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高教版中职教材—数学下册电子教案
【课题】 6.1 数列的概念
【教学目标】
知识目标:
(1)了解数列的有关概念;
(2)掌握数列的通项(一般项)与通项公式.
能力目标:
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力与归纳能力.
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数就是否为数列中的一项.
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式.
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列与无穷数列.讲解数
列的通项(一般 项)与通项公式.
从几个具体实例入手,引出数列的定义、数列就是按照一定次序排成的一列数.学生 往
往不易理解什么就是“一定次序”.实际上,不论能否表述出来,只要写出来,就等于给出了
“次序”,比如我们随便写出的两列数:2,1,15,3,243,23与1,15,23,2,243,3, 就都就是按
照“一定次序”排成的一列数,因此它们就都就是数列,但它们的排列“次序”不一样,因此
就是不同的数列.
例1与例3就是基本题目,前者就是利用通项公式写出数列中的项;后者就 是利用通项
公式判断一个数就是否为数列中的项,就是通项公式的逆向应用.
例2就是巩固性 题目,指导学生分析完成、要列出项数与该项的对应关系,不能泛泛而
谈,采用对应表的方法比较直观, 降低了难度,学生容易接受、
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6.1 数列的概念.
*创设情境 兴趣导入
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑

- 1 -
学生
行为
了解
观瞧
课件
思考
教学
意图
从实
例出
发使
学生
时
间
0
5

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
将正整数从小到大排成一列数为
1,2,3,4,5,…. (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
2,2
2
,2
3
,2
4
,2
5
,L
. (2 )
教师
行为
引导
分析

学生
行为
自我
分析

教学
意图
自然
的走
向知
识点

时
间
当n从小到大依次取正整数时,
cosn
的值排成一列数为
-1,1,-1,1,…. (3 )
取无理数

的近似值(四舍五入法),依照有效数字的个
数,排成一列数为
3,3、1,3、14,3、141,3、1416,…. (4)
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样,按照一定的次序排成的一列 数叫做数
列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左
至右的排序,各项按照 其位置依次叫做这个数列的第1项(或首
项),第2项,第3项,…,第n项,…,其中反映各项在数列 中位置
的数字1,2,3,…,n,分别叫做对应的项的项数.
只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做
无穷数列.
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”就是两个不同的概念.
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
理解
记忆

带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
如数列(2)中,第3项为
2
3
,这一项的项数为3、
【想一想】
上面的4个数列中,哪些就是有穷数列,哪些就是无穷数
列?
【新知识】
由于从数列的第一项开始,各项的项数依次与正整数相对
应,所以无穷数列的一般形式可以写作

- 2 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
，L
.
(nN
g
)

简记作{
a
n
}.其中,下角码中的数为项数,
a
1
表示 第1项,
a
2
表
示第2项,….当
n
由小至大依次取正整数 值时,
a
n
依次可以表
示数列中的各项,因此,通常把第n项
an
叫做数列{
a
n
}的通项
或一般项.
*运用知识 强化练习
1、说出生活中的一个数列实例.
2、数列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4, 3,2,1 ”就是否为
同一个数列？
3、设数列
{a
n
}
为“-5,-3,-1,1,3, 5,…” ,指出其中
a
3
、
提问
巡视
指导
思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
质疑
引导
分析
6、1、1中的数列(1)中,各项就是从小到大依次排列出的
正整数.

a
1
1
,
a
2
2
,
a
3
3
,…,
可以瞧到,每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用

a
n
n(nN
*
)

表示.利用这个规律,可 以方便地写出数列中的任意一项,如
a
11
11
,
a
20
20
.
15
a
6
各就是什么数？
*创设情境 兴趣导入
【观察】
思考
参与
分析

引导
启发
学生
思考
25

6、1、1中的数列(2)中,各项就是从小到大顺次排列出的
2的正整数指数幂.

a
1
2
,
a
2
2
2
,
a
3
2
3
,…,
可以瞧到,各项的底都就是2,每一项的指数恰好就是这项的项

- 3 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
数.这个规律可以用

a
n
2
n
(nN
*
)

表 示,利用这个规律,可以方便地写出数列中的任意一项,如
a
11
2
11< br>,
a
20
2
20
.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*动脑思考 探索新知
【新知识】
一个数列的第n项
a
n
,如果能够用关于项 数
n
的一个式
1
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

35

子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式、
数列(1)的通项公式为
an
n
,可以将数列(1)记为数列
{n};数列(2)的通项公式为
a
n
2
n
,可以将数列(2)记为数列
{2
n
}< br>、
*巩固知识 典型例题
例1 设数列{
a
n
}的通项公式为
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解

通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
反复
强调
50
a
n

写出数列的前5项.

1
,
2
n
分析 知道数列的通项公式,求数列中的某一项时,只需
将通项公式中的n换成该项的项数,并计算出结果.
解
强调
含义
说明

11111111
;;;;
aaa
234
2
1
2
2
2
4
2
3
8
2
4
16
11
. a
5

5

32
2
a
1
< br> 例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项
公式、




- 4 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
(1)5,10,15,20,…; (2)
(3)−1,1,−1,1,….
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系,探求用式
子表示这种关系.
解 (1)数列的前4项与其项数的关系如下表:
项数n
项
a
n

关系
1
5
2
10
3
15
4
20
教师
行为
学生
行为
教学
意图

时
间
1111
,,,,
…;
2468
551

105215532054

由此得到,该数列的一个通项公式为
a
n
5n
.
(2)数列前4项与其项数的关系如下表:
序号
项
a
n

1 2 3 4
1

2
11

221

1

4
11

422

1

6
11

623

1

8
11

824

关系
由此得到,该数列的一个通项公式为
a
n

1
.
2n
(3)数列前4项与其项数的关系如下表:
序号
项
a
n

关系
1
−1
(1)
1

2
1
(1)
2

3
−1
(1)
3

4
1
(1)
4

由此得到,该数列的一个通项公式为
a
n
(1)
n
.

- 5 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
【注意】
由数列的有限项探求通项公式时,答案不一定就是唯一
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
的.例如,
a
n
(1)
n
与
a
n
c osn
都就是例2(3)中数列
“−1,1,−1,1,….”的通项公式.
【知识巩固】
例3 判断16与45就是否为数列{3n+1}中的项,如果就是,
请指出就是第几项、
分析 如果数a就是数列中的第k项,那么k必须就是正整
数,并且
a3k1
、
解 数列的通项公式为
a
n
3n1
、
将16代入数列的通项公式有
163n1
,
解得
n5N
*
.
所以,16就是数列
{3n1}
中的第5项.
将45代入数列的通项公式有
453n1
,
解得
n
44
N
*
,
3
65
所以,45不就是数列
{3n1}
中的项.
*运用知识 强化练习
1、 根据下列各数列的通项公式,写出数列的前4项:
(1)
a
n
32
; (2)
a
n
(1)n
.
2、 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项
公式:
(1)−1,1,3,5,…; (2)


nn
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

1111
, ,

, ,…; (3)
36912
- 6 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
1357
,,,,…、
2468
3、 判断12与56就是否为数列
{n
2
n}
中的项,如果就是,
请指出就是第几项.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
数列、项、项数分别就是如何定义的？
结论:
按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个
数叫做数列的项.从开始的项起,按照自左至右 排序,各项按照
其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第3
项,…,第n项, …,其中反映各项在数列中位置的数字
1,2,3,…,n,分别叫做各项的项数.
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？ < br>判断22就是否为数列
{n
2
n20}
中的项,如果就是,请指< br>出就是第几项.
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题6.1 A组(必做);6.1 B组(选做)
(3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

【教师教学后记】
项目
学生知识、技能的掌握情况
就是否能利用知识、技能解决问题;
反思点
学生就是否真正理解有关知识;
说明 记录
引导

提问
巡视
指导
回忆

反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果

分层
次要
求
90
85


质疑
归纳
强调

回答

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

75


- 7 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面.
【课题】 6.2 等差数列(一)
【教学目标】
知识目标:
(1)理解等差数列的定义;
(2)理解等差数列通项公式.
能力目标:
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.
【教学重点】
等差数列的通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的推导.
【教学设计】
本节的主要内容就是等差数列的定义、等差数列的通项公式、重点就是等差数列 的定
义、等差数列的通项公式;难点就是通项公式的推导.等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:
a
n1
a
n
d
(常数)、例1就是基础 题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义、

- 8 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教材中等差数列的通项公式的推导过程实 际上就是一个无限次迭代的过程,所用的归
纳方法就是不完全归纳法、因此,公式的正确性还应该用数学 归纳法加以证明、例2就是求
等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法、等差 数列的通项公式
中含有四个量:
a
1
,d,n,a
n
,只要知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6.2 等差数列.
*创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出,组成数列:
5,10,15,20,…. (1)
将正奇数从小到大列出,组成数列:
1,3,5,7,9,…. (2)
观察数列中相邻两项之间的关系,
发现:从第2项开始,数列(1)中的每一项与它 前一项的差都
就是5;数列(2)中的每一项与它前一项的差都就是2.这两个数
列的一个共同 特点就就是从第2项开始,数列中的每一项与它
前一项的差都等于相同的常数.
*动脑思考 探索新知
如果一个数列从第2项开始,每一项与它前一项的差都等
于同一个常数,那么,这个 数列叫做等差数列.这个常数叫做等差
数列的公差,一般用字母d表示.
由定义知,若数列< br>
a
n

为等差数列,
d
为公差,则
an1
a
n
d
,即

- 9 -
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析

学生
行为
了解
观瞧
课件
思考
自我
分析

教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
引导
式启
发学
生得
出结
果
时
间
0
5
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆

带领
学生
分析

10

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程

a
n1
a
n
d

*巩固知识 典型例题
例１ 已知等差数列的首项为12,公差为−5,试写出这个
数列的第2项到第5项.
解 由于
a
1
12,d5
,因此

a< br>2
a
1
d12

5

7
;
(6、1)
说明
强调
引领
讲解
说明

观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会等
差数
列通
项公
式


a
5
a
4
d3

5< br>
8.

