步入正轨-报告会主持词

小学六年级奥数题集锦
（
全面
）
搬运一个仓库的 货物
；
甲需要10小时
；
乙需要12小时;丙需要15小时.有同样的仓库A 和B;甲在 A
仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物
；
丙开始帮助甲搬运
；< br>中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓 库货
物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2;所需时间是
2 〔丄+丄+ 2） — 8 （小时）
10 12 15
□
甲
2
小时能完成命，尚需罠丙帮助搬运
存
3
（小时）一
乙
8
小时能完成寻，尚需要丙帮助搬运
]
（―秽+舌=
5
卜时）•
答：丙帮助甲搬运3小时;帮助乙搬运5小时 < br>解本题的关键
；
是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化；
设搬 运一
个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6;乙每小时搬运5;丙每小时搬运4
三人共同搬完
；
需要
60
X
2
-（
6+ 5+ 4
）
=8 （小时）
甲需丙帮助搬运
（
60- 6
X
8
）-
4= 3
（小时）
乙需丙帮助搬运
（
60- 5
X
8
）-
4=5
（小时）

g
一件工作,若由甲单独做 72天完成,现在甲做1天后
，
乙加入一起工作
，
合作2天后,丙也一起工作
，

三人再一起工作4天
，
完成全部工作的13,又过了 8天,完成了全部工作的56,若余下的工作由丙 单独
完成,还需要几天
？
答案
甲乙丙3人8天完成:56-13=12
甲乙丙3人每天完成:12卷=116;
甲乙丙3人4天完成:116
X
=14 则甲做一天后乙做2天要做:13-14=112 那么乙一天做
：
[112-172
3
X
2=148 则丙一天做:116-172-148=136 则余下的由丙做要
：
[1-56] 1启6=6天 答：还需要6天
某书店老板去图 书批发市场购买某种图书
；
第一次购书用100元;按该书定价2.8元出售;很快售 完。第
二次购书时
；
每本的批发价比第一次增多了 0.5元;用去150元;所购数量比第一次多10本;
当这批书售出45时出现滞销
；便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还
是赚钱;若赔;赔多少
；
若赚
；
赚多少
答案
（100+40 ） 2.8=50 本 10050=2 150（2+0.5 ） =60 本 60*80%=48 本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利 1.2 元
1 25

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是
达标人数的 911;育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3- (3+ 5)= 38
现在达标人数占总人数的
911 -(1 + 911 )= 920
育才小学共有学生
3：5;后来又有 60 名同学达标 这时达标人数是未
60 - (920 — 38 )= 800 人 甲乙丙三个村合修一条水渠 ;修完后;甲乙丙村可灌溉的面积比是 8：7：
5原来三个村计划按可灌 溉的面积比派出劳力 ;后来因为丙村抽不出劳力 经协商 丙村应抽出的劳力
由甲乙两村分担 丙村 付给甲乙两村工钱 1350元;结果;甲村共派出 60人;乙村共派出 40人;问甲乙两
村各应分得工钱多 少元？ 答案 根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数： 8+7+5=20份
每份需要的人数
(60+40)吃0=5人
甲村需要的人数
8X5=40人;多出劳力人数：60-40=20人 7 X5=35人;多出劳力人数：40-35=5人
乙村需要的人数
5X5=25人 或 20+5=25人
丙村需要的人数
1350吃5=54元
每人应得的钱数
54X20=1080元
甲村应得的工钱
54
X
5=270 元 某人到商店买红蓝两种钢笔 红钢笔定价 5元;蓝钢笔定价 9元;由
乙村应得的工钱
于购买量较多 商店给予优惠 红钢笔八五折 ;蓝钢笔八折;结果此人付的钱比原来节
省的 1 8%;已知他买了蓝钢笔 30枝;那么。 他买了几支红钢笔？
答案 红笔买了 x 支。
(
5x+30
X
9
)X(
1-18%)=5x
X
0.85+30
X
9
X
0.8
x=36.
十字交叉法 需要算总钱数比
甲说： “我乙丙共有 100 元。”乙说： “如果甲的钱是现有的 6倍;我的钱是现有的 1 3 丙的钱不
变 我们仍有钱 100 元。 ”丙说： “我的钱都没有 30 元。”三人原来各有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱 5 倍与乙钱 23 一样多
所以;乙钱是 3*5=15 的倍数;甲钱是偶数 丙钱不足 30;所以;甲乙钱和多于 70; 而乙多于甲的 6 倍;
所以;乙多于 60
设乙=75;甲=75*23 弋=10,丙=100-10-75=15
设乙=90;甲=90*23 弋=12,90+12>100,不行 所以;三人原来：甲 10元;乙 75元;丙15元 两支成分不同
的蜡烛 ,其中 1 支以均匀速度燃烧 ,2 小时烧完 ,另一支可以燃烧 3 小时,傍晚 6 时半 同时点燃蜡烛
到什么 1支剩余部分正好是另一支剩余的 2 倍？
答案
两支蜡烛分别设为 A 蜡烛和 B 蜡烛;其中 A 蜡烛是那支烧得快点的
A 蜡烛 两小时烧完 那么每小时燃烧 12
B 蜡烛 三小时烧完 那么每小时燃烧 13
设过了 x小时以后;B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得 x=1.5
由于是 6 点半开始的 所以到 8 点的时候刚刚好 学校组织春游 同学们下午 1点从学校出发 走了一
段平路 ;爬了一座山后按原路返回 下午七点回 到学校。已知他们的步行速度平路 4Km小时爬山
3Km小时;下山为6Km小时;返回时间为2.5 时。问：他们一共行了多少路
答案 1
2 25

