武汉外语外事职业学院-关爱学生

1.已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．

（1）求2※4的值；

（2）求（1※4）※（﹣2）的值；

（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们
的运算结果：□ ※○和○※□；

（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．

分析：读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．

解答：解：（1）2※4=2×4+1=9；

（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；

（3）（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，5※（﹣1）=5×（﹣1）+1=﹣4；

（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1．

∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．

2.甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中
的某一人独立完 成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙 需要8小时．（1）
如果甲乙丙三人同时改卷， 那么需要多少时间完成？（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、
丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各 阅卷1小 时，那么需要多少小时完成？（3）能否
把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其 余的不变，使得完成这项任务的时间至
少提前半小时？（答题要求：如 认为不能，需说明理由；如认为 能，请至少说出一种轮流
的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）

4 .某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后有人建议改为图（2）所示的形状，
且外圆直径不 变，只是担心原来准备好的材料不够．请你比较两种方案，哪一种需要的材料
多（即比较哪个周长更长） ？

分析：设出大圆的直径为d，周长为l， 图（2）中三个小圆的直径分别是d1，d2，d3，
周长分别是l1，l2，l3，利用周长公式即可 得到两种方案需要的材料一样多．

解答：解：设大圆直径为d，周长为l，图（2）中 三个小圆的直径分别是d1，d2，d3，
周长分别是l1，l2，l3，

l=πd=π（d1+d2+d3）=πd1+πd2+πd3=l1+l2+l3，

则图（1）中一个大圆周长与图（2）中三个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料
一样多．

5.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．

（1）填空：AB=__，BC=__；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左 运动，同时，点B和点C分别以每秒3
个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用 含t的代数式表示BC和
AB的长，试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由 ．

（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；
当点P

移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点
P到达

C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时P、Q两点相
距6个单位长度？



分析：（1）根据数轴上点的位置求出AB与BC的长即可；

（2）不变，理由为：经过t秒后，A、B、C三点所对应的数分别是﹣24﹣t，﹣1 0+3t10+7t，
表示出BC，AB，求出BC﹣AB即可做出判断；

（ 3）经过t秒后，表示P、Q两点所对应的数，根据题意列出关于t的方程，求出方
程的解得到t的值， 分三种情况考虑，分别求出满足题意t的值即可．

解答：28．（1）AB=﹣10﹣（﹣24）=14，BC=10﹣（﹣10）=20；

故答案为：14；20；

（2）答：不变．∵经过t秒后，A、B、C三点所对应的数 分别是﹣24﹣t，﹣10+3t，
10+7t，

∴BC=（ 10+7t）﹣（﹣10+3t）=4t+20，AB=（﹣10+3t）﹣（﹣24﹣t）=4t+14，（2+3+3分）∴BC﹣AB=（4t+20）﹣（4t+14）=6．

∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变．

（3）经过t秒后，P、Q两点所对 应的数分别是﹣24+t，﹣24+3（t﹣14），由﹣24+3
（t﹣14）﹣（﹣24+t）=0 解得t=21，

①当0＜t≤14时，点Q还在点A处，

∴PQ=t=6；

②当14＜t≤21时，点P在点Q的右边，∴PQ=（﹣24+t ）﹣[﹣24+3（t﹣14）]=
﹣2t+42=6，

∴t=18；

③当21＜t≤34时，点Q在点P的右边，∴PQ=[﹣24+3（t﹣14）]﹣（ ﹣24+t）=2t
﹣42=6，

∴t=24．

6 .为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解
密），已 知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，
明文1， 2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解
密得到的明 文是什么？

专题：应用题；压轴题．

分析：根据密文规则a +2b，2b+c，2c+3d，4d列出等式，求解即可得到明文a、b、
c、d的值．

解答：解：根据题意，得①a+2b=14，②2b+c=9，③2c+3d=23，④4d=28，

解④得，d=7，

把d=7代入③得，c=1，

把c=1代入②得，b=4，

把b=4代入①得，a=6．

所以明文为6，4，1，7．

故答案为：6，4，1，7．

7.一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先前进1米，
再后 退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，求运动1小时时这只昆
虫与A点的距离

分析：由于这只昆虫的速度为2米分钟，所以“前进1米，再后退2米”共用了1.5< br>分钟此时实际上向后只退了一米；“前进3米，再后退4米”共用了3.5分钟，此时实际
上也只 向后退了一米．由此不难看出，后一次运动比前一次多用2分钟，每次实际上都是
向后退一米．然后根据 规律列式计算即可．

解答：解：1小时=60分，

规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期，则设昆虫的运动周期数为n，每一周期
所用总时间为t．

设每周期前进的距离为S，则s=2（n﹣1）+1=2n﹣1；

由题意可得：t=2（n﹣1）+1.5=2n﹣0.5；

假设昆虫运动所用总时间为 T；则T=（2×1﹣0.5）+（2×2﹣0.5）+（2×3﹣0.5）+…
+（2×n﹣0.5） =2（1+2+3+…+n）﹣0.5n=n2+0.5n；

当T=60分时，代入上式中可得n=7但还剩余7.5分钟，由公式t=2（n﹣1）+1.5=2n

﹣0.5可得第8周需要15.5分钟，但是每一周期中后退时间比前进时间多0.5分 钟，
所以在第8周期中前进时间为7.5分钟，后退时间为8分钟．由于运动一个周期后退一米，
所以运动7个周期就后退7米，由于在60分钟内运动完7周期后正好剩余7.5分钟，这样
在第8周 期就正好前进的距离S=2×8﹣1=15米

故运动1小时时这只昆虫与A点相距为15﹣7=8米．故填8．

8.如图．在正方 形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3
为半径作圆弧．若图中阴影部分 的面积分为S1、S2．求S1﹣S2




分析：先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧、
以

D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即

10. 现有一块长方形菜地，长12米、宽10米．菜地中间欲铺设纵横两条路（图中空白
部分），如图（一） 所示，横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米
（x＞0）．

（1）填空：在图（一）中，横向道路的宽是__米（用含x的代数式表示）．

（2） 试求图（一）中菜地道路的面积；（3）若把纵向道路的宽改为原来的2.2倍、
横向道路的宽改为原来 的一半，如图（二）所示，设图（一）与图（二）中菜地的面积（阴
影部分）分别为S1、S2，试比较 S1与S2的大小．

分析：（1）若设纵向 道路的宽是x米，根据横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，即
可得出横向道路的宽为2x米；

纵向的为2x米，剩余土地的长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米；

（2）菜地道路的面积=12×2x+10x﹣xo2x，计算即可；（3）根据菜地的面积=长方
形的面积﹣菜地道路的面积分别求出S1、S2，再比较即可

解答：解：（1 ）设纵向道路的宽是x米，∵横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，∴
横向道路的宽为2x米；

（2）菜地道路的面积=12×2x+10x﹣xo2x=34x﹣2x2（平方米）． 答：在图（一）
中菜地的道路的面积为（34x﹣2x2）平方米；

（3）在 图（一）中，菜地的面积为：S1=12×10﹣（34x﹣2x2）=120﹣34x+2x2（平
方 米），在图（二）中，菜地的面积为：S2=12×10﹣（12x+10×2.2x﹣xo2.2x）=120 ﹣

34x+2.2x2

（平方米），∵x＞0，∴x2＞0，

∵S1﹣S2=（120﹣34x+2x2）﹣（120﹣34x+2.2x2）=﹣0.2x2＜0，

∴S1＜S2．

故答案为2x．