白金汉-思想小结

一、基本概念：
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之 间的关系。解决行程
问题关键在于确定行程过程中的位置。
二、基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间
三、行程问题的分类及公式
1、相遇问题：相向（离）运动的物体，当各自位移大小之和等于 开始时两物体的距离，即相遇
（离）问题。
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
练习1、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对 开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的58,两
车还需要几小时才能相遇？



练习2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两 车同时
从甲、乙两站相对开出，相遇时快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？



课外作业：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的 711时与乙车相遇，乙车
继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发 到相遇用了多少
小时？

2、同向行程问题（追击）问题：追及问题是两物体速度不 同向同一方向运动，两物体同时运动，
一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程” ，那么，在后的追上前一
个的时间叫“追及时间”。
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
练习3、A、B两地相距28千米，甲乙两 车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行
32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲 车在后，几小时后甲车能追上乙车？
分析：如图


练习4、两辆汽车 都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚
开12分钟，以每小时4 0千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的
路程？


课外作业：甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一
起 ，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？



4、火车过桥问题（错车问题的特例）：

速度×过桥时间=桥、车长度之和；
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度。
练习7、一列火车长700米,以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾
离要多少分钟？



练习8、一支队伍1200米长,以每分钟 80米的速度行进.队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到
队伍末尾传达命令.问联络员每分钟行多少米 ？


课外作业1：某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过 的时间是15秒钟,客
车长105米,每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米?
课外作业2：一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米 ).两
列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50 千
米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火
车 至少需要停车多少分钟?




A
225千米
25千米 15千米
B C
D
230千米
E
第四讲：应用题复习专题二（工程问题）
一、基本概念：顾名思义，工程问题指的是与工程建 造有关的数学问题。其实，这类题目的内容
已不仅仅是工程方面的问题，也包括行路、水管注水等许多内 容。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用< br>分数表示。如：工程的一半表示成
11
，工程的三分之一表示为。
23
工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目
需要， 可以是天，也可以是时、分、秒等。
注：工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量天”，或“ 工作量时”等。但在不引起
误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
二、基本公式：
工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。
三、解题方法与指导：
1、两个人的工程问题：
例1：某项工程，甲单独做需要2 0天，如果与乙合作，12天就可以完成。现在由甲单独做16
天，然后由乙继续做完，还需要几天时间 ？



例2：运一批水泥，大卡车要15次运完，小卡车要20次运完。 为了尽快运完，大卡车和小卡车

同时运，多少次可以运完？



例3：一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5小时可将空池灌满，单开排水管7 小
时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1小时后又打开排水管，那么再过多长时间
池内将积有半池水？


例4：甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行。经 过4小时相遇后，甲车继续行驶3小时
到达B地，乙车每小时行24千米。全长多少千米?



练习：有一批资料要复印，甲机单独复印需要11小时，乙机单独复印需要13小 时，当甲、乙两
台复印机同时复印时，由于相互干扰，每小时两台共少印28张。现在两台机同时复印了 6小时
15分才印完，那么这批资料共有多少张？


2、多人的工程问题：
例5：一件工作，甲做1.5小时完成全部工作的
后剩下的工 作由丙用
1
111
后，再由乙做小时完成余下工作的，最
423
1< br>小时完成。如果三人合作，需要多少时间？
2


例6：甲、乙、丙 三人合修一围墙，甲、乙合修5天完成
11
，乙、丙合修两天完成余下的，
34
然后甲、丙两人合修了5天才完工。整个工程的劳动报酬是600元。问乙应分得多少元？



例7：一项工程，乙一天完成的工作量是甲一天的
13
，丙一天 完成的工作量是乙一天的。现
34
在，每天都两人合作结果甲共做了4天，乙共做了3天，丙共 做了3天，终于完成这项工程。问：
（1）甲、乙合作了多少天？
（2）甲一人独做完成这项工程需要多少天？




例 8：甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做
完，并且结 束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用
乙的顺序轮流去做，则比计划多用
1
天；若按丙、甲、
2
1
天。已知甲单独做完这件工作需要9天，那么甲、 乙、丙
3
三人一起做这件工作，要用多少天才能完成？

练习：甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多
1
。甲、乙、
4
丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了 同时完成这两项工程，先派甲
队做A工程，乙、丙两队同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完 成A工程，那么，丙
队与乙队合作了多少天？



3、巧用单位“1”： 在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都< br>会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简
捷。
例9：一本文艺书，小明第一天看了全书的
还剩下80页。这本书共有多少页？


例10：小明看故事书，第一天看了全书的
206页。这本故事书共有多少页？
< br>例11：甲组人数比乙组人数多
111
，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，235
11
还少5页，第二天看了全书的还多3页，还剩
1215
14< br>，后来从甲组调9个人到乙组，此时乙组人数比甲组人数多。
35
那甲、乙组各有多少人 ？



例12：修一条公路，甲队独做要40天，乙对独做要24天，现 在两队同时从两端开工，结果在
距中点400米处相遇。甲、乙两队每天能修多少米？



练习：公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时 刻，货车与客
车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了 客车，
再过多少分钟，货车追上客车？

4、巧用工程问题求具体数量：
例13：甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部两件的
24个零件，甲单独加工完成这 批零件要12小时，这批零件有多少个？