*运用知识 强化练习
1. 已知

a
n

为等差数列,
a
5
8
,公差< br>d2
,试写出这
提问
巡视
指导
动手
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
*创设情境 兴趣导入
您能很快地写出例1中数列的第101项不?
显然,依照公式(6、1)写出数列的第101项,就是比较麻烦
的,如果求出数列的通项公式,就可以 方便地直接求出数列的
第101项.

质疑
引导
分析

思考
参与
分析

从实
际事
例使
学生
自然
的走
向知
识点

*动脑思考 探索新知
总结 思考
归纳
理解
带领
学生
总结
35

30
25
45

教师
行为

学生
行为
教学
意图
时
间
a
3
a
2
d7
5

2
;

a
4
a< br>3
d2

5

3；

个数列的第8项
a
8
.
2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项、
归纳
a
设等差数列

n

的公差为d ,则
仔细

- 10 -

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教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
记忆

教学
意图
问题
得到
等差
数列
通项
公式
引导
启发
a
n
a
1


n1

d.
(6、2)
时
间
讲解
a
2
a
1
d,

关键


a
1
a
1
,

分析
a
3
a
2
d

a
1
d

da
1
2d,
词语
a
4< br>a
3
d

a
1
2d

d a
1
3d,

......
依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
学生
思考
求解
知道了等差数列

a
n

中的
a
1
与d
,利用公式(6、2),可以直
接计算出数列的任意一项、
在例１的等差数列
{a
n
}
中,
a
1
12
,
d 5
,所以数列的通
项公式为

a
n
12(n1)(5)175n
,
数列的第101项为

a
101
175101488
.
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量:
a
n
、
a
1
、
n
与
d
,
只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量、 针
对不同情况,应该分别采用什么样的计算方法？
*巩固知识 典型例题
例2 求等差数列
说明
强调
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
45
50
1,5,11,17,
...
的第50项、
解 由于
a
1
1,da
2
a
1
5

1

6,
所以通项公
引领
讲解
说明
引领
分析
式为
强调

- 11 -

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教 学
过 程
教师
行为
含义
说明

学生
行为
思考
求解

教学
意图
就是
否
理解
知识
点
反复
时
间
a
na
1
(n1)d1(n1)66n7,

即
a
n
6n7.

故
a
50
6507293.

例3 在等差数列

a
n

中,
a
100
48,
公差
d
解 由于公差
d
强调
1
,
求首项
a
1.

3

1
,
故设等差数列的通项公式为
3
1
a
n
a
1
(n1)

3
由于
a
100
48
,故
1
48a
1
(1001)
,
3
解得
a
1
15.

【小提示】
本题目初瞧就是知道2个条 件,实际上就是3个条
件:
n100
,
a
n
48,d
1
.
3
例4 小明、小明的爸爸与小明的爷爷三个人在年龄恰好
构成一个等差数列,她们三人的年龄之与为120岁,爷爷的年龄
比小明年龄的4倍还多5岁, 求她们祖孙三人的年龄、
分析 知道三个数构成等差数列,并且知道这三个数的
与,可以将 这三个数设为
ad
,
a
,
ad
,这样可以方便地求出
a
,从而解决问题、
解 设小明、爸爸与爷爷的年龄分别为
ad
,
a
,
ad
,
其中
d
为公差
则

- 12 -

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教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间


ad< br>
a

ad

120,



4

ad

5ad
解得
a40,d25

从而
ad15,ad65.

答 小明、爸爸与爷爷的年龄分别为15岁、40岁与65岁、
【注意】
将构成等差数列的三个数设为
ad
,
a
,
ad
,就是经 常
使用的方法、
*运用知识 强化练习
练习6、2、2
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

60
28
1、求等差数列,1, ,…的通项公式与第15项.
55
2、在等差数列

a
n

中,
a
5
0
,
a
10
10
,求
a
1
与公差
d
、
3、在等差数列

a
n

中,
a
5
3
,
a
9< br>15
,判断－48就是
否为数列中的项,如果就是,请指出就是第几项、
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
等差数列的通项公式就是什么？
结论:
等差数列的通项公式
a
n
a
1

n1

d.

质疑
归纳
强调

小组
讨论
回答
理解
强化

及时
了解
学生
知识
掌握
情况 < br>以小组
讨论师
生共同
归纳的
形式强
调重点
突破难点
70


- 13 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
写出等差数列
教师
行为
引导

提问
巡视
指导

学生
行为
回忆

反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
培养
学生
总结
反思
学习
过程
的能
力
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题6.2(必做);学习指导6.3(选做)
(3)实践调查:寻找生活中等差数列的实例
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;

- 14 -
教学
意图

时
间

80

137
,,1,,…
555
的通项公式,并求出数列的第11项.
说明 记录 分层
次要
求
90

高教版中职教材—数学下册电子教案
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
【课题】 6.3 等比数列(一)
【教学目标】
知识目标:
(1)理解等比数列的定义;
(2)理解等比数列通项公式.
能力目标:
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.
【教学重点】
等比数列的通项公式.
【教学难点】
等比数列通项公式的推导.
【教学设计】
本节的主要内容就是等比数列的定义,等比数列的通项公式、重点就是等比数列 的定
义、等比数列的通项公式;难点就是通项公式的推导.
等比数列与等差数列在内容上相类 似,要让学生利用对比的方法去理解与记忆,并弄清
楚二者之间的区别与联系、等比数列的定义就是推导 通项公式的基础,教学中要给以足够的
重视、同时要强调“等比”的特点:
a
n1< br>q
(常数)、
a
n
例1就是基础题目,有助于学生进一步理解等比 数列的定义、与等差数列一样,教材中
等比数列的通项公式的归纳过程实际上也就是不完全归纳法,公式 的正确性也应该用数学归
纳法加以证明,这一点不需要给学生讲、等比数列的通项公式中含有四个量:< br>a
1
,
q
,
n
,
a
n
, 只有知道其中任意三个量,就可以求出另外的一个量、教材中例2、例３都就是这类问
题、注意:例3中 通过两式相除求公比的方法就是研究等比数列问题常用的方法、

- 15 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
从例4可以瞧到,若三个数成等比数列, 则将这三个数设成就是
a
,a,aq
比较好,因为
q
这样设了以后, 这三个数的积正好等于
a,
很容易将
a
求出、
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6.3 等比数列.
*创设情境 兴趣导入
【观察】
某工厂今年的产值就是1000万元,如果通过技 术改造,在今
后的5年内,每年的产值都比上一年增加10%,那么今年及以后5
年的产值构成 下面的一个数列(单位:万元):
1000,10001.1,10001.1
2< br>,10001.1
3
,10001.1
4
,10001.15
.

3
教师
行为
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
观瞧
课件
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点

时
间
0
5
不难发现,从第2项开始,数列中的各项 都就是其前一项的
1、1倍,即从第2项开始,每一项与它的前一项的比都等于1、
1.
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如果一个数列从第2项开始,每一项与它前一项 的比都等
于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做这个
等比数列的公比,一般 用字母q来表示.
由定义知,若

a
n

为等比数列,q 为公比,则
a
1
与q均不为零,
a
且有
n1
q
,即
a
n
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
理解
记忆

带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
(6、5)
a
n1
a
n
q
.

- 16 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*巩固知识 典型例题
例１ 在等比数列
{ a
n
}
中,
a
1
5
,
q3
, 求
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
.
解
说明
强调
引领
讲解
说明


观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会

15

a
2
a
1
q5315,

a3
a
2
q15345,
a
4
a
3
q453135,
a
5
a
4
q1353 405.
【试一试】


*运用知识 强化练习
练习6、3、1
1.在等比数列

a
n

中,< br>a
3
6
,
q2
,试写出
a
4
、
a
6
.
2.写出等比数列
3,6,12,24,
……的第５项与第6项.
提问
巡视
指导
动手
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
*创设情境 兴趣导入


如何写出一个等比数列的通项公式呢？
质疑
引导
分析

思考
参与
分析

学生
自然
的走
向知
识点
*动脑思考 探索新知
与等差数列相类似,我们通过观察等比数列各项之间的关
系,分析、探求规律.
设等比数列

a
n

的公比为q,则
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语


- 17 -
您能很快地写出这个数列的第９项不？
25
30
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结
问题
得到
等差
数列
35

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
通项
公式

引导
启发
……
【说明】
a
1
a
1
1a
1
q

依此类推,得到等比数列的通项公式: (6、6)
知道了等比数列

a
n

中的
a
1
与
q
,利用公式(6、6 ),可以直
接计算出数列的任意一项、
【想一想】
等比数列的通项公式中,共有四 个量:
a
n
、
a
1
、
n
与
q,只
要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量、 针对
不同情况,应该分别采用什么样的计算方法？

