日本留学专业-赞美教师的散文

长江师范学院数学史课程论文
六下奥数1
论述中国剩余定理的形成及对教育的影响

摘要
：“中国剩余定理”是由秦 九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中
国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和 对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高
中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔 细的讲解。中国剩余定理的思
想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响 和作用。
引言
随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。
在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，
均有剩余；已知各 除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问
题）曾经困扰过人们很长一段时 间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。
如果说，一部中国数学发展史像一条源远 流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉
煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一 个“中国剩余定理”。大家都
知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为 “毕达哥拉斯定
理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早 是
由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800
年 。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，
很想知道关于这 个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。
1、中国剩余定理的简介及形成 < br>在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数
学游戏。有一 首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一
枝，七子团圆正半月，除百 零五便得知。” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同
形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通 俗地反映了中国古代数学一项卓越的
成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现 在我国公元四世纪
的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有 传
本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公
元 400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定
理。又称中国剩余定 理。
一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩
二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，
除以五余三 ，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：
“三、三数之剩二，置 一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，
并之，得二百三十三。以二百一十减 之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之
剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。 一百六以上，一百五减之，即得。
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩 信是汉高祖刘邦手下的大将，
他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学 水平也非常高超，
他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至 3
报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报
之 数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自
己部队士兵的总 人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》
对这类问题的研究只是初具 雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于：
（1 ） 没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；
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（2 ） 模数仅限于两两互质的正整数，未涉及一般情况；
（3 ） 未能进一步探究同余式（组）有解的条件等理论问题。
因此，后人把这一命题及其解法成为“孙子定理 ”主要是推崇《孙子算经》在这一类问题的
处理上时间领先，其实想方法的成熟，还有待提高。为了解决 这一类“孙子问题”中的不足，
秦九韶从孙子定理中推广了“孙子问题”的解法形成了“中国剩余定理” 。 秦九韶（秦九
韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，干公元12 47
年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次
同余组 的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义
的成就。秦九韶在《数书九 章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步
骤。秦的方法，正是前述的剩余定理。）提出了 乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学
概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。直到此时，由《 孙子算经》“物不知数”
题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中 国剩余定
理”的高度。 这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”
的一次同余式解法。
后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗
指这三个关键的数字。《 孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如
下特性：也就是说，这三个数可以从最小公倍 数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、
7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1= 2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，
2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被 相应模数相除的时候余数都是1。由此出
发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况 。应用上述推理，可以完
全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a 1、
a2、„„an相除得余数R1、R2、„„Rn，即N≡Ri（mod ai）（i=1、2、„„n），
只需求出一组数K，使满足1（mod ai）（i=1、2、„„n ），那么适合已给一次同余
组的最小正数解是P是整数，M=a1×a2ׄ„×an），就是现代数论 中著名的剩余定
理。
2、中国剩余定理在中学中案例及其应用
有余数除法的定理
定理1 如果被除数加上（或减去）除数的整数倍，除数不变，则余数不变。
定理2 如果被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，则余数也扩大（或缩小）同样的倍数。
定理3 如果整数a除以自然数b（b≠0），余数r仍不小于b，则r除以b的余数等于a除
以b所得余数。
引入过程：
1成语故事引入：
引入“韩信点兵，多多益善”的故事。
2独立思考：
每3人站成一排，最后一排只有1人；每5人站成一排，最后一排也只有1人； 每7人站成
一排，最后一排还是1人。你能推算出最少有多少人？
3、每3人站成一排，最后 一排只有2人；每5人站成一排，最后一排只有4人；每7人站
成一排，最后一排是6人。你能推算出最 少有多少人？
4、每3人站成一排，最后一排差1人；每5人站成一排，最后一排有2人；每7人站成 一
排，最后一排还差5人。你能推算出最少有多少人？
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5通过例题，适时介绍孙子算法。
3 、4、1、每3人站成一排，最后一排只有2人；每5人站成一排，最后一排站了3人；每
7人站成一排 ，最后一排有4人。你能推算出最少有多少人？
赏析：学生产生怀疑为什么这一题转化来转化去不行了 呢？老师列出算式：70×2＋21×3
＋15×4=263人，263-105×2=53人。让学生 用这个结果进行验算，学生通过验算发现正确。




6、出示孙子算法：
三人同行七十稀，五树梅花开一枝，
七子团圆正月半，除百零五便得知。
赏析：通过改题，把上面的题目改为“只有2、4、6” 然后学生进行验证，都是正确的。这
时老师出示孙子算法。让学生在惊讶之后惊叹中国古代数学文化的博 大精深和源远流长，同
时领略中国古代数学文化的魅力。接着借用数学家陈省身的话“21世纪的中国是 数学大
国。”来激起学生热爱祖国深厚文化的热情。
7一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12； 〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45 ；
使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，27 4>60，
所以，274－60×4=34，就是所求的数。
8四年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至
少有多少人?
题中9、7、5三个数两两互质。则〔7 ，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，
7，5〕=315。为了使35被9除余 1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2= 126。然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877>315，
所以，1 877－315×5=302，就是所求的数。
9引出《孙子算经》中的“今有物不知其数，三三数之 剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，
问物有几何？
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