城市让生活更美好-中秋节是什么时候

§ 24.3 相似三角形 .............................. ............................................... 2
1．相似三角形 ...................................... ........................................ 2
2．相似三角形的判定 ................................... ............................... 3
3．相似三角形的性质 . .................................................. ............... 7
4．相似三角形的应用 ................. ................................................. 8
阅读材料 ....................................... ............................................... 11
§24.4 中位线 .................................... .............................................. 13
§24.5 画相似图形 .................................. ........................................ 17
阅读材料 ......................................... ............................................. 18
§24.6 图形与坐标 .................................. ........................................ 19
1.用坐标确定位置 .................................... .................................. 19
小结 ..... .................................................. .............................................. 24
复习题 .......................................... .................................................. ..... 24

§24.3 相似三角形
1.相似三角形
在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles）．

图24.3.1

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24．3．1所示的两个三角形中，
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
ABBCCA
．


ABBCCA
即△ABC与△A′B′C′相似，记作
△ABC∽△A′B′C′，
读作“△ABC相似于△A′B′C′”．
如果记
ABBCCA
＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比． 
A

B

B

C

C< br>
A


做一做
如图24．3．2，△ABC中，D为边A B上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺
和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相 似．

图24.3.2

我们知道，根据两直线平行同位角相等，则 ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠
A．
通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．
如果取点D为边AB的中点，那么上题中△ADE和△ABC的相似比就为k＝
1
．
2
当k＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形．全等三角< br>形是相似三角形的特例．

练习
1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
2 ．如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么
较大三角 形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？

（第1题）
（第3题）


3． 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两
个美丽的图案．
2．相似三角形的判定
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等 ，对应边是否成比
例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
观察你与你同伴的直 角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来
是相似的．这样从直观来看 ，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，
它们就“应该”相似了.确实这样吗？

探索
如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？

试一试
如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三 对角分别
对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？

图24.3.3

我们可以发现，它们的对应边成比例，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形
的三 个角对应相等，那么这两个三角形__________．
而根据三角形内角和等于180°，我们知 道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第
三对角也一定对应相等．
于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

思考
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？

图24.3.4

例1
如图24．3．4所示，在两个直角 三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′
＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B ′C′．
证明
∵ ∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，
∴ △A BC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两
个角对应相等，那么这两个三 角形相似）．
如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明： △ADE∽△EFC．

例2

图24.3.5

证明
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC，
∴ ∠AED＝∠C，
∴ △ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角 形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似）．

练习
1．找出图中所有的相似三角形．
（第1题）



（第2题）

2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．

观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△
ABC相 似呢？

图24.3.6

1
．将点E由点A开始在AC上
3
AD
移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似． 此时=__________．
AB
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为

探 索 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个
三角形相 似吗？

做一做
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例， 并且夹角相等．量一量第
三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对 应相等？你
能得出什么结论？

我们可以发现这两个三角形相似．这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法：
如 果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两
个三角形相似．
例3
证明图24．3．7中△AEB和△FEC相似．

图24.3.7

证明
∵
AE54
1.5
，
FE36

BE45
1.5
，
CE30
AEBE
∴ ．

FECE
∵ ∠AEB＝∠FEC，
∴ △AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对 应成比
例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．

探索
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”
了．

做一做
在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的 三边长都是原来三
角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什 么结
论？大家的结论都一样吗？

图24.3.8

我们可以发现这两个三角形相似．即：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
例4
在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′< br>＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明
AB61

，

AB183
BC81

，
B

C

243
AC101

，
A

C

303
ABBCAC

∴ ，
A

B

B

C

A

C

∵
∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个 三角形的三条边
对应成比例，那么这两个三角形相似）．

练习
1．依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似．
（1） AB＝10cm，B C＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12．8cm，A′C′

＝25．6cm；
（2） ∠A＝∠80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；
（3） ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30．
2．在第1题小题（3）中，若BC＝a，∠B＝α，试求出B′C′的长与∠B′、∠C′的大
小．
3.相似三角形的性质
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可 以得到许多有用的结论．例如，
在图24．3．9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相 似比为k，其中AD、A′
D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

图24.3.9

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形， 而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这
两个三角形相似．那么
ADAB
k

A

D

A

B

由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．

图24.3.10

（2）与（1）的相似比＝__________，
（2）与（1）的面积比＝__________；
（3）与（1）的相似比＝__________，
（3）与（1）的面积比＝__________．
从上面可以看出，当相似比＝k时，面积比＝
k
．我们猜想： 相似三角形的面积比等于
相似比的平方．
2
例5
已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分别是△ABC、 △
A′B′C′对应边BC、 B′C′上的高，求证：
S
ABC
k
2
．
S
A