*巩固知识 典型例题
例2求等比数列
说明
强调
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
观察
思考
求解
领会
思考
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
反复
强调
45
50
0
时
间
a
2
a
1
q,
< br>a
3
a
2
q

a
1
q
qa
1
q
2
,
a
4
a3
q

a
1
q

qa
1< br>q,
23
学生
思考
求解

1,
的第10项.
111
,,,

248
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
含义
1
解 由于
a
1
1
,
q
,
2
故,数列的通项公式为


1
a
n
a
1
q
n1
1




2

n1

1

1 (1)
n1



2

n1
说明
(1)
n

1
,
2
n1
引领
分析
所以

a
10
(1)
10
1
2
101

1
.
512
强调
含义
说明
1
例3 在等比数列

a
n

中,
a
5
1
,
a< br>８

,求
a
13
.
8

- 18 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
解 由
a
5
1,a
8

有
教师
行为

学生
行为
教学
意图
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
反复
强调
时
间
1
8
1a
1
q
4
, (1)
1
a
1
q
7
, (2)
8
(2)式的两边分别除以(1)式的两边,得
1
q
3
,
8
由此得
q
将
q
1
.
2
1
代人(1),得
2
a
1
2
4
,
所以,数列的通项公式为
1
a
n
2
4
()
n1
.
2
故
1

1

.
a
13a
1
q2

2
8

25 6

2

124
12
【注意】
本例题求解过程中,通过两式相除求出公比的方法就是研
究等比数列问题的常用方法.
【想一想】
在等比数列

a
n

中,
a
7

11
,
q
.求
a
3
时,您有没有比较
93
简单的方法？
【知识巩固】
例4 小明、小刚与小强进行钓鱼比赛,她们三人钓鱼的数
量恰好组成 一个等比数列.已知她们三人一共钓了14条鱼,而每
个人钓鱼数量的积为64. 并且知道,小强钓的鱼最多,小明钓的
鱼最少,问她们三人各钓了多少条鱼？

- 19 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
分析 知道三个数构成等比数列,并且知道这三个数的
积,可以将这三个数设为
而解决问题、
解 设小明、小刚与小强钓鱼的数量分别为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
a
,a,aq
,这样可以方便地求出
a
,从
q
a
,a,aq
.则
q

a

q
aaq14,




a

aaq64.


q
解得
a4,

a4,


1


或

q.
q2,


2

当
q2
时

a4
2,aq428,

q2
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8、
当
q
1
时
2

a41
8,aq42,

q
1
2
2
此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2、
由于 小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了2条鱼,
小刚钓了4条鱼,小强钓了8条鱼.
【注意】
将构成等比数列的三个数设为
方法.
*运用知识 强化练习

- 20 -
a
,a,aq
,就是经常使用的
q
启发 思考 可以
60

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
1、求等比数列
教师
行为
引导
提问
学生
行为
了解
动手
求解

教学
意图
交给
学生
自我
发现
归纳

*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
等比数列的通项公式就是什么
结论:
质疑
归纳
强调

n1
时
间
2
,2,6,
、的通项公式与第7项.
3
1
,
a
5
5
, 判断
125
就是
巡视
25
指导
否为数列中的项,如果就是,请指出就是第几项、

2、在等比数列
< br>a
n

中,
a
2

回答
理解
强化
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
70

a
n
a
1
q.

引导

提问
巡视
指导
回忆

反思
动手
求解

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
已知等 比数列
{a
n
}
中,
a
4
1,a
7< br>
,求
a
11
.
解答1 由已知条件得
< br>a
1
q
3
1


6
1

aq

1
8


检验
学生
学习
效果
培养
学生
总结
反思
学习
过程
的能
力
80

1
8

1
解方程组得
a
1
8
q
,
2
因此
11
.
a
11
8()
10

2 128
11
解答2 由
1q
3
得
q
.所以
82
111
.
a
11
()()
4

82128


- 21 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题6.3A组(必做);教材习题6.3B组(选
做)
(3)实践调查:用等比数列的通项公式解决生活中的一个
问题
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
教师
行为
说明
学生
行为
记录
教学
意图
分层
次要
求
时
间
90
【课题】7、1 平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
知识目标:
(1)了解向量、向量的相等、共线向量等概念;

- 22 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
(2)掌握向量、向量的相等、共线向量等概念.
能力目标:
通过这些内容的学习,培养学生的运算技能与熟悉思维能力.
【教学重点】
向量的线性运算.
【教学难点】
已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件.
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车,产生运动的效果不同”的实际问题引入概念.
向量不同于数量 ,数量就是只有大小的量,而向量既有大小、又有方向.教材中用有向线
段来直观的表示向量,有向线段 的长度叫做向量的模,有向线段的方向表示向量的方向.数量
可以比较大小,而向量不能比较大小,记号 “a＞b”没有意义,而“︱a︱＞︱b︱”才就是有
意义的、
教材通过生活实例,借助于位 移来引入向量的加法运算.向量的加法有三角形法则与平
行四边形法则、
向量的减法就是在负 向量的基础上,通过向量的加法来定义的、即a-b=a+(-b),它可以
通过几何作图的方法得到, 即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量、作向
量减法时,必须将两个向量平移至同一起点、
实数
乘以非零向量a,就是数乘运算,其结果记作

a
,它就是一个向量, 其方向与向量a
相同,其模为
a
的

倍.由此得到
a∥b a

b
.对向量共线的充要条件,要特别注意“非零
向量a、b”与“
0
”等条件、
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
7、1 平面向量的概念及线性运算
*创设情境 兴趣导入
教师
行为
介绍
播放
课件
学生
行为
了解
观瞧
课件
教学
意图
从实
例出
发使
时
间
0
3

- 23 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
如图7－1所示,用100N的力,按照不同的方向拉一辆车,
效果一样不？

①
教师
行为
引导
分析
学生
行为
思考
自我
分析
教学
意图
学生
自然
的走
向知
识点
时
间
图7－1
*动脑思考 探索新知
【新知识】
在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有 方向的量叫
做数量(标量),例如质量、时间、温度、面积、密度等.既有大
小,又有方向的量 叫做向量(矢量),例如力、速度、位移等.
平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量,线段 的
指向就就是向量的方向,线段的长度表示向量的大小.如图7-2
所示,有向线段的起点叫做 平面向量的起点,有向线段的终点
uuur
叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点的向量 记作
AB
.
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
理解
记忆

带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
也可以使用小写英文字母,印刷用黑体表示,记作a;手写 时应
r
在字母上面加箭头,记作
a
.
B
a
A





图7－2
uuur
向量的大小叫做向量的模.向量a,
AB
的模依次记作
uuuur
a
,
AB
.
模为零的向量叫做零向量.记作0,零向量的方向就是不确

- 24 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
定的.
模为1的向量叫做单位向量.
*巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机
从A处朝北偏东45°方向飞行200km, 两架飞机的位移相同
不？分别用有向线段表示两架飞机的位移.
解 位移就是向量.虽然这 两个向量的模相等,但就是它
们的方向不同,所以两架飞机的位移不相同.两架飞机位移的
有向 线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b.
b
图7-3
A
*运用知识 强化练习
说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量 (小方格
a
为1).

N
B
M
T
A
H
L
Z
Q
C
D
F
P
K
G
E
说明
强调
引领
讲解
说明
强调
含义

观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会

13
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
提问
巡视
指导

思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
18
图7−4

- 25 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*创设情境 兴趣导入
uuuur
uuur
观察图7−4中的向量AB
与
MN
,它们所在的直线平行,两
uuur
uuur
个向量的方向相同;向量
CD
与
PQ
所在的直线平行,两个向量
教 师
行为
播放
课件
质疑
引导
分析
学生
行为
观瞧
课件
自我
分析

教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
时
间
20
的方向相反.

向知
识点
*动脑思考 探索新知
【新知识】
方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量.向
量
a< br>与向量b平行记作
a
b.
规定:零向量与任何一个向量平行.
由于 任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此
相互平行的向量又叫做共线向量
.

【想一想】
图7−4中,哪些向量就是共线向量？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
uuuur
uuur
图7−4中的平行向量
AB
与
MN
,方向相同,模相等;平行向
uuur
uuur
量
HG
与
TK
,方向相反,模相等.
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

23
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
思考
归纳
理解
记忆

思考
归纳
理解
记忆
28
我们所研究的向量只有大小与方向两个要素.当向量a与
向量b 的模相等并且方向相同时,称向量a与向量b相等,记作
a = b .也就就是说,向量可以在平面内任意平移,具有这种性质
的向量叫做自由向量.

