执业药师考试试题-项目投资可行性报告

第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
课题：随机变量的分布列、期望和方差
教学目的：
1．通过本课的教学， 对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理
解，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用
本单元知识解决问题的能力。 < br>教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这
些值的概率、取值的平 均值、稳定性等．这部分内容的实
用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些
实际 问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．
教学过程：
1．通览基础知识
项目 内容
随机变量
离散型随机变量
连续型随机变量
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列的性质
二项分布
离散型随机变量的期望及其计算公式
离散型随机变量的方差及其计算公式
2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列
具有的两个简单性质
在分析和研究上述例子的基础上，概括出：
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为
x
1
, x
2
, …，x
i
,…,
ξ取每一个值x
i
(I=1，2，…)的概率为P(ξ= x
i
)=P
i
，则称表
ξ x
1
x
2
… x
i
…
P P
1
P
2
… P
i
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：
(1) P
i
≥0，I=1，2，…；
(2) P
1
+P
2
+…=1．
3．讲参考例题
例1 一盒中放有大小相同的红色 、绿色、黄色三种小球，已知红球个
数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出 一个球，
若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随

< br>第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，红球个数为4n，盒
中球的总数为7n。
4n42n2n1
P(1),P(1),P(0)

7n77n77n7
则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ 1 -1 0
421

P
777
例2 一个类似于细胞分裂的物体，一 次分裂为二，两次分裂为四，如此
1
（n1,2,3,）
继续分裂有限多次，而随 机终止。设分裂n次终止的概率是
n
。
2
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的 子块数目。求P(ξ≤10)。
解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为
ξ 2 3 8 16 … …
2
n

11111

P … …
24816
2
n
1117
所以 P(ξ≤10)= P(ξ=2)+ P(ξ=4) +P(ξ=8) =++=
2488
例 3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。现从一批
产品中任意的连续取出 2件，写出其中次品数ξ的概率分布。
解：依题意，随机变量ξ~B（2，5%）。所以，
021
P(0)C（）0.9025，P(1)C（）（95%）0.095
2
95%
2
5%

22
P(2)C（）0 .0025
2
5%
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ 0 1 2
P 0.9025 0.095 0.0025

例4．重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)。
1
解：依题意，随机变量ξ~B（5，）
6
251
4
1< br>4
5
5
1
5
P(4)C（），P(5)C（ ）
55
66777667776

13
P（3）P(4)P(5)
3888
例5 涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽
样后次品率将会发生变化，即各次抽样 是不独立的．如果抽样采用放回抽样，
则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事 件．

第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
例5 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一
个，如果每次 取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求
在取得正品之前已取出次品数的期望．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，
1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
93
P（ξ=0）=


124
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
399
P（ξ=1）=


121144
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
3299
P（ξ=2）=


121110220
当ξ =3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，
则
32191
P（ξ=3）=


1211109220
39913
23
所以，Eξ=
01
44422022010
例6涉及产品数量很大，而 且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由
于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次 品率影响很
小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清
楚：抽2 00件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而
可用公式：Eξ=np， Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算。
例7 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从 中任意地连续取出200
件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ。
解：因为商品数量相当 大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，
所以ξ~B（200，1%）。因为Eξ=np， Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，
所以，
Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
例8是一道纯数 学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方
法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D
ξ=是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不 等式证明结
论。
例8 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的
方差不超过14。
证明：
因为ξ所有可能取的值为0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，

第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
Eξ=0×(1-p)+1×p=p 。则

p(1p)

1
Dξ=（0-p）×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p)




2

4
例9中的两 个随机变量ξ
A
和ξ
B
&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，
0．2取5个不同的数值．ξ
A
取较为集中的数值110，120，125，130， 135；
ξ
B
取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看 ，猜想A种钢筋
质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性。
例9有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξ
A
110 120 125 130 135 ξ
B
100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξ
A
、ξ
B
分别表示A、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的
抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较 好。
解：先比较ξ
A
与ξ
B
的期望值，因为
Eξ
A
=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0. 2=125,
Eξ
B
=100×0.1+115×0.2+125×0. 4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
Dξ
A
=(110-125)
2
×0.1+(120-125)
2
×0.2+(130-125)
2
×0.1+(135-125)
2
×0.2=50，
Dξ
B
=(100-125)
2
×0.1+(110-125)
2
×0.2+(130-125)
2
×0.1+(145-125)
2
×0.2=165.
所以，Dξ
A
< Dξ
B
.因此，A种钢筋质量较好。
例10学们身边常遇到的现实问题，比 如福利彩票、足球彩票、奥运彩
票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共 福
利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意
思是指：所收资金 全部用于奖品方面的费用。
例10 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个 奖品是5
元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，
一张 彩票的合理价格是多少元？
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，
25，100。依题
意，可得ξ的分布列为
ξ 0 5 25 100
391111