设走的平路是X公里山路是Y公里
因为 1 点到七点共用时间 6 小时 返回为 2.5 小时 则去时用 3.5 小时
Y3-Y6=1 小时
Y=6 公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为 2（6+6）=24km
答案 2
解：春游共用时：7: 00 — 1 : 00 = 6 （小时）
上山用时：6— 2.5 = 3.5 （小时）
上山多用：3.5 — 2.5 = 1 （小时）
山路：（6 — 3）
X1
- （3W）= 6 （千米）
下山用时：6W = 1 （小时）
平路：（2.5 — 1）
X
4 = 6 （千米）
单程走路：6+ 6= 12 （千米）
共走路：12
X
2 = 24 （千米） 答：他们共走 24 千米。
工程问题
1．甲乙两个水管单独开 ;注满一池水;分别需要20小时;16小时.丙水管单独开 排一池水要10小时; 若
水池没水;同时打开甲乙两水管 5小时后;再打开排水管丙 问水池注满还是要多少小时？
解：
1 2 0+ 1 1 6 = 980表示甲乙的工作效率
980
X
5= 4580 表示5小时后进水量
1-4580 = 3580 表示还要的进水量
3580 -（980-110 ）= 35表示还要35小时注满
答： 5小时后还要 35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠 ;单独修;甲队需要20天完成;乙队需要30天完成。如果两队合作 由于彼此施工有 影
响;他们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 乙队工作效率只有原来的十 分之
九。现在计划 16 天修完这条水渠 且要求两队合作的天数尽可能少 ;那么两队要合作几天？ 解：由题
意得
；
甲的工效为120;乙的工效为130;甲 乙的合作工效为120*45+130*910 =7100; 可知甲乙合作
工效 ＞甲的工效＞乙的工效。
又因为;要求“两队合作的天数尽可能少 ”所;以应该让做的快的甲多做 ;16天内实在来不及的才应 该
让甲乙合作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少 ”。
设合作时间为x天;则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x=1
x= 10
答：甲乙最短合作 10天 3．一件工作;甲、乙合做需4小时完成;乙、丙合做需 5小时完成。现在先请
甲、丙合做 2小时后; 余下的乙还需做 6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知;14表示甲乙合作 1小时的工作量;15表示乙丙合作 1小时的工作量
（14+15 ） X2= 910表示甲做了 2小时、乙做了 4小时、丙做了 2小时的工作量。 根据“甲、
丙合做2小时后;余下的乙还需做 6小时完成 ”可知甲做2小时、乙做6小时、 丙做2小时一 共的工
作量为 1。
所以1－910=110表示乙做6-4=2小时的工作量。
3 25

