网络远程教育：高等数学(专升本)电子教材.
哈尔滨商业大学招生网-二手房合同范本
1 12
2 12
3
12
4 12
5 12
6
12
7 12
8 12
9
12
10 12
量，几个中间变量，再搞清是求偏导数，还是求全导数（有两个以上自变量时
是求偏导数，
若自变量只有一个，那就是求全导数） ，另外要记住对自变量求导
时，必须经过每一个中间 变量。
2．隐函数求导 例 设函数 z
z z z
, Fy
z
x
y Fz 2
ln 所确定，求 , z y
( 2
x
2
y 解 设 F ( x,
y , z
x y 1 x 1
z z 1
z ( x,
y ，由方程 x
ln ，则 Fx
z z
z
x z 1 y
z 1
2
z y z z y y Fz
x 1 xz x
Fz
2 z z y z z 1 F
x 1 y x z z2 y
ln x 2 z z Fy 3．全微分 例1 解： 求 z
z x z
z
y dz
dy
x2
y 2 的全微分 1
y2
1 x
x y x
y 2 2
2x
2y x x
2
x
y2 2 y2 2 x2
ydy y 2 2 y x y2 2 z 1
dx 2 ( xdx y2 y 在点
( y x2 (1,4 上（1，4）处的全微分 x
例2 求函数 z
1 上海招考热线 第 41 页 共 43 页
z y (
1, 4 1 1 4 y x 2 x (1,4
解 z x ( 1, 4 1 y 2
x
1 dy 4 x
y 1 1 dz (1,4 dx
5．二重积分的计算 例1 计算二重积分 1
0 ， D (1 x 2 0
解 xydxdy dx
xydxdy ，其中 D 满足 x
D 0
xydy y2
0, y
x( 0 0 2 1 (1 x 2 (1
11 12
x 4 dx
2x3
分
( x
x 2
x dx 0 2 1 3 1 1
6 x
2 4 x 2
x (1 4 x 2 6 x 4 x 2 x 2 dx 2 0
1 1
x 4 x 2 x 3 dx 2 0
2
例2 3
5 1 1 x2 8 2 8 1 1 (
x4 0 2 2 5 7 4 1 1 8 8 1
1 ( 2 2 5 7 4 280 5 7 计算二重积
D 2 2
x x 3
D x2 dxdy ，其中 D 是曲线 xy=1 与直线 y=x,x=2 所围。 y2 x
解
dx dy x 2 ( dx 1 2 2
2 4 1 4 x , x
1 1 y y 1 x y x ( x x 2 x2 1 dxdy
dx
分
页
解
1 dx
( 1 2 x2 x4 2 9
2 所围成的平 例3 面区域。 计算二重积
1, y 上海招考热线 第 42 页 共
43 x D 2 ydxdy ，其中 D 是由曲线 xy
x 2 ydxdy 2 dx
x x 2 ydy 1 1 D x
dx
(
2 1 y2
x ( 2 2 x 1 x 2 x
2 2 8 2 1 8 小 结 计 x 2 ( 2
dx 1 2 2x 2 2 1 x3 1 x4 x 11 (
算二重积分的基本方法是化二重积分为累次积分。 计算二重积分的一般步骤是：
先画
出积分区域 D 的图形；然后确定积分次序及确定积分上下限，并计算定积
分。
定限的原则是后积分的先定限，其上、下限均是常数，先积分的后定限，其
积分限是后
积分变量的函数或常数。
在选用直角坐标计算二重积分时，要根据积
分区域及被积函数的特点确定积分次序。 7．交换积分次序
例1 解 例2 解 例3 解
例4 解 交换二重积分 I 1 1
1
0 dy
dy
f ( x, y dx 的积分次序 0 y I dx f
dx ( x, y dy 0 x 交换二重积分 I
0 1 1
0 1
1
y 0 f ( x, y dx 的积分次序 I
dx
dy
0 1 1 2 x 2 0 f ( x, y dy 交换二重积分 I
y I dy f ( x, y dx
dx
x x f (
x, y dy 的积分
次序 1 y 2 2
dy
dx
0 1 3
f ( x, y dx 0 0 1 0 交换二重积分 I
x 2 0
f ( x, y dy 的积分次序 I 0 x2 0 f ( x, y dy 1 3 1 (
3
2 y y f ( x, y dx 小 结
交换积分次序的一般步骤是先按所给的二重积分
的积分限画出积分区域 D， 再按积分区 域 D
确定新的积分次序的积分限。 上海招
考热线 第 43 页 共 43 页
12 12