P
5002000
40050
391111
E052 51000.2

4
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
3．课堂练习
2 2
2

第十一章 概率与统计——第90课时：随机变量的分布列、期望和方差
(1)公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，一乘客到达该站的任一
时刻是等可能的．求
①该乘客候车不超过3分钟的概率；(答案：0.6)
②该乘客候车时间的平均值．(答案：3分钟)
(2)设篮球队A与B进行比赛，若有一队先 胜4场则宣告比赛结束，假
定A、B在每场比赛中获胜的概率都为0.5。试求需要比赛场数的平均值． (答
93
6场
) 案：Eξ

16
4．归纳总结
由于本课前面部分就是小结，所以这里着重对几个例题的解题思路进行
总结。

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计
课题：抽样方法、总体分布的估计
一．复习目标：抽样方法、总体分布的估计
1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽
取样本；
2．了解统计的基本思想，会用样本频率估计总体分布．
二．知识要点：
1．（1）统计的基本思想是 ．
（2）平均数的概念 ．
（3）方差公式为 ．
2．常用的抽样方法是 ．
三．课前预习：
1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、18 0个、150个
销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个
容量 为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，
要从中抽取7个调查其收入和售 后服务等情况，记这项调查为②．则完成
①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（
B
）

(A)
分层抽样法，系统抽样法
(B)
分层抽样法，简单随机抽样法

(C)
系统抽样法，分层抽样法
(D)
简单随机抽样法，分层抽样法 1
10
2
2．已知样本方差由
s

(x
i< br>5)
2
，求得，则
x
1
x
2
x10

50
．
10
i1
3．设有
n
个样本
x
1
,x
2
,,x
n
，其标准差为
s
x
，另有
n
个样本
y
1
,y
2
,,y
n
，且
y
k
3x
k
5

(k1,2,,n)
，其标准差为
s
y
，则下列关系正确的是 （
B
）
(A)
s
y
3s
x
5

(B)
s
y
3s
x

(C)
s
y
3s
x

(D)
s
y
3s
x
5


4 ．某校为了了解学生的课外阅读情况，随
机调查了50名学生，得到他们在某一天各
自课外阅读 所用时间的数据，结果用右侧
的条形图表示. 根据条形图可得这50名学
生这一天平均每人的课外阅读时间为
（
B
）
(A)
0.6小时
(B)
0.9小时
(C)
1.0小时
(D)
1.5小时


人数(人)
20
15
10
5
0
0.5
1.0
1.5 2.0
时间(小时)

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计
5．
x
是
x
1
,x
2
,x
40
的平均 数，
b
是
x
41
,x
42
40a60b
平均数，则
x
，
a
，
b
之间的关系为
x
．
100
,x
100
的平均数，
a
是
x
1
,x
2
,x
100
的

6．某校有老师200人 ，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方
法从所有师生中抽取一个容量为
n
的样本；已知从女学生中抽取的人数为80
人，则
n

112
．

7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均< br>分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个
容量为10的样 本，规定如果在第1组随机抽取的号码为
m
，那么在第
k
组
中抽取的 号码个位数字与
mk
的个位数字相同，若
m6
，则在第7组中抽
取的号码是 63 ．

8．在样本的频率分布直方图中，共有
11个小长方形，若中间一个小长方形
1
的面积等于其他
10
个小长方形的面 积之和的，且样本容量为
160
，则中间
4
一组的频数为 32 ．

四．例题分析：
例1．某中学有员工
160
人，其中中高级教师
48
人，一般教师
64
人，管理人
员
16
人，行政 人员
32
人，从中抽取容量为
20
的一个样本．以此例说明，无
论使 用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率
都相同．
解：（1）（ 简单随机抽样）可采用抽签法，将
160
人从
1
到
160
编 号，然后从
中抽取
20
个签，与签号相同的
20
个人被选出．显然每 个个体抽到的概率为
201