B

C

证明
∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴
ADBC
k
，
k
，
A

D

B

C


∴
S
ABC
S
A

B

C

1
ADBC

2
k
2

1
A

D

B

C

2
思考
图24．3．11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、
B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？

图24.3.11

可以得到的结论是____________________．
想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是____________________．

练习
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？
2．相似 三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，
周长 的比为______，面积的比为______．
3．如图，在正方形网格上有
A
1
B
1
C
1
和
A
2
B
2
C
2
，这两个三角形相似吗？如果相似，请
给出证明，并求出
A
1
B
1
C
1
和
A
2
B
2
C
2
的面积比．

(第3题)

4．相似三角形的应用
人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直 接测量的物体的高度
或宽度．
例6
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图24．3．12所示，为了
测量金字 塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字
塔的影长AB，即可 近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，

求金字 塔的高度OB．

图24.3.12

解 ∵ 太阳光是平行光线，
∴ ∠OAB＝∠O′A′B′．
∵ ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，
∴ △OAB∽△O′A′B′（如果一个三角形的两个角分别 与另一个三角形的两个角
对应相等，那么这两个三角形相似），
∴ OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
∴
OB
ABO

B

2741
，
 137
（米）
A

B

2
即该金字塔高为137 米．

图24.3.13

例7
如图24．3．13，为 了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，
再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥B C，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定
BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米， DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致
距离AB．
解
∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对
应相等，那么这两个三角形相似），
∴
解得
ABBD

，
ECCD
BDEC
AB

CD
12050
100
（米）．
60
答： 两岸间的大致距离为100米．
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．

例8
如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求
证： AD·AB＝AE·AC．

图24.3.14

证明
∵ ∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角 形的两个角对
应相等，那么这两个三角形相似）．
∴
ADAE
，

ACAB
∴ AD·AB＝AE·AC．

练习
1 ．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹
竿的影长为3 米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC ＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的
长．

（第2题）


习题24．3
1． 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 如图，DE∥BC，△ABC与△ADE；
（2） 如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．

（第1题）

2． 已知： △ABC的三边长分 别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边
长为26，求△A′B′C′的另两条 边的边长和周长以及最大角的度数．
3． 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的
三角形．
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明
过程．
（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；
（2） AB＝ 10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150厘米，B′C′＝180厘
米，A′C ′＝225厘米；
（3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°，B′ C′=5，B′C′上的高A′
D′=3．5．
5． 已知在等腰△ABC和△A′B′C′ 中，∠A、∠A′分别是顶角．试依据下列条件，
判断△ABC和△A′B′C′是否相似，如果相似， 请写出证明过程．
（1） ∠A＝∠A′．
（2） ∠B＝∠B′（或∠C＝∠C′）．
6． 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击
球的高度h．

（第6题）


阅读材料
线段的等分
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，
就是将一条 线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六 条
横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事
情．

图1

图2

如图2， 过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段
AA
1
、
A
1
A
2
、
A
2
A
3
、
A
3
A
4
、
A
4
A
5
，连结
BA
5
，再过
A
1
、
A
2
、
A
3
、
A
4
分别画
BA
5
的平 行线，
这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．
现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分．

相似三角形与全等三角形
“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言．就三角
形而 言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就
称其为全等．
相似是全等的拓展，全等是相似的特例．
人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊 到一般，二是由一般到特殊．本套教材
对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为 基本事实（即公理），再
研究相似．因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在 内的基本事
实逻辑推理得到．
例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相 等，那么这两个三角形相
似．即在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，可以推 出△ABC∽△A′
B′C′．
证明: （1） 若AB＝A′B′，则△ABC≌△A′B′C′，结论成立．
（2） 若AB≠A′B′．不妨设AB＞A′B′．
在△ABC的边AB、AC上，分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，
又∵ ∠A＝∠A′，
∴ △ADE≌△A′B′C′，
于是∠B′＝∠ADE．
∵ ∠B＝∠B′，
∴ ∠B＝∠ADE，
∴ DE∥BC．
作BC边上的高AG交DE于点F，于是AF⊥DE．
∴
S
ABC
S
ADE
S
梯形DBCE
，即
111
BCAGDEAF(DEBC)(AGAF)
．
222
化简得 DE·AG＝BC·AF，
即
BCAG