110 -2 = 120表示乙的工作效率。
1
T
20 = 20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要 20小时。
4．一项工程;第一天甲做;第二天乙做;第三天甲做;第四天乙做;这样交替轮流做 ;那么恰好用整数 天完
工；如果第一天乙做 ;第二天甲做;第三天乙做;第四天甲做;这样交替轮流做 那么完工时间要 比前一种
多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成;甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲 +1乙+1甲 +1乙+ ... +1甲=1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲＞0.5 = 1
（1甲表示甲的工作效率、 1乙表示乙的工作效率 最后结束必须如上所示 否则第二种做法就不
比第一种多 0.5天）
1甲= 1乙+1甲＞0.5 （因为前面的工作量都相等） 得到1甲=1乙＞2
又因为1乙= 117 所以1甲=217;甲等于17-2=8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 12时;徒弟完成了 120个。当师傅完成了任务时
徒弟完成了 45这批零件共有多少个？
答案为 300个
120-（ 45 -2）= 300个
可以这样想：师傅第一次完成了 1 2 第二次也是 1 2 ;两次一共全部完工 那么徒弟第二次后共完成
了45 可以推算出第一次完成了 45的一半是25;刚好是120个。
6．一批树苗;如果分给男女生栽 平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽 平均每人栽 10棵。单份给 男
生栽 平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式： 1-（16-110）=15棵
7．一个池上装有 3根水管。甲管为进水管 乙管为出水管 20 分钟可将满池水放完 丙管也是出水
管;30分钟可将满池水放完。 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 打开乙,丙两管用了 18分钟放完
当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多少分钟将水放完？ 答案45分钟。
1 -(120+130 )= 12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112* (18-12 )= 112*6 = 12表示乙丙合作将漫池水放完后
；
还多放了 6分钟的水
；
也就是甲18 分
钟进的水。
12
T
8 = 136表示甲每分钟进水 最后就是1十(120-136 )= 45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成
；
若由甲队去做
；
恰好如期完成
；
若乙队去做
；
要超过规定日
期三 天完成
；
若先由甲乙合作二天
；
再由乙队单独做
；
恰好如期完成
；
问规定日期为几天？ 答案
为6天
解：
由“若乙队去做
；
要超过规定日期三天完成
；
若先由甲乙合作二天
；
再由乙队单独做
；
恰好如期完
成
；
” 可知：
乙做3天的工作量=甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比
是 2：3 时间比的差是 1份
实际时间的差是 3天
所以3十(3-2) >2 = 6天;就是甲的时间
；
也就是规定日期
方程方法：
[1x+1
(
x+2
)
]
>
+1
(
x+2
) X (
x-2
)=
1 解得x = 6
9．两根同样长的蜡烛
；
点完一根粗蜡烛要 2小时
；
而点完一根细蜡烛要 1小时
；
一天晚上停电
；
小芳 同时点燃了这两根蜡烛看书
；
若干分钟后来点了
；
小芳将两支蜡烛同时熄灭
；
发现粗蜡烛的
4 25

长是细 蜡烛的 2倍
；
问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了 x分钟
根据题意列方程
1-1120*x =( 1-160*x ) *2
解得x = 40
二．鸡兔同笼问题
1 ．鸡与兔共 100只,鸡的腿数比兔的腿数少 2 8条,问鸡与兔各有几只 ?
解：
4*100 = 400;400-0 = 400假设 都是兔子
；
一共有400只兔子的脚
；
那么鸡的脚为0只;鸡的脚比兔 子
的脚少 400只。
400-28 = 372实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只
；
相差372只;这是为什么？
4+2 二6这是因为只要将一只兔子换成一只鸡
；
兔子的总脚数就会减少4只(从400只变为396 只); 鸡
的总脚数就会增加2只(从0只到2只)
；
它们的相差数就会少4+2二6 只(也就是原来的相差数 是
400-0 = 400;现在的相差数为396-2 = 394;相差数少了 400-394 = 6)
372W二62表示鸡的只数
；
也 就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡
；
所以脚的相差 数
从400改为28
；
一共改了 372只
100-62 = 38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789 ... 2005, 这个多位数除以
9余数是多少 ?
解：
首先研究能被 9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除;那么这个数也能被 9整
除；如果各个位数字之和不能被 9整除;那么得的余数就是这个数除以 9得的余数。 解题：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ；45能被9整除
依次类推： 1 ~ 1 999这些数的个位上的数字之和可以被 9整除
10~19;20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了 10次;那么十位上的数字之和就是
10+20+30+……+90=450 它有能被9整除
同样的道理 100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被9整除 也就是说 1~999这些连续的自然数的
各个位上的数字之和可以被 9整除； 同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、 十位、个
位 上的数字之和可以被 9整除(这 里千位上的 “ 1还”没考虑 同时这里我们少
2
从1000~1999 千位上一共999个“1的”和是999;也能整除；
2 的各位数字之和是 27;也刚好整除。 最后答案为余数为 0。
2 . A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求 A+B分之A- B的最小值… 解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了 只需求后面的最小值 此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时 (A+B)B 取最大;
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB 最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
5 25