．
1608
（2）（系统抽样法）将
160
人从
1
到
160
编号，，按编号顺序分成
2 0
组，每组
8
人，先在第一组中用抽签法抽出
k
号（
1k 8
），其余组的
1
k8n
(n1,2,3,19)
也被抽到， 显然每个个体抽到的概率为．
8
34
（3）（分层抽样法）四类人员的人数比为3:4:1:2
，又
206,208

1010
12< br>202,204
，所以从中高级教师、一般教师、管理人员、行政人员
1010
1
中分别抽取
6
人、
8
人、
2
人、
4
人，每个个体抽到的概率为．
8

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计

例2．质检部门对甲、乙两种日 光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试
验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质 量相对好一些？

甲 乙

使用时间（h） 频数 使用时间（h） 频数

2100 1 2100 1
2110 2 2110 1

2120 3 2120 5

2130 3 2130 2

2140 1 2140 1










解：甲的平均使用寿命为：
x
甲

2100121102212032130321401
＝2121（h），
10
甲的平均使用寿命为 ：
2100121101 212052130221401
＝2121（h），
10
21
2
411
2
91
2
99
2
19< br>2
2
甲的方差为：
S
甲
＝＝129（h
2
） ，
10
2100121101212052130221401
2
乙的方差为：
S
乙
＝＝109（h
2
），
10
22
∵
x
甲
＝
x
乙
，且
S
甲
＞
S
乙
，∴乙的质量好一些．

x
乙
＝

例3．下表给出了某学校120名12岁男生的身高统计分组与频数（单位：cm）．
区[1 22,126[126,130[130,134[134,138[138,142[142,146[146 ,150[150,154[154,158
间 ) ) ) ) ) ) ) ) )
人
5 8 10 22 33 20 11 6 5
数
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计
区
[122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
间
人
5 8 10 22 33 20 11 6 5
数
11
1
1
11
111111
频
40

120

20

24

15

12

率
24

60

6

累
11323
1
134910923
积
1
24

120

120

20

60

120

24

8

频
率
（2）频率分布直方图如下：

频率组距



·
11


160



·
1
11


24

240


11
1

·


480

·
48
1

1


·

60
1

·
80


96


122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）

23
100%19.2%
． （3）根据累积频率分布，小于134的数据约占
120
五．课后作业：
1．一个单 位有职工160人，其中业务人员96人,管理人员40人，后勤人员24
人，为了解职工身体情况，要 从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,则
管理人员应抽到多少个 （ ）
(A)
3

(B)
12

(C)
5

(D)
10

2．欲对某商 场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每
月的销售总额.现采用如下方法：从某本 50张的发票存根中随机抽一张，如
15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的 销售额组成一个
调查样本.这种抽取样本的方法是 （ ）

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计
(A)
简单随机抽样
(B)
系统抽样
(C)
分层抽样
(D)
其它方式的抽样
3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a,b]
是其中一组，
抽查出的个体数在该组上的频率为
m
，该组上的 直方图的高为
h
，则
|ab|
等
于 （ ）
hm
(A)
hm

(B)

(C)

(D)
与
m,h
无关
mh
4．一个总体的个数为
n
，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为
2
的样本，
个体
a
第一次未被抽到，个体
a
第一次未被抽到第 二次被抽到，以及整个过
程中个体
a
被抽到的概率分别是 .
5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现
用分 层抽样方法抽出一个容量为
n
的样本，样本中A种型号产品有16件，那么
此样本的容 量
n
.

6.有一组数据：
x
1
,x
2
,x
3
,,x
n
(x
1
x2
x
3
x
n
)
，它们的算术平均值为
10，若去掉其中最大的
x
n
，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的
x
1
，
x
n
关于
n
余下数据的算术平均值为11 ,则
x
1
关于n的表达式为 ；
的表达式为 .

7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6
次 测验，测得他们的平均速度（
ms
）分别如下：
甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1
乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8
试根据以上数据，判断他们谁更优秀．

8．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
区
[12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,133)
间
频
6 16 18 22 20 10 8
数
（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小
于30的概率．


9．100名学生分四个兴趣小组参加物理、化学、数学、计算机竞赛辅导，人数 别
是30、27、23、20．
（1）列出学生参加兴趣小组的频率分布表；
（2）画出表示频率分布的条形图．

第十章 排列、组合和概率——第89课时：排列、组合、概率
小结

第十一章 概率与统计率——第91课时：抽样方法、总体分布的估计