与 非零向量
a
的模相等,且方向相反的向量叫做向量
a
的
负向量,记作
a
.
规定:零向量的负向量仍为零向量.
词语

- 26 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
uuuuruuuur
uuuruuur
显然,在图7－4 中,
AB
=
MN
,
GH
= －
TK
.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中(图7－5),O为对角线交点.
uuur
(1)找出与向量
DA
相等的向量;
uuur
(2)找出向量
DC
的负向量;
D
O
A
B
C
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
强调
含义
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过
例题
进一
步领
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
反复
强调
+
33
uuur
(3)找出与向量
AB
平行的向量.
图7－5

分析 要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等,它
们必须就是方向相同,模相等;两 个向量互为负向量,它们必须就
是方向相反,模相等;两个平行向量的方向相同或相反.
解 由平行四边形的性质,得
uuur
uuur
(1)
CB
=
DA
;
uuuruuuruuur
uuur
(2)
BA
=
DC
,
CDDC
;
r
uuu
r
uuuuuuruuuruuu
r
uuu
r
(3)
BA

AB
,
DC

AB
,
CD

AB
.
*运用知识 强化练习
1. 如图,

ABC中,D、E、F分别就是三边的中点,试写出
uuuruuur(1)与
EF
相等的向量;(2)与
AD
共线的向量.
A
D
B
E
(练习题
第1题图
F
C
A
B
F
O
C
E
D
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳

38
(图8)


第
1
2
－
题图

2.如图,O点就是正六边形ABCDEF的中心,试写出
uuuruuuruuur
(1)与
OC
相等的向量; (2)
OC
的负向量; (3)与
OC
共线的向
量.
*创设情境 兴趣导入

- 27 -
播放 观瞧 从实
42

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
王涛同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到达超
市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达
学校(C处 )(如图7－6).王涛同学这两次位移的总效果就是从家
(A处)到达了学校(C处).
A
教师
行为
课件
质疑
引导
分析

学生
行为
课件
自我
分析

教学
意图
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间



C
200m
500m
B




总结
归纳
仔细
分析
思考
归纳
理解
记忆


*动脑思考 探索新知
图7－6
带领
学生
总结

50
uuuruuur
uuur
位移
AC
叫做位移
AB
与位移
BC
的与,记作
uuur
uuu
r
r
uuu
AC
=
AB
+
BC
.
B
a

b
讲解

b

a
A


a+b

C
关键
词语



图7－7

一般地,设向量a与向量b不共线,在平 面上任取一点A(如
uuuruuur
uuur
图7－6),依次作
AB=a,
BC
=b,则向量
AC
叫做向量a与向量b
的与,记作a＋b ,即
uuuruuur
uuur
a＋b =
AB
＋
BC
=
AC
(7.1)
求向量的与的运算叫做向量的加法.上述求向量的与的方
法叫做向量加法的三角形法则. 观察图7－7可以瞧到:依照三角形法则进行向量a与向量
b的加法运算,运算的结果仍然就是向量 ,叫做a与b的与向量.
其与向量的起点就是向量a的起点,终点就是向量b 的终点.
【做一做】

- 28 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
给出两个不共线的向量a与b,画出它们的与向量.
【想一想】
(1)a＋b与b＋a相等不？请画出图来说明.
(2)如果向量a与向量b共线,如何画出它们的与向量？
*动脑思考 探索新知
r
uuur
uuu
如图7－9所示, ABCD为平行四边形,由于
AD
=
BC
,根据
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
总结
归纳
仔细
分析

讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结

55
三角形法则得
D
C
uuuruuur
uuuruuuruuur
AB
＋
AD
=
AB
＋
BC
=
AC

A
图7－9

B
这说明,在平行四边形
uuur
ABCD中,
AC
所表示的向量< br>uuuruuur
就就是
AB
与
AD
的与.这种求与方法叫做 向量加法的平行四边
形法则
.

平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法
具有以下的性质:
(1)a＋0 = 0＋a = a; a＋(−a)= 0;
(2)a＋b=b＋a;
(3)(a＋b)＋ c = a ＋(b＋c).

- 29 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 kmh的速度航行,方向垂直于河岸,已知
水流速度为5 kmh,求该船的实际航行速度.
uuur
uuur
解 如图7－10所示,
AB
表示船速,
AC
D
B
教师
行为
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
C
A
图7－10
学生
行为
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解

教学
意图
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
反复
强调

时
间
62
为水流速度,由向量加法的平行四边 形法
uuur
则,
AD
就是船的实际航行速度,显然
uuurAD
uuur
2
uuur
2
ABAC
=
1 2
2
5
2
=13.
讲解
说明
又
t anCAD
12
,利用计算器求得
5
CAD6723
< br>.
即船的实际航行速度大小就是13kmh,其方向与河岸线(水
流方向)的夹角约< br>6723

.
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体(图7－11).设 物体
的重力为k,两条绳子与垂线的夹角为

,求物体受到沿两条绳
子的方向 的拉力
F
1
与
F
2
的大小.
分析 由于两条同

2
样的绳子与竖直垂线所
成的角都就是

,所 以
F
1
F
2
.解决问题不
F
2


F
1
考虑其它因素,只考虑
受力的平衡,所以
F
1
F
2
k
、
k

图7－11
解 利用平行四边形法则,可以得到
F
1
F
2
2F
1
cos

k
,
所以




- 30 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程

F
1

【想一想】
根据例题4的分析,判断在单杠上悬挂身体时(如图7－
k
2cos

教师
行为
.
学生
行为
教学
意图
时
间
12),两臂成什么角度时,双臂受力最小？

图7-12
*运用知识 强化练习
练习7、1、2
1． 如图,已知a,b,求a＋b.
启发
引导
提问
巡视
b
b
a
(1)
第1题图

(图1－15)
(2)
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳

65
指导

a
2.填空(向量如图所示):
(1)a＋b =_____________ ,
(2)b＋c =_____________ ,
(3)a＋b＋c =_____________ .
3.计算:
uuuruuuruuuruuuruuur
uuur
(1)
AB
＋
BC
＋
CD
; (2)
OB
＋
BC
＋
CA
.
*创设情境 兴趣导入
在进行数学运算的时候,减去一个数可以瞧作加上这个数

- 31 -
质疑
引导
思考
参与
引导
启发
66

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
的相反数.
教师
行为
分析
学生
行为
分析
教学
意图
学生
思考
*动脑思考 探索新知
与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的与定
义为向量a与向量b的差.即
a −b = a＋(−b).
uuuruuur
设a
=OA
,b
OB
,则
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
OAOBOA(OB)= OABOBOOABA
.
时
间
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结

68
uuuruuur
uuur
即
OAOB
=
BA
(7.2)
观察图7－13可以得到:起点相同的两个向量a、 b,其差a
－b仍然就是一个向量,叫做 a与b的差向量,其起点就是减向量
b的终点,终点就是被减向量a的终点.
B

b
a-b

a
A


图7－13

O


强调
含义
说明
思考
求解
领会
思考
求解

注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
70

*巩固知识 典型例题
例5 已知如图7－14(1)所示向量a 、b ,请画出向量a－
b.
a

b

图7－14
a
A

O

(2)
b


B



(1)

点

解 如图7－14(2)所示,以平面上任一点O为起点,作
uuu ruuur
uuur
OA
=a,
OB
=b,连接BA,则向量
BA
为所求的差向量,即
uuur
BA
= a－b .

- 32 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
【想一想】
当a与 b共线时,如何画出a－b .
*运用知识 强化练习
uuuruuur
1.填空:(1)
AB
 AD
=_______________,
uuur
uuur
(2)
BC
BA
=______________,
uuuruuur
(3)
ODOA
=______________.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
72
2.如图,在平行四边形
uuuruuur
ABCD中,设
AB
= a,
AD
= b,试
uuur
uuur
用a, b表示向量
AC
、
BD
、
uuur
DB
.
*创设情境 兴趣导入
uuur
观察图7－15可以瞧出,向量
OC
与向量a共线,并且
uuur
OC
＝3a.
质疑
引导
分析

思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
74
a
a
O A
a
B
图7−15
*动脑思考 探索新知
一般地,实数

与向量a的积就是一个向量,记作< br>
a,它的
模为

|a||||a|
(7.3)
若
|

a|
0,则当

＞0时,

a的方向与a 的方向相同,当

＜0时,

a的方向与a的方向相反.
由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当

0
时,有
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
启发
学生
得出
结论
78
a
C


- 33 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
a∥ba

b
(7.4)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
一般地,有
0a= 0,

0 = 0 .
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于
任意向量a, b及任意实数

、

,向量数乘运算满足如下的法则:
1aa，


1

　　

1

aa　；


2

　　


a



a



< br>
a

；

3

　　





a

a

a；



４

　


ab



a

b．
【做一做】
请画出图形来,分别验证这些法则.
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相< br>类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可
直接应用于向量的运算中.但就 是,要注意向量的运算与数的运
算的意义就是不同的.
*巩固知识 典型例题
例6 在平行四边形ABCD中,O为两对角线交点如图7－
uuuruuur
uuuruuur16,
AB
＝a ,
AD
＝b,试用a, b表示向量
AO
、
OD
.
强调
含义
说明

思考
求解
领会
思考
求解

注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
81
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
分析 因为AOAC
,
ODBD
,所以需要首先分别求
22
uuur< br>uuur
出向量
AC
与
BD
、

uuur
解
AC

＝a
图7－16

uuur
＋b,
BD
＝b −a,
因为O分别为

- 34 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
AC,BD的中点,所以
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
uuur
1
uuur
111
AOAC
(a＋b)＝a＋b,
2222
uuur
r< br>11
uuu
11
OD
＝
BD
＝(b −a)＝−a+b.
2222
1111
a＋b与−a+b都叫做向量a,b的线性组 合,
2222
uuuruuur
或者说,
AO
、
OD
可以用向量a,b线性表示.
例6中,
一般地,

a＋

b叫做a, b的一个线性组合(其中

,

均为
系数).如果l ＝

a＋

b,则称l可以用a,b线性表示.
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算
.