例14：一批零件，甲乙合做4天后，再由甲单独 做6天完成。如果甲比乙每天多做这批零件的
而甲每天可完成零件60个，这批零件的总数是多少个？

练习：快车从甲站开往乙站，慢车从乙站开往甲站，两车同时出发，快车每小时行全程的慢车每小时行56千米。两车相遇后，慢车再行全程的


5
，已知乙每 小时加工
8
1
，
80
2
，
15
1
到达中点，甲、乙两站相距多少千米？
30

第五讲：应用题复习专题三（分数、百分数问题）
分数应 用题是小学数学的重要内容，较复杂的分数应用题也是小学数学竞赛中经常出现的一
类问题，同时在我们 的现实生活及生产实际中经常会遇到与分数有关的问题，因此学好这部分知
识很重要。怎样提高解答这类 题的能力呢？
1. 要正确理解掌握分数乘、除法的意义。
如
322
2
不再表示求几个相同加数和的简便运算了，而表示求32的是多少，这是乘法
3
3
意义的扩展，比较抽象。
2. 要学会一些特殊的思考问题的方法。
如“对应法”，“转化法”，“假设法”，“逆推法”，“图解法”等。
这些方法的掌握有利于提高解答分数应用题能力。
3. 要学会用线段图表示题中数量关系。
使隐蔽条件，抽象问题明朗化，从而找出解题途径。这部分内容安排两讲。第一讲重点研究如何运用“对应法”和“转化法”解决分数应用题。
一. 思路指导：
例1. 某区举 行小学生春季运动会，其中某校参加的人数占运动员总人数的
去10名运动员，则该校人数占运动员总人 数的
原来有多少人参加运动会？
分析与解：本题的解题思路是找出“不变量”，根据 不变量写出等量关系，列方程解。或抓
住不变量用转化法统一单位“1”使问题得以解决。
方法1：用方程解
解：设这次运动会有运动员x人，可得

x( 1
1
，若这个学校再
15
2
，这次运动会共有运动员多少人？这个 学校
23
12
)(x10)(1)

1523
1421210

xx
152323
1421210

xx
152323
30 1
72101523
x

1523237

1 1

x450


450

1
30(人)

15
21
)原有总人数(1)

2315
方法2：用算术方法解
因为
现有总人数(1
所以
现在总人数原来总人数
142146


152345

抓住不变量，根据除法意义统一单位“1”。
这样可以看出原来运动员人数为“1”，现在是原来的
综合式：
46
，于是找到10人对应率。
45
10[(1
10[< br>12
)(1)1]
1523

46
1]

45
1
10
45
450(人)

450
1
30(人)

15
答：原有运动员450人，学校有运动员30人。
例2. 甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲 生产的零件数量的一半与乙生产的零件的
3
相
5
等，又等于丙生产零件数量的 四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，求这批零件共有多少个。
分析与解：
方法1：用图示法分析解题（以甲为“1”）

甲
乙
丙

从直观图可以明显看出乙相当甲的

50(
5
4
，丙相当甲的。
6
6
54
)300(个)
————甲
66
5

300250(个)
——————乙
6
4

300200(个)
——————丙
6

300250200750(个)

方法2：用转化法统一单位“1”。
根据已知条件和分数乘、除法的意义可得。
因为甲生产零件数的
3
1
与乙生产零件数的相等
5
2
所以
乙
31
甲

52

乙甲
13


25

55
甲(表示乙是甲的)

66
13
又因为甲生产零件数的又等于丙生产零件数的
24

乙
所以
丙
31
甲

42
13

24

4
丙甲
6
丙甲
根据“量率”对应关系列式为
54
)300(个)
甲
66
5

300250(个)
乙
6
4

300200(个)
丙
6

50(

300250200750(个)

答：这批零件共有750个。
例3. 某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商
店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析与解：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系。
可以这样想，赚了2 0%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚
了20%就是说原价的(120%)
是60元，求原价，用除法。

60(120%)50(元)

同理亏本20%就是说原价的
(120%)
是60元，求原价，用除法。

60(120%)75(元)

所以这个题综合列式为

[60(120%)60(120%)]602
[5075]120125120
5(元)
答：这两件商品亏了5元。

例4. 有甲、乙二人，已知甲的体重的
少1.5千克，求甲乙二人体重。
分析与解：已知甲 的体重的
2233
与乙的体重的相等，甲的体重的比乙的体重的
5374
22
与乙的体重的相等，单位“1”不同，首先是统一单位“1”，
53

然 后根据题意找出对应关系，即可解决问题。
列式：
2233
15.[]
5347
93
.[]

15

207
70(千克)

70
22
42(千克)

53
答：甲体重70千克，乙体重42千克。
二. 巩固发展，独立完成：
1. 果品店运来的苹果比香蕉多500千克，运来的苹果的
运来苹果和香蕉各多少千克？




2. 果品店运来两种水果，已知苹果重量的
750千克，运来苹果和梨各多少千克？



3. 某工厂甲车间的人数是乙车间的
的


4. 三个 车间共同生产一批零件，第一车间生产600个，第二车间生产的是余下的20%，第三车
间正好是这批 零件的一半，第二、三车间共生产多少个？



5. 五年级三个班的人数相等，一班男生人数和二班女生人数相等，三班男生人数是全部男生人
数的

21
与运来香蕉的同样多，这个水果店
52
5
123
等于梨 的重量的，苹果重量的比梨重量的多
6
234
2
，如果从乙车间调8人到甲车 间，则甲车间人数是乙车间
3
4
，乙车间原有多少人？
5
2
，全部女生人数占全年级人数的几分之几？
5