq
i2
npq
n1
np

C
i1
i1
n1
pq
i1ni
npCq
0n1
n1
n(n1)p
2

C
i2
n
i2
n2
p
i2
q
n i
npq
n1
np(pq)
n1
npq
n1
n(n1)p
2
(pq)
n2
npq
n1npnpq
n1
n(n1)p
2
npn
2
p
2
np
2
np(1p)n
2
p
2npqn
2
p
2
22
由公式
D(X)E(X2
)[E(X)]
2
知，
D

E

(E

)

npqn
2
p
2
( np)
2
np(1p)

方法二： 设

~B(n,p)
, 则X表示
n
重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设
X
i


n

1如第i次试验成功


i1,2,

0如第i次试验失败
n

则



i
是
n
次试验中“成功”的次数，
E(

i
)0q1pp
，
i1
故
D(

i
)E(

i
2
)[E(

i
)]
2
pp
2
p(1p)
，
i1,2,,n

由于

1
,

2,...,

n
相互独立，于是


n
D(< br>
)

D(

i
)np(1p)

i1