*运用知识 强化练习
1. 计算:(1)3(a −2 b)－2(2 a＋b);
(2)3 a −2(3 a −4 b)＋3(a −b).
uuuruuur
1
2.设a, b不共线,求作有向线段
OA
,使
OA
＝(a＋b).
2
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
83

*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
向量、向量的模、向量相等就是如何定义的？
结论:
当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、位移等,这
种量叫做向量(矢量)
uuur
向量的大小叫做向量的模.向量a,
AB
的模依次记作
uuuur
a
,
AB
.
质疑
归纳
强调

回答

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

85
a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量a与向量b
相等,记作a = b .

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
引导

回忆



- 35 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
计算:
uuuruuuruuuruuuruuur
uuur
(1)
AB
＋
BC
＋
CD
; (2)
OB
＋
BC
＋
CA
.
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题7.1 A组(必做);7.1 B组(选做)
(3)实践调查:试着用向量的观点解释生活中的一些问题
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
说明 记录
教师
行为
提问
巡视
指导
学生
行为
反思
动手
求解
教学
意图
检验
学生
学习
效果

分层
次要
求
90
时
间
88

- 36 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
【课题】7、2 平面向量的坐标表示
【教学目标】
知识目标:
(1)了解向量坐标的概念,了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示;
(2)了解两个向量平行的充要条件的坐标形式、
能力目标:
培养学生应用向量知识解决问题的能力、
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则、
【教学难点】
向量的坐标的概念、采用数形结合的方法进行教学就是突破难点的关键、
【教学设计】 向量只有“模”与“方向”两个要素,为了研究方便,我们首先将向量的起点放置在坐
标原点(一般 称为位置向量).设
x
轴的单位向量为
i
,轴的单位向量为
j
.如果点
A
的坐标为
(
x
,
y
),则
uuur
OAxiyj
,
uuuruuur
将有序实数对(< br>x
,
y
)叫做向量
OA
的坐标.记作
OA
= (
x
,
y
).
例1就是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题. 要强调此时起点的位置.让学生认
识到,当向量的起点为坐标原点时,其终点的坐标就就是向量的坐标. 例2就是关于“向量线
性运算的坐标表示”的知识巩固性例题.要强调与公式的对应.
在研究 起点为坐标原点的向量的基础上,利用向量加法的三角形法则,介绍起点在任意
位置的向量的坐标表示, 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的
坐标,由此得到公式(7、8)、数值 上可以简单记为:终点的坐标减去起点的坐标.例3就是关
于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩 固性例题.要强调“终点的坐标减去起点的坐
标”.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】

- 37 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*揭示课题
7、2 平面向量的坐标表示
*创设情境 兴趣导入
【观察】
设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i, y轴的单位向量
uuur< br>为j,
OA
为从原点出发的向量,点A的坐标为(2,3)(图7－17).则
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析

学生
行为
了解
思考
自我
分析

教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点

时
间
0
5

图7－17
uuur
uuuur
OM2i
,
ON3j
.
由平行四边形法则知
uuuruuuuruuur

OAOMON2i3j
.
【说明】
可以瞧到,从原点出发的向量,其坐标在数值上与向量终点的坐
标就是相同的.
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量, < br>uuuur
(1)设点
M(x,y)
,则
OMxi+yj
( 如图7－18(1));
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
(2)设点
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)
(如图7－18(2)),则

- 38 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
y
M(x,y)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
j
O
i x

(1)
y
B
A
j
O
i x

(2)
图7－18
uuuruuuruuur
ABOBOA(x
2
i+y< br>2
j)(x
1
i+y
1
j)
(x
2x
1
)i(y
2
y
1
)j．

由此瞧到,对任一个平面向量a,都存在着一对有序实数
(x,y)
, 使得
axiyj
.
有序实数对
(x,y)
叫做向量a的坐标,记作

a(x,y)
.
uuur
如图7－17所示,向量的坐标为
OA(2,3)．

如图7－18(1)所示,起点为原点,终点为
M(x,y)
的向量的坐
标为
uuuur
OM(x,y)．

如图7－18(2)所示,起点为
A(x
1
,y
1
)，
终点为
B(x
2
,y
2
)
的向量

- 39 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
坐标为
uuur
AB(x
2
x
1
，y< br>2
y
1
)．
(7.5)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
*巩固知识 典型例题
例1 如图7－19所示,用x轴与y轴上的单位向量i
、
j表
示向量a
、
b, 并写出它们的坐标.
解 因为
uuuur
uuur
a＝
OM
＋
MA
＝5i＋3j ,

说明
强调
引领
讲解
说明

观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会

15
所以
a(5,3)
.
同理可得
b(4,3)
.


【想
一想】
观察
图7－
图7－19
uuur
OA
19,与
u uuur
OM
的坐标之间存在什么关系？
uuuruuur
，QP
的坐标. 例2 已知点
P(2,1)，Q(3,2)
,求
PQ
uuur
解
PQ(3,2)(2,1)(1,3),

uuur

QP(2,1)(3,2)(1,3)．

*运用知识 强化练习
uuur
1. 点A的坐标为(－2,3),写出向量
OA
的坐标,并用i与 j的
uuur
线性组合表示向量
OA
.
提问
巡视
指导
思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
20
2. 设向量
a3i4j
,写出向量a的坐标.

- 40 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
uuuruuur
BA
的坐标. 3. 已知A,B两点的坐标,求
AB，
教师
行为
学生
行为
教学
意图
况
时
间
(1)
A(5,3),B(3,1);

(2)
A(1,2),B(2,1);

(3)
A(4,0),B(0,3)．

*创设情境 兴趣导入
【观察】
观察图7－20,向量
uuuruuuruuuuruuuruuur
OA(5, 3)
,
OP(3,0)
,
OMOAOP(8,3)
.可以瞧 到,两
质疑
引导
分析

思考
参与
分析

引导
启发
学生
思考
27
个向量与的坐标恰好就是这两个向量对应坐标的与.


图7－20
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设平面直角坐标系中,
a(x
1
,y
1
)
,
b(x
2
,y
2
)
,则

ab(x
1
i y
1
j)(x
2
iy
2
j)

(x
1
x
2
)i(y
1
y
2
)j
.
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

35
所以
ab(x
1x
2
,y
1
y
2
)
. (7.6)
类似可以得到

- 41 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
ab(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
. (7.7)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

a(
< br>x
1
,

y
1
)
. (7.8)
*巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1,−2), b＝(−2,3),求下列向量的坐标:
(1) a＋b , (2) −3 a, (3) 3 a −2 b .
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3×(1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a −2 b＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7,
−12).
*运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标,求a＋b、 a −b
、
−2 a＋3 b的坐标.
（1） a＝(−2,3), b＝(1,1);
（2） a＝(1,0), b＝(−4, −3);
（3） a＝(−1,2), b＝(3,0).
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
*创设情境 兴趣导入
【问题】
前面我们学习了公式(7、4),知道对于非零向量a
、
b,当
引导
分析
观察
思考
思考
参与
分析

引导
启发
学生
思考
60
55
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会

45

0
时,有
a∥ba

b

如何用向量的坐标来判断两个向量就是否共线呢？

*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
a(x
1
,y
1
), b(x
2
,y
2
),
由
a

b
,有
x
1


x
2
,y
1


y
2
,
于就是
x
1

y
2


x
2
y
1
,即
总结
归纳
仔细
分析
讲解

思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

67

- 42 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程

x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
由此得到,对非零向量a
、
b,设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

0
时,有

a∥bx
1
y
2x
2
y
1
0．
(7.9)
*巩固知识 典型例题
例4 设
a(1,3),b(2,6)
,判断向量a
、
b就是否共线.
解 由于 3×2−1×6＝0,
故由公式(7.9)知,
a∥b
,即向量a
、
b共线.

*运用知识 强化练习
判断下列各组向量就是否共线:
说明
强调
引领
分析
讲解
说明
启发
引导
提问
巡视
指导

思考
了解
动手
求解

观察
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
质疑
归纳
强调

回答

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

80
75
70
3
（1） a＝(2,3), b＝(1,);
2
（2） a＝(1, −1) , b＝(−2,2);
（3） a＝(2, 1) , b＝(−1,2).

