六年级长方体和正方体再认识辅导讲义
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学而优教育学科教师辅导讲义
就读学校
学员姓名
课 题
授课日期
蒙山中学
翟戈巍、奚兆阳
年 级
辅导科目
六
数学
授课次数
学科教师
3
吴老师
长方体再认识
2015-4-4 授课时段
13：00-15：00
教学目的
1．能说出长方体的特征和概念；
2．能会应用长方体的特征和概念解实际应用问题。
重点：长方体的特征和概念；
难点：应用长方体的特征和概念解实际应用问题。
教学内容
【复习引入】
一、概念
1、 长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱
2、
长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系）
①长方体的每个面都是长方形；②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。
③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。
3、
正方体是特殊的长方体。
4、 平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。
记作：平面ABCD或平面
。
5、
将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。
6、
斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。
长方体ABCD-EFGH、平面ABCD、棱AB、顶点A。
7、
空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
①
如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交；
②
如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行；
③
如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。
8、
直线垂直于平面记作：直线PQ⊥平面ABCD；直线平行于平面记作：直线PQ∥平面ABCD。
9、 计算公式之一：（三条棱长分别是a、b、c的长方体）
① 棱长和 =
4(abc)
； ② 体积 =
abc
；③ 表面积 =
2(abbcac)
；
④ 无盖表面积 =
Sab
、
Sbc
、
Sbc
10、计算公式之二：（边长是a正方体）① 棱长和= 12
a
；②体积=
a
；③表面积=
6a
；④无盖表面积 =
5a
。
11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。
12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。
13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。
14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。
二、检验垂直或平行的方法：
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1、检验直线与平面垂直的方法：
①
铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面）
② 三角尺法：将两把三角尺的一条
直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠
近被测细棒，如果两条直角
边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。（可用于检验细棒是否垂直于墙面）
③ 合
页型折纸法：将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕靠近被测直线，如果折
痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。
2、检验平面与平面垂直的方法： ①
铅垂线法；② 三角尺法；③ 合页型折纸法。
3、检验直线与平面平行的方法：
①
铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。
（可用于检验黑板的边沿是否平行于水平面）
② 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于
已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，
则说明被测直线平行于已知平面。
（可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面）
4、检验平面与平面平行的方法：
① 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能
够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。
二、长方体中的棱与面的位置关系：（长方体中有现成的合页型折纸、长方形纸片可供检验）
【例题精讲】
1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；
2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；
3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；
4、长方体中与某条棱平行的面有2个；5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；
6、长方体中与某个面平行的棱有4条；7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；
8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；
9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。
【课堂练习】
一、选择题（每题4分，共24分）
1．长方体裁12条棱中，棱相等的至少有 （
）．(A) 2条； (B) 4条； (C) 6条； (D) 8条．
2．在长方体中，与一条棱垂直的平面有 （ ）．(A) 1个； (B )2个
； (C) 3个； (D) 4个．
3．在长方体中，与一个平面垂直的棱有 （
）．（A）1个； (B)2个; (C)3个； (D)4个.
4．以下说法中正确的个数是
（ ）．
（1）水平面是平面，但平面不一定是水平面；（2）凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面；
（3）直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面；（4）如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定
平行．
(A)1个； (B)2个； (C)3个；
(D)4个．
5．下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具 （ ）．(A)铅垂线；
(B)长方形纸片； (C)三角尺； (D)合页型折纸．
6．长方体中，相邻的两个平面 （
）．(A)有垂直关系； (B)有平行关系； (C)可能垂直也可能平行； (D)无法确定．]
二、填空：（每小题4分，共48分）
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7．空间两条直线的位置关系有__________________.
8．长方体的长是12cm，宽是8cm，高是5cm，这个长方体所有的棱长和是_______.
9．如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用什么方法检验_________
__________________.
地平面
A
1
D
A
B
B
1
C
A
D
1
C
1
D
N
B
M
C
第9题图第10-13题图
第14题图
10．如图，长方体中，与面
CDD
1
C
1
垂直的棱有____ _____.
11．如图，长方体中，与面
BCC
1
B
1
垂直的面有_____
_____.
12．如图，在长方体中，与面
CDD
1
C
1
平行的棱有_____ __.
13．如图，沿长方形
AB
CD
的对角线
BD
与长方形
A
1
B
1
C<
br>1
D
1
的对角线
B
1
D
1
将长方体
截成相等的两部分，截面
BDD
1
B
1
，是
一个_____
_形，与它平行的棱有__________.
14．如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角
度，然后直立于平面
ABCD
上，那么折痕
MN
与平面
ABCD的关系
是 ．
15．如图，对长方体如图所示那样截去
一角后余下的几何体有_________个顶点，_______条棱，________个面.
H
R
E
S
A
P
Q
D
B
F
C
G
E
A
B
F
第17题图
第18题图
D
C
第15题图
第16题图
16．如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有
个顶点， 条棱， 个面.
17.如图是长方体的 六面展开图，在原来长方体中，与平面
B
垂直的面有_______.
18.如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为 个.
三、作图题（12分+14分，共26分）
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
19．画一个长方体，使它一个顶点出发的三条棱长分别是
a、b、c
.
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20．补画下面的图形，
使之成为长方体的直观图.
四、简答题（12分+12分+14分+14分，共52分）
21．用一根108cm长的铁
丝做一个长、宽、高的比为2：3：4的长方体框，那么这个长方体的体积是多少？
[来源:]
22．把长、宽、高分别为5㎝、4㎝
、3㎝两个相同的长方体粘合成一个大的长方体，求大长方体的表面积和体积.
23．如图，将一个横截面是正方形（面
BCGF
）
的长方体木料，沿平面
AEGC
分割成大小相同的两块，表面积增加了30
平方厘米.
已知
EG
长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是
多少？
H
G
E
F
D
C
A
B
第23题图
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