．
DEAF
因此

1
B CAG
S
ABC
S
ABC
2
BCAG

S
A

B

C

S
ADE
1
DEAF
DEAF
2
BC
2
BC< br>2
()()
．
DEB

C


< br>同理可证
S
ABC
AB
2
AC
2
() ()
．

S
A

B

C

ABAC
∴
ABACBC
．


ABACBC
又∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴ ∠C＝∠C′，
∴ △ABC∽△A′B′C′．
这里的证明，实际上就是将 △A′B′C′运动变换到△ABC内的△ADE处，得到DE∥BC，
再研究△ADE与△ABC的关 系．
试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的
奇妙！

§24.4 中位线
在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点．
现在换一个角度考虑，

图24.4.1


如果点D、E原来就是AB与AC的中 点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间
存在什么样的数量关系呢？

猜想
从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC，且DE＝
1
BC．
2

图24.4.2

证明
如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
ADAE1
∴

．
ABAC2
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（ 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并
且夹角相等，那么这两个三角形相似） ，
DE1
，

（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）
BC2
1
∴ DE∥BC且
DEBC
．
2
概括
∴ ∠ADE＝∠ABC，
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

例1
求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．

图24.4.3

已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明
连结DE、EF．因为
AD＝DB，BE＝EC，
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．
同理EF∥AB．
所以四边形ADEF是平行四边形．
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．

例2
求证：
如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
GEGD1

．
CEAD3

图24.4.4
证明

连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
∴ DE∥AC，
DE1
，

（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
AC2
∴ △ACG∽△DEG，
GEGDDE1

，
GCAGAC2
GEGD1
∴

．
CEAD3
∴

图24.4.5

拓展
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们
同 理有
G

DG

F1GDG

D1
< br>，所以有

，即两图中的点G与G′是重合的．
ADBF3ADAD3
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长
是对应中线长的
1
．
3
由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．
求证： EF∥BC，EF＝
1
（AD＋BC）．
2

图24.4.6

分析
由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连 结AF，并延长AF交
BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转 化为证明
AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．

思考

图24.4.7

如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为
S
1
(l
1
l
2
)h
．
2
其中
l
1
、
l
2
分别为梯形的两底边的长，h为梯 形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以
怎样简化呢？它的几何意义是什么？

练习
1． 如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、C F相交于点O，
AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大 小．

（第1题）

（第2题）

2． 如图 所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′
＝D′E ′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．

习题24．4

1． 三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
2． 梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？
3． 如图，矩 形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、
OD的中点．求证 ： 四边形EGFH是矩形．

(第3题)

（第4题）

4． 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点 ，N
是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．

§24.5 画相似图形
相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩
小，保持形 状不变．
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1． 5倍，即新图与原图的相似比为1．5．我们可以按下列
步骤画出图24．5．1：

图24.5.1

1． 任取一点O；
2． 以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；
3． 分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′ 、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶
OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；
4． 连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．

探索
用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？
你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？
图24．5．1中的两个多边形不仅相似，而且对 应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫
做位似（homothety），点O叫做位似中心．放电影 时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位
似关系．
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．

要画四边形ABCD的位似 图形，还可以任取一点O，如图24．5．2，作直线OA、OB、OC、
OD，在点O的另一侧取点A ′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶
OC＝OD′∶OD＝2，也可以得 到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．

图24.5.2

图24.5.3

实际上，如图24．5．3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可 以把一个多边形放
大或缩小，而且较为简便．

练习
任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍．

习题24．5
任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形．
（1） 相似比为

1
；（2） 相似比为2．5．
2
阅读材料
数学与艺术的美妙结合——分形
雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每 一边三等分，而以其居中的那
一条线段为底边再作等边三角形．然后以其两腰代替底边．再将六角形的每 边三等分，重复
上述的作法．如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线．

图1

雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似．只要有 足够
细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．
观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形．

图2

图3是五边形的一幅自相似图形．

图3

图4

自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木 的生长，又如雪花的形成、土地干旱形
成的地面裂纹等．现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花 这样的自相似图形，这就
是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何．
如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术．



图5


§24.6 图形与坐标
1.用坐标确定位置

图24.6.1

夏令营举行野外拉 练活动，老师交给大家一张地图，如图24．6．1所示，地图上画了一个
直角坐标系，作为定向标记， 给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4，

5）、（0， 3）．
目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点．利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地．请你在图中画出目的地的位置．

试一试
图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：

图24.6.2

有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个 点的位置．现实生活中我们能
看到许多这种方法的应用： 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位 置，电影院的座
位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等．
右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？

我们还可以用其他方式来表示物体的位置．
例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2．4千米的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1．1千米的地方．
根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：

看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．这种方式在军事和地理中较为常用．

图24.6.3
练习
小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如 下图）．试借助刻度尺、量角器解决
下列问题．

（1） 建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；
（2） 填空：
九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；
喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．