*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
向量坐标的概念？
任意起点的向量的坐标表示？
共线向量的坐标表示？
结论:
一般地,设平面直角坐标系中,x轴的单位向量为i, y轴的单
位向量为j ,则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一对实数
x、y,使得
axiyj
.有 序实数对
(x,y)
叫做向量a的坐标,记作

a(x,y)
.
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起
点的向量的坐标、

- 43 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
对非零向量a
、
b,设
a(x
1,y
1
),b(x
2
,y
2
),
当

0
时,有

a∥bx
1
y
2
x
2
y
1
0．

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
引导

提问
巡视
指导
回忆

反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果

说明 记录 分层
次要
求
90
85

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
已知向量a, b的坐标,求a＋b、 a − b
、
−2 a＋3 b的坐标.
a＝(−2,3), b=(1,1);
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题7、2 A组(必做);7、2 B组(选
做)
(3)实践调查:寻找生活中的向量坐标实例
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况
在交流中,就是否积极表达;

- 44 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
【课题】7、3 平面向量的内积
【教学目标】
知识目标:
(1)了解平面向量内积的概念及其几何意义、
(2)了解平面向量内积的计算公式、为利用向量的内积研究有关问题奠定基础、
能力目标:
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察与归纳的能力.
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式、
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.
【教学设计】
教材从某人 拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都就是向量,
而功就是数量.因此,向量 的内积又叫做数量积.
在讲述向量内积时要注意:
(1)向量的数量积就是一个数量,而不 就是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角
余弦的乘积、其符号就是由夹角决定;
(2)向量数量积的正确书写方法就是用实心圆点连接两个向量、
教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中:
(1)当＝0时 ,a·b＝|a||b|;当＝
180
时,a·b＝－|a||b|.可以记忆为: 两个共线向量,
方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数.
(2)|a|＝
aa
显示出向量与向量的模的关系,就是得到利用向量的坐标计算向 量模的公
式的基础;
(3)cos＝
ab
,就是得到利用两个 向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础;
|a||b|
o
(4)“a·b＝0

a

b”经常用来研究向量垂直问题,就是推出两个向量内积坐标表示的< br>
- 45 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
重要基础.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
7、3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
F
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考
自我
分析
教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
时
间
0
5
O
30
s
向知
识点
图7—21


如图7－21所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N的力,
朝着与水平线成
30
角的方向拉小车,使小车前进了100 m.那
么,这个人做了多少功？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
我们 知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离
的乘积.如图7－22所示,设水平方向的单位向量 为i,垂直方向的
单位向量为j,则
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
理解
记忆

带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
15
F
x
i + y j
Fsin30
o
iFcos30
o
j
,
即力F就是水平方向的力与垂直方向的力的与,垂直方向上没
有产生位移,没有做功,水平方向上产生的 位移为s,即
W＝｜F｜cos
30
·｜s｜＝100×
3
·1 0＝500
3
(J)
2

- 46 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
y
F(x,y)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
j
O
i x

图7－22
这里,力F与位移s都就是向量,而功W就是一个数量, 它等
于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量
F与向量s的内积,它就
是一个数量,又叫做数量
积.
如图7－23,设有两
uuur
个非零向量a, b,作
OA
＝
O
图7－23
A
a
b
B
uuur
a,
OB
＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向 量a与向量b
的夹角,记作.
两个向量a,
b
的模与它们的夹角 的余弦之积叫做向量a与
向量b的内积,记作a·b, 即
a·b＝｜a||b|cos (7、10)
上面的问题中,人所做的功可以记作W＝F·s
、

由内积的定义可知
a·0＝0, 0·a＝0.
由内积的定义可以得到下面几个重要结果:
（1） 当＝0时,a·b＝|a||b|;当＝
180
时,a·b
＝− |a||b|、
（2） cos＝
ab
、
|a||b|
2
总结
o
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
反复
强调
30
归纳
仔细
分析
讲解
关键
（3） 当b＝a时,有＝0,所以a·a＝|a||a|＝|a|,即|a|

- 47 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
＝
aa
、
（4） 当
a,b90
o
时,a

b,因此,a·b＝
abcos90
o
0,
因 此对非零向量a,b,有
教师
行为
词语
学生
行为
教学
意图
时
间
a·b＝0

a

b
、

可以验证,向量的内积满足下面的运算律:
（1） a·b＝b·a.
（2） (

a
)·b＝

(a·b)＝a·(

b).
（3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c.
注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即
a·(b·c)≠(a·b)·c、
请结合实例进行验证、
*巩固知识 典型例题
例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝
60
,求a·b.
解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos
60
＝3.
例2 已知|a|＝|b|＝
2
,a·b＝

说明
强调
引领

思考
主动
求解

注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点
40
2
,求.
2
2
ab
解 cos＝＝＝−、
|a||b|
2
22
由于 0≤≤
180
,
所以 ＝
135
o
.
*运用知识 强化练习
1、 已知|a|＝7,|b|＝4,a与b的夹角为
60
,求a·b.
2、 已知a·a＝9,求|a|.
3、 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝
30
,求(2a＋b)·b.
提问
巡视
指导
思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
45
*动脑思考 探索新知

- 48 -
总结 思考 带领
60

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
设平面向量a＝(x
1
,y
1
),b＝(x
2
,y
2
),i,j分别为x轴,y轴上的单
位向量,由于i⊥j,故i·j ＝0,又| i |＝|j|＝1,所以
a·b＝(x
1
i＋y
1
j)· (x
2
i＋y
2
j)
＝ x
1
x
2
i •i＋ x
1
y
2
i •j＋ x
2
y
1
i •j ＋ y
1
y
2
j •j
＝ x
1
x
2
|j|
2
＋ y
1
y
2
|j|
2

＝ x
1
x
2
＋ y
1
y
2
.
这就就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的与,
即
a·b＝ x
1
x
2
＋ y
1
y
2
(7、11)
利用公式(7.11)可以计算向量的模.设a＝(x,y),则
aaga
教师
行为
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
学生
行为
归纳
理解
记忆

教学
意图
学生
总结

时
间
x
2
y
2
,即
a
x
2
y
2
(7、12)
由平面向量内积的定义可以得到,当a、b就是非零向量时,
cos＝
x
1
x
2
 y
1
y
2
ab
＝、 (7、13)
2222
|a| |b|
x
1
y
1
x
2
y
2
利 用公式(7、13)可以方便地求出两个向量的夹角、
由于a

b

a·b＝0,由公式(7、11)可知
a·b＝0

x
1
x
2
＋ y
1
y
2
＝0.
因此
a

b

x
1
x
2
＋ y
1
y
2
＝0. (7、14)
利用公式(7、14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂
直的问题.
*巩固知识 典型例题
例3 求下列向量的内积:
（1） a＝ (2,−3), b＝(1,3);
（2） a＝ (2, −1), b＝(1,2);
（3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3).
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
- 49 -
观察
思考
主动
求解
观察
思考
讲解
说明
注意
观察
学生
就是
70

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7;
(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0;
(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14.
例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1)、求a·b, |a|,|b|, .
解 a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5;
|a|＝
aa(1)
2
2
2
5
;
|b|＝
bb(3)
2
1
2
10
;
cos＝
52
ab

＝,
2
|a||b|
105
教师
行为
分析
强调
含义
说明
学生
行为
求解
领会
思考
求解
教学
意图
否
理解
知识
点
反复
强调
时
间
所以 ＝
45
o
.
例5 判断下列各组向量就是否互相垂直:
(1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4);
(2) a＝(0, −1), b＝(1, −2).
解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0,所以a

b.
(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2,所以a与b不垂直.
*运用知识 强化练习
1． 已知a＝(5, −4),b＝(2,3),求a·b.
2． 已知a＝(1,
3
),b＝(0,
启发
引导
提问
思考
了解
动手
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
80
3
),求.
巡视
指导

3． 已知a＝(2, −3),b＝(3,－4),c＝(−1,3),求a·(b＋c).
4、 判断下列各组向量就是否互相垂直:
(1) a＝(−2, −3),b＝(3, −2); (2) a＝(2,0),b＝(0, −3); (3)
a＝(−2,1),b＝(3,4).
5、 求下列向量的模:
(1) a＝(2, −3), (2) b＝(8, 6 ).
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
平面向量内积的概念、几何意义?

- 50 -
质疑
归纳
强调
回答

及时
了解
学生
83

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
结论:
两个向量a,
b
的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b, 即
a·b＝｜a||b|cos (7、10)
a·b的几何意义就就是向量a的模与向量b在向量a上的
投影的乘积.
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
1、已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b.
2、已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c).
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:阅读教材
(2)书面作业:教材习题7、3 A组(必做);7、3 B组(选
做)
(3)实践调查:编写一道向量内积问题并解答.
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
学生思维情况
思维就是否有条理、灵活;
说明 记录
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果

分层
次要
求
90
88
引导 回忆

教师
行为

学生
行为
教学
意图
知识
掌握
情况

时
间

- 51 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
【课题】8.1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标:
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式;
能力目标:
用“数形结合”的方法,介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式与中点坐标公式就是解析几 何的基本公式,教材采用“知识回顾”的方
式给出这两个公式.讲授时可结合刚学过的向量的坐标与向量 的模的定义讲解,但讲解的重点
应放在公式的应用上.
例1就是巩固性练习题.题目中,两个 点的坐标既有正数,又有负数.讲授时,要强调两点间
的距离公式的特点特别就是坐标为负数的情况.
例2就是中点公式的知识巩固题目.通过连续使用公式(8、2),强化学生对公式的理解与
运 用.
例3就是本节两个公式的综合性题目,就是知识的简单综合应用.要突出 “解析法”,进
行数学思维培养.
【教学备品】
教学课件.

- 52 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
8.1 两点间的距离与线段中点的坐标
*创设情境 兴趣导入
【知识回顾】
平面直角坐标系中,设
P
1
(x
1,y
1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)
,则
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考

教学
意图
启发
学生
思考

时
间
0
15
uuuur
PP
12
(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
.

