班干部有哪些-开业典礼致辞

12.2 离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理
1. 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x
i
的概率为P（ξ=x
i
）=P
i
（i=1，2，…，n，…），
则称Eξ=∑x
i
p
i
为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
2.方差 ：称Dξ=∑（x
i
－Eξ）p
i
为随机变量ξ的均方差，简称方差.
D

叫标准差，反
映了ξ的离散程度.
3.性质：（1）E（aξ+b） =aEξ+b，D（aξ+b）=a
2
Dξ（a、b为常数）.
（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.
Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分
散.
二、例题剖析
【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.
ξ

2
－1
1
2
0
1－2q
1
q
2
P

拓展提高

既要会由分 布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是
离散型随机变量，P（ξ =x
1
）=
3
5
2
5
7
5
625
，P（ξ=x
2
）=，且x
1
2
，又 知Eξ=，Dξ=.求ξ
的分布列.
解：依题意ξ只取2个值x
1
与x
2
，于是有
Eξ=Dξ=
3
5
3
5
x
1
+
2
5
x
2
=
2
7
5
，
6
25
x
1
2
+
5
x
2
2
－Eξ
2< br>=.


3x
1
2x
2
7,
从而得方程组

2

2

3x2x11.
2

1
【例2】 人寿保 险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，
被保险人意外死亡则保险公司 赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一
年内意外死亡的概率是p
1，非意外死亡的概率为p
2
，则a需满足什么条件，保险公司才可能
盈利?
【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.
特别提示

求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况 ：①有2个空盒
子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.
【例4】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0 1次试验中发生的次数.
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求
2D

1
E

的最大值.
【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，
号数为 3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ
1

的概率分布和期望.
【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车 驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有
4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不 再参加以后的考试，否则就一直
考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的 概率依次为0.6，0.7，
0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数

的 分布列和

的期望，并求李明在一年内领到
驾照的概率.
三、同步练习 g3.1098
离散型随机变量的期望值和方差

1.设服从二项分布B（n，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布
的参数n、p的值为B
A.n=4，p=0.6
C.n=8，p=0.3












B.n=6，p=0.4
D.n=24，p=0.1
2.一射手对靶射击，直到第 一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后
的剩余子弹数目ξ的期望为C
A.2.44 B.3.376
3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则B
A.Eξ=3.5，Dξ=3.5
2


C.2.376
35
12
35
16
D.2.4


B.Eξ=3.5，Dξ=
D.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5
4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的
是A
A.Eξ=0.1
k

10
－
k






B.Dξ=0.1
k
D.P （ξ=k）=C
10
·0.99·0.01C.P（ξ=k）=0.01·0.99
k 10
－
k

5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A
A.
1
7
B.
1
6
C.
1
5
D.
1
4

6.一牧场有10头 牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病
的牛的头数为ξ，则Dξ等 于C
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
7.有两台自动包装机甲与乙，包装 重量分别为随机变量ξ
1
、ξ
2
，已知Eξ
1
=Eξ
2
，Dξ
1
＞D
ξ
2
，则自动包装机__乙______ 的质量较好.
8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=__
1< br>2
______时，成功次数
的标准差的值最大，其最大值为__ 5______.
9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，
并且 概率都是
2
5
，则甲回家途中遇红灯次数的期望为__1.2______.
10.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.
每题选 择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求
他在这次测 试中成绩的期望和标准差.

11.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球. 设取到一只红球得2分，取到
一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.

2

12.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要 调整的概率相应为0.10，0.20
和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整 的部件数，试求ξ的数学期望E
ξ和方差Dξ.
13.将数字1，2，3，4任意排成一列， 如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一
个巧合，求巧合数的数学期望.
14.（辽 宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，
两道工序的加工结果相 互独立，每道工序的加工
结果均有A、B两个等级
.对每种产品，两道工序
的加工结果 都为A级时，产品为一等品，其余
均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加 工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、
乙产品为一等品的概率P
甲、P
乙
；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一 件甲、乙产品的利润，在（I）的条
件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产 一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万
元.设x、 y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）
的条件下，x、y为何值时，
zxE

yE

最大？
最大值是多少？（解答时须给出图示）
3