(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3 .已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少
？
答案为
6.375或6.4375
因为 A2 + B4 + C16 = 8A+4B+C1
2
6.4;
所以8A+4B+
E
102.4; 由于A、B、C为非0自然数
；
因此8A+4B+C为一个整数
；
可能是10 2;也有 可
能是 103。
当是 102 时;10216 = 6.375
当是 103 时;10316 = 6.4375
4.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数 字与个
位数字对调 ,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大 198,求原数.
答案为 476
解：设原数个位为a;则十位为a+1;百位为16-2a
根据题意列方程 100a+10a+16-2a —100 (16-2a) -10a-a = 198
解得 a = 6;则 a+1 = 7 16-2a = 4
答：原数为 476 5．一个两位数 ,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7倍多 24,求原来
的两位数 答案为 24
解：设该两位数为 a; 则该三位数为 300+a
7a+24 =300+a
a = 24
答：该两位数为 24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数
的平方 ,这个和是多少 ?
答案为 121
解：设原两位数为 10a+b; 则新两位数为 10b+a
它们的和就是 10a+b+10b+a = 11 (a+b)
因为这个和是一个平方数
；
可以确定a+b二11
因此这个和就是11
X
11 = 121
答：它们的和为 121。
7．一个六位数的末位数字是 2,如果把2移到首位,原数就是新数的 3倍,求原数.
答案为 85714
解：设原六位数为abcde2;则新六位数为2abcde (字母上无法加横线
；
请将整个看成一个六位数) 再
设abcde (五位数)为x;则原六位数就是10x+2;新六位数就是200000+x
根据题意得 ;(200000+x
)X
3=10x+2
解得 x= 85714
所以原数就是 857142
答：原数为 857142
8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数字与 百位
数字互换 ,千位数字与十位数字互换 ,新数就比原数增加 2376,求原数.
答案为 3963
解：设原四位数为 abcd; 则新数为 cdab; 且 d+b=12;a+c=9
根据 “新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab, 列竖式便于观察
abcd
6 25
,它与原数相加 ,和恰好是某自然数

2376
cdab
根据 d+b = 12;可知 d、b 可能是 3、9; 4、8; 5、7; 6、6
。

再观察竖式中的个位
；
便可以知道只有当d = 3;b = 9 或d = 8;b = 4时成立。
先取d = 3;b = 9代入竖式的百位
；
可以确定十位上有进位。
根据 a+c = 9;可知 a、c 可能是 1、8; 2、7; 3、6; 4、5。
再观察竖式中的十位
；
便可知只有当c = 6;a = 3时成立。
再代入竖式的千位 成立。
得到： abcd = 3963
再取d = 8;b = 4代入竖式的十位
；
无法找到竖式的十位合适的数
；
所以不成立。
9．有一个两位数 ,如果用它去除以个位数字 ,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十 位
数字之和 ,则商为 5余数为 3,求这个两位数 .
解：设这个两位数为 ab
10a+b =9b+6
10a+b =5 (a+b) +3
化简得到一样：5a+4b = 3
由于 a、b 均为一位整数
得到a = 3或7;b = 3或8
原数为 33或78均可以
1 0．如果现在是上午的 10点21 分,那么在经过 28799...99( 一共有 20个9)分钟之后的时间将是几点
几分 ?
答案是10： 20
解：
(28799……
9
(20个9) +1) 6024整除;表示正好过了整数天
；
时间仍然还是10: 21;因为事先 计
算时加了 1分钟;所以现在时间是 10： 20
四．排列组合问题
1 ．有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( )
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理 分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体;进行排列有5M
X
3X2
X
1 = 120种不同的排法;但是因为是围成 一个
首尾相接的圈
；
就会产生5个5个重复;因此实际排法只有120-5= 24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置
；
也就是说每一对夫妻均有2种排 法;总共又2
X
2
X
2
X
2
X
2 =
32种
综合两步
；
就有24
X
32 = 768种。
2 若把英语单词 hello 的字母写错了 ,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解：
5全排列 5*4*3*2*1=120
有两个 l 所以 1202=60
原来有一种正确的所以 60-1=59
7 25

五．容斥原理问题
1． 有1 00种赤贫.其中含钙