*动脑思考 探索新知
【新知识】
总结
归纳
思考
记忆
带领
学生
分析

25

uuuur
我们将向量< br>PP
1
、
P
2
之间的距离,记作
12
的模, 叫做点
P
PP
12
,则
uuuuruuuuruuuur
22

|PPPP
12< br>|PP
12
PP
12
g
12
(x
2< br>x
1
)(y
2
y
1
)

(8.1)
*巩固知识 典型例题
例1 求A(−3,1)、B(2,−5)两点间的距离.
解 A、B两点间的距离为
|AB| (32)
2


1(5)

61
2< br>说明
强调
引领
讲解
说明

观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会

30

第1题图

- 53 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
*运用知识 强化练习
1.请根据图形,写出M、N、P、Q、R各点的坐标.
2.在平面直角坐标系内,描出下列各点:
A(1,1)
、
B(3,4)< br>、
C(5,7)
.并计算每两点之间的距离.
教师
行为
提问
巡视
指导
学生
行为
思考
口答

教学
意图
反复
强调

时
间
38
*创设情境 兴趣导入
【观察】
练习8.1.1第2题的计算结果显示,
质疑
引导
分析

思考
参与
分析

引导
启发
学生
思考
43
|AB||BC|
1
|AC|
.
2
这说明点B就是线段AB的中点,而它们三个点的坐标之间
恰好存在关系
3
*动脑思考 探索新知
【新知识】
1517
,
4

22
总结
归纳
仔细
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

52
设线段的两个端点分别为
A(x
1
,y
1
)
与
B(x
2
,y
2
)
,线段的中
分析
讲解
关键
uuuur
点为
M(x
0
, y
0
)
(如图8－1),则
AM(x
0
x
1< br>,y
0
y
1
),

uuur
MB(x< br>2
x
0
,y
2
y
0
),
由于M 为线段AB的中点,则
词语
uuuuruuur
AMMB,
即
( x
0
x
1
,y
0
y
1
)(x
2
x
0
,y
2
y
0
)，
即

x
0
x
1
x
2
x
0
,< br>xx
2
yy
解得
x
0

1
,y
0

12
.

22

y
0
y
1
y
2y
0
,
y
B(x
2
, y
2
)
M(x
0
, y
0
)
A(x
1
, y
1
)
O
x


- 54 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
图8－1
一般地,设
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y< br>2
)
为平面内任意两点,则线
段
P
1
P
2< br>中点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
x
0

x
1
x
2
yy
2
,y
0

1
.
(8.2)
22
说明
强调
引领
讲解
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
就是
否
理解
知识
点

65
*巩固知识 典型例题
例2 已知点S(0,2)、点T(−6,−1),现将线段ST四等分,试求
出各分点的坐标.
分析 如图8－2所示,首先求出线段ST的中点Q的坐标,
然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标.
解 设线段ST的中点Q的坐标为
(x
Q
,y
Q
)
,
则由点S(0,2)、点T(−6,−1)得
说明
引领
分析
说明

x
Q

y
Q

0( 6)
3
,
2
2(1)1

.
22
即线段ST的中点为
1
Q.
（3,）
2
图8－2
同理,求出线段SQ的中
3591
点P
（,）
,线段QT的中点
R
.
（,）
242435191
故所求的分点分别为P、Q、
R
.
（,）（3,）（,）
24224
例3 已知
ABC
的 三个顶点为
A(1,0)
、
B(2,1)
、
C(0,3)
,
试求BC边上的中线AD的长度.
解 设BC的中点D的坐标为
(x
D
,y
D
)
,则由
B(2,1)
、

- 55 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
C(0,3)
得
x
D

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
(2)013
1
,
y
D
2
,
22
故
|AD|(11)
2
(20)
2
22,

即BC边上的中线AD的长度为
22
.
*运用知识 强化练习
1.已知点
A(2,3)
与点
B(8,3)
,求线段AB中点的坐标. < br>2.已知
ABC
的三个顶点为
A(2,2)
、
B(4,6 )
、
C(3,2)
,
求AB边上的中线CD的长度.
3.已知 点
Q(4,n)
就是点
P(m,2)
与点
R(3,8)
连线 的中点,求
m与n的值.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？
结论:
设平面直角坐标系内任意两点< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
,则
质疑
归纳
强调

回答

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

80
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解

进一
步领
会知
识点

75
P
1
(x
1
,y
1
)
、< br>P
2
(x
2
,y
2
)
的距离为(证明略)
22

|PP
12
|(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)
.
设
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2< br>(x
2
,y
2
)
为平面内任意两点,则线段
P
1
P
2
中点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标为
x
0

x
1
x
2
yy
2
,y
0

1
.

22
引导

提问
巡视
回忆

反思
动手
检验
学生
86

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习

- 56 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
的？您的学习效果如何？
已知点
M(0,2)
,点
N(2 ,2)
,求线段MN的长度,并写出线
段MN的中点P的坐标.
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题8.1 A组(必做);教材习题8.1 B
组(选做)
(3)实践调查:编写一道关于求中点坐标的问题并求解.
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
说明 记录
教师
行为
指导
学生
行为
求解
教学
意图
学习
效果

分层
次要
求
90
时
间
【课题】8.2 直线的方程(二)

- 57 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
【教学目标】
知识目标:
(1)了解直线与方程的关系;
(2)掌握直线的点斜式方程、斜截式方程,理解直线的一般式方程.
能力目标:
培养学生解决问题的能力与计算能力.
【教学重点】
直线方程的点斜式、斜截式方程.
【教学难点】
根据已知条件,选择直线方程的适当形式求直线方程.
【教学设计】
采用“问题— —分析——联系方程”的步骤,从学生熟知的一次函数图像入手,分析图像
上的坐标与函数解析式的关系 ,把函数的解析式瞧作方程,图像就是具有某种特征的平面点集
(轨迹).很自然地建立直线与方程的关 系,把函数的解析式瞧作方程就是理解概念的关键.
导出直线的点斜式方程过程,就是从直线与方程的 关系中的两个方面进行的.首先就是直
线上的任意一点的坐标都就是方程的解,然后就是以方程的解为坐 标的点一定在这条直线上.
直线的斜截式方程就是直线的点斜式方程的特例.直线的斜截式方程与一次 函数的解析
式具有相同的形式.要强调公式中
b
的意义.
直线的一般式方程 的介绍,分两个层次来处理也就是唯一的.首先,以问题的形式提出前
面介绍的两种直线方程都可以化成 一般的二元一次方程的形式.然后按照二元一次方程
AxByC0
的系数的不同取值,进 行讨论.对
y
CC
与
x
只就是数形结合的进行说
B A
明.这种方式比较适合学生的认知特征.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
8.2 直线的方程(二)
*创设情境 兴趣导入
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考

教学
意图
启发
学生
思考
时
间
0
5

- 58 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
【问题】
我们知道,方程
xy10
的图像 就是一条直线,那么方程
的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
已知直线的倾角为
45
o
,并且经过点
P0
(0,1)
,由此可以确定
讲解
说明
引领
分析
思考
理解
思考
理解
记忆

带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
20
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
一条直线l.设点
P(x,y)
为直线l上不 与点
P
0
(0,1)
重合的任意
仔细
分析
一点(图8－6).
讲解
关键
词语


图8－6
ktan45
o

y1
,
x0
即
xy10
.
这说明直线上任意一点的坐标都就是方程
xy10
的
解.
设 点
P
1
(x
1
,y
1
)
的坐标为方程xy10
的解,即
x
1
y
1
10
,则
y
1
1
ktan45
o
,
x
1
0
已知直线的倾角为
45
o
,并且经过点
P
0
(0,1)
,只可以确定一
o
条直线l.这说明点
P
1< br>(x
1
,y
1
)
在经过点
P
0
(0 ,1)
且倾角为
45
的

- 59 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
直线上.
一般地,如果直线(或曲线)L与方程
F(x,y)0
满足下列
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
关系:
⑴ 直线(或曲线)
L
上的点的坐标都就是二元方程
F(x,y)0
的解;
⑵ 以方程
F(x,y)0
的解为坐标的点都在直线(或曲
线)
L
上.
那么,直线(或曲线)
L
叫做二元方程
F(x,y)0
的直线(或
曲线),方程
F(x,y)0
叫做直线(或曲线)
L
的方程、 记 作曲线
L
:
F(x,y)0
或者曲线
F(x,y)0
.
例如,直线l的方程为
xy10
,可以记作直线
l:xy10< br>,也可以记作直线
xy10
.
下面求经过点
P
0(x
0
,y
0
)
,且斜率为
k
的直线l的方程 (如图
8－7).

图8－7
在直线l上任取点
P(x,y)< br>(不同于
P
0
点),由斜率公式可得
k
yy
0
,
xx
0
即
yy
0
k(xx
0
)
.