2.图形的变换与坐标
在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大 或缩小之后，点的坐标会如何变
化呢？
例
图24．6．4中，△AOB沿x轴向 右平移3个单位之后，得到△A′O′B′．三个
顶点的坐标有什么变化呢？

图24.6.4

解
△AOB的三个顶点的坐标是
A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）．
平移之后的△A′O′B′对应的顶点是
A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）．
沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3．

思考
在图24．6．5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB．对应顶点的坐标有什么变化？

图24.6.5


试一试
请在图24．6．6 的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出
这个四边形关于x轴的对称图形 ，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什
么变化．

图24.6.6

思考
图24．6．7表示△AOB和它缩小后得到的△COD，你能求出它们的相似比吗？



图24.6.7

习题24．6
1．已知下列 点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观
察得到的图形，你觉得它像 什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1） ，（2，－1），（1，－3），
（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1）， （－3，0），（－3，2），（－2，3），（－
1，3），（0，0）．

（第1题） （第2题）


2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．

小结
一、 知识结构
相似多边 形的对应边成比例，对应角相
等；对应边成比例，对应角相等的两个
多边形是相似多边形
相似三角形的判定
方法和性质
三角形中位线
梯形中
位线
相似
图形
相似多边形 相似三角形
三角形重心
坐标表示物
体的位置
坐标与图形的运动

二、 概括
本章介绍了相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念．相似与轴对称、平移、旋转一样，
也是图形的 一种基本变换．本章中，相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质是重点
内容，要求能掌握相似图 形的基本性质和主要的判定方法，能运用相似三角形的知识解决一
些实际问题．本章还介绍了用直角坐标 系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动
变换，应注意从中体会数与形之间的关系．

复习题
A组
1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺 是1∶1000000，那么两地间的实
际距离是____________米．
2． 已知：
xy
xyy

___________．

，则
y
137
3． 如果在△ABC中，点D、E、F分别为BC 、AC、AB的中点，AB＝5，BC＝12，AC
＝13，那么△DEF的周长＝_________ _，面积＝__________．
4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．

(第4题)

5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
6． 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
7． 如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影 长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24
米，那么这个建筑物的高度是多少？
8． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；在△A′B′C′中，∠B′是直角，∠C′
＝60°．
（2） △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；△A′B′C′中，A′C′＝16，B′C′ ＝
14，A′B′＝10．
9． 如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍位置？

（第9题）

10． 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求
及AC、EC的长度．
AE
的值，以
AC

（第10题）


B组
11． 已知：
x3y
xyz

__________． ，则

（x、y、z均不为零）
3y2z
643
12． 平行四 边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，已知AB＝5，对应边
A

B
6
，
平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形A′B′C′D′的面 积．
13． 将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）

(第13题)

14． 在 方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请在方格纸中，画出两个相
似但不全等的格点三角 形．再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐
标．
15． 如图，已知 ∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样
的关系式时，△AC B∽△CBD？
（第14题）



（第15题）

16． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证： 四
边形ADEF是菱形．

（第16题）



（第17题）


C组
17． 三国魏人刘徽，自撰《海岛算 经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的
测量问题．今译如下：
如图，要测量 海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD
＝1000步，D、B、 H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共
线；从DE退行127步到G ，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及
HB的距离．（古制1步＝6尺，1里＝ 180丈＝1800尺＝300步．结果用里和步来表示）
18． 如图，在△ABC中，AB＝7， AC＝6，BC＝8．线段BC所在直线以每秒2个单位的
速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平 行．记x秒时，该直线在△ABC内的部分的
长度为y．试写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系 中画出这一函数的图象．

（第18题）

19． 阅读以下内容：
如图（1），在△ABC中，由DE∥BC，我们可以得到△ADE∽△ABC，
从而有
ADAE
，

ABAC
即AD·AC＝AE·AB，于是
AD·（AE＋EC）＝AE·（AD＋DB），
AD·EC＝AE·DB，
从而
ADAE

，即△ABC中BC的平行线DE将另两条边AB、AC分割为成比例的线 段．
DBEC
我们已经知道，如果D是AB的中点，则E是AC的中点．
现在请你回答下列问题，并说说你的理由：
（1） 如图（2），DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，那么AE、EG、GC有什么关系？
（2） 如图（3），DE∥FG∥BC，DF＝FB，那么EG与GC有什么关系？

（第19题）

20． （1） 已知，如图甲，MN是ABCD外的一条直 线，AA′、BB′、CC′、DD′
都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证： AA′＋CC′＝BB′＋DD′．
（2） 若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三 点在直线另一侧（如图乙），
则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进 行猜想，然后加以证
明．

（第20题）