- 60 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
显然,点
P
0
(x
0
,y
0
)
的坐标也满足上面的方程.
方程

yy
0
k(xx
0
)
, (8.4)
叫做直线的点斜式方程.其中点
P
0
(x
0
, y
0
)
为直线上的点,
k
为
直线的斜率.
【说明】
当直线经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且斜率不存在时,直线的倾角为
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
90°,此时直线与x轴垂直, 直线上所有的点横坐标都就是
x
0
,因
此其方程为
xx
0
.
*巩固知识 典型例题
例2 在下列各条件下,分别求出直线的方程:
(1)直线经过点
P
0
(1,2)
,倾角为
45< br>o
;
(2)直线经过点
P
1
(3,2)
,
P
2
(1,1)
.
解 (1)由于

45
,故斜率为
ktan

tan451
,
o
o
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
讲解
说明

观察
思考
主动
求解
思考
主动
求解
通过
例题
进一
步领
会
注意
观察
学生
就是
否
30
又因为直线经过点
P
0
(1,2)
,所以直线方程为
y21(x1)
,
理解
知识
点
即
xy10
.
(2)直线过点
P
1
(3,2)
,
P
2
(1,1)
,由斜率公式得

- 61 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
k
故直线的方程为
123

.
134
3
y2(x3)
,
4
即
3x4y10
.
【想一想】
例2(2)题中,如果利用点
P
2
(1,1)
与
k
程,结果就是否一样,为什么？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如图8－8所示,设直线l与x轴交于点
A(a,0)
,与y轴交于
点
B(0,b)
.则
a
叫做直 线l在x轴上的截距(或横截距);
b
叫做直
线l在y轴上的截距(或纵截距).
【想一想】
直线在x轴及y轴上的截距有
可能就是负数不？
图8－8
【新知识】
设直线在y轴上的截距就是b,即直线经过点
B(0,b)< br>,且斜
率为
k
.则这条直线的方程为
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结

40
3
写出的直线方
4
ybk(x0)
,
即
ykxb
.
方程

- 62 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程

ykxb
(8.5)
叫做直线的斜截式方程.其中
k
为直线的斜率,
b
为直 线在y轴
的截距.
*巩固知识 典型例题
例3 设直线l的倾角为60°,并且经过点P(2,3).
(1)写出直线l的方程;
(2)求直线l在y轴的截距.
解 (1)由于直线l的倾角为60°,故其斜率为
ktan60
o
3
.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
引领
分析
讲解
说明

观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会

50
又直线经过点P(2,3),由公式(8、4)得知直线的方程为
y33(x2)
.
(2)将上面的方程整理为
y3x233
.
这就是直线的斜截式方程,由公式(8、4)知直线l的在y轴
的截距为
323
.
【想一想】
例3(2)中,求直线在y轴的截距还有其她的方法不？
*运用知识 强化练习
1.作出
y
中的点.
2.设点
P(a,1)< br>在直线
3xy50
上,求
a
的值.
提问
巡视
指导
思考
求解

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
60
1
x
的 图像,并判断点
P(2,3)
、
Q(4,2)
就是否为图像
2
- 63 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
3.根据下列各直线满足的条件,写出直线的方程:
(1)过点
(5,2)
,斜率为3; (2)在y轴上的截距为5,斜
率为4.
4.分别求出直线
y85(x1)
在x轴及y轴上的截距.
*创设情境 兴趣导入
【问题】
质疑
引导
分析
可化为
思考
参与
分析
引导
启发
学生
思考
65
教师
行为
学生
行为
教学
意图
况
时
间
y y
0
k(xx
0
)
kxyy
0
kx< br>0
0
;
ykxb
可化为
kxyb0
,由 此瞧
到,直线的点斜式方程与斜截式方程都可化为二元一次方程的
一般形式
AxBy C0
.
那么,能不能说,一般形式的二元一次方程
AxByC0
就就是直线的方程呢？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
(1)当
A0
,
B 0
时,二元一次方程
AxByC0
可化为
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆

带领
学生
总结

72
y
ACAC
x
.表示斜率为
k
, 纵截距
b
的直线.
BBBB
C
(2)当
A0
,
B0
时,方程为
y
,表示经过点
B
C
 
P

0,

且平行于x轴的直线(如图8－9).
B

(3)当
A0
,
B0
时,方程为
x< br>C
,表示经过点
A

C

P

, 0

且平行于y轴的直线(如图8－10).

A

所以 ,二元一次方程
AxByC0
(其中A、B不全为零)

- 64 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
表示一条直线.
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

图8－9 图8－10
方程
AxByC0
(其中A、B不全为零) (8、6)
叫做直线的一般式方程.
*巩固知识 典型例题
例4 将方程
y2
说明
强调
1
(x1)
化为直线的一般式方程,并分别
2
引领
讲解
说明

观察
思考
主动
求解

通过
例题
进一
步领
会

74
求出该直线在x轴与y轴上的截距.
解 由
y2
1
(x2)
得
2
3x2y60
.
这就就是直线的一般式方程.在方程中令
y0
,则
x2
,
故直线在x轴上的截距为
2
;令< br>x0
,则
y3
,故直线在y轴
上的截距为3.
【说明】
本教材中,如果不作特殊说明,作为结果,直线的方程都要求
写成一般式方程.
*运用知识 强化练习 启发
引导
思考
了解
可以
交给
78

- 65 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
1.将下列直线方程化为一般方程:
(1)
y
教师
行为
提问
巡视
指导
学生
行为
动手
求解

教学
意图
学生
自我
发现
归纳
时
间
13
x2
; (2)
y2(x1)
.
24
2.已知
ABC
的 三个顶点分别为
A(3,0)
,
B(2,1)
,
C(2,3)
,求AC边上的中线所在直线的方
程.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题:
直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程？
结论:
方程
yy
0
k(xx
0
)
, 叫做直线 的点斜式方程.其中
点
P
0
(x
0
,y
0
)
为直线上的点,
k
为直线的斜率.
方程
ykxb
叫做直线的斜截式方程.其
中
k
为直线的 斜率,
b
为直线在y轴上的截距.
方程
AxByC0
(其中A、B不全为零) 叫做直线的
一般式方程.
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习
的？您的学习效果如何？
求直线
x2y80
在x轴、y轴上的截距及斜率.
*继续探索 活动探究
(1)读书部分:教材
(2)书面作业:教材习题8、2 A组(必做);8、2 B组(选
做)
说明 记录
引导

提问
巡视
指导
回忆

反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
分层
次要
求
90
87
85
质疑
归纳
强调

回答

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

82

- 66 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
(3)实践调查:编写一道关于直线方程的问题并求解
【教师教学后记】
项目 反思点
学生就是否真正理解有关知识;
学生知识、技能的掌握情况 就是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生就是否参与有关活动;
学生的情感态度 在数学活动中,就是否认真、积极、自信;
遇到困难时,就是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生就是否积极思考;
思维就是否有条理、灵活;
学生思维情况
就是否能提出新的想法;
就是否自觉地进行反思;
学生就是否善于与人合作;
学生合作交流的情况 在交流中,就是否积极表达;
就是否善于倾听别人的意见;
学生就是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
学生实践的情况
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
【课题】8.3 两条直线的位置关系(二)
【教学目标】
知识目标:
(1)掌握两条直线平行的条件;
(2)能应用点到直线的距离公式解题.
能力目标:
培养学生的数学思维及分析问题与解决问题的能力.
【教学重点】
两条直线的位置关系,点到直线的距离公式.

- 67 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
【教学难点】
两条直线的位置关系的判断及应用.
【教学设计】
与倾角的定义相类似,本教材将 两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上.两条直
线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角 .同时规定,两条直线平行或重合时两条直线
o

的夹角为零角,这样两条直线的夹角 的范围就是

0,90

.
教材采用“数形结合”、“瞧图说话 ”的方法,导入两条直线垂直的条件,过程简单易懂.
两条直线垂直的实质就就是这两条直线的夹角为< br>90
o
.运用垂直条件时,要注意斜率不存在的
情况.
例4就是巩固 性题目.属于基础性题.首先将直线的方程化为斜截式方程,再根据斜率判断
两条直线垂直就是本套教材 判断两条直线垂直的主要方法.
例5就是利用垂直条件求直线的方程的题目,属于基础性题.首先利用 垂直条件求出直线
的斜率,然后写出直线的点斜式方程,最后将方程化为一般式方程.这一系列解题程序 ,蕴含着
“解析法”的思想方法.
需要强调,点到直线的距离公式中的直线方程必须就是一般式方程.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
8.3 两条直线的位置关系(二)
*创设情境 兴趣导入
【问题】
平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交.如何求交
点的坐标呢？
教师
行为
介绍
质疑
引导
分析
学生
行为
了解
思考

教学
意图
启发
学生
思考
时
间
0
5

- 68 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

图8－12
*动脑思考 探索新知
如图8－1 2所示,两条相交直线的交点
P
0
,既在
l
1
上,又在l
2
上.所以
P
0
的坐标
(x
0
,y
0
)
就是两条直线的方程的公共解.因此
解两条直线的方程所组成的方程组, 就可以得到两条直线交点
的坐标.
观察图8－13,直线
l
1
、< br>l
2
相交于点P,如果不研究终边相同
的角,共形成四个正角,分别为

1
、

2
、

4
,其中
1
与

3
,

2

3
、与

4
为对顶角,而且

1
+

2< br>180
0
.
讲解
说明
讲解
说明
引领
分析
仔细
分析
讲解
关键
词语

思考
思考
理解
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果

20

图8－13
我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的
夹角,记作

.
规定,当两条直线平行或重合时,两条直线的夹角为零角,

- 69 -

高教版中职教材—数学下册电子教案
教 学
过 程
90
o
]
. 因此,两条直线夹角的取值范围为
[0,
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
显然,在图8－13中,

1
(或

3
)就是直线
l
1
、
l
2
的夹角,即



1
.
当直线
l
1
与直线
l
2
的夹角为直角时称直线
l
1
与直线
l
2
垂
直,记做
l
1
l
2
.观 察图8－14,显然,平行于
x
轴的直线
l
1
与平行
于y
轴的直线
l
2
垂直,即斜率为零的直线与斜率不存在的直线
垂 直.

图8－14

*创设情境 兴趣导入
【问题】
如果两条直线的斜率都存在且不为零,如何判断这两条直
线垂直呢？
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设直线
l
1
与直线
l
2< br>的斜率分别为
k
1
与
k
2
(如图8－15),若讲解
说明
引领
分析
仔细
分析
讲解
关键

- 70 -
质疑

思考

带领
学生
分析

25
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
35
l
1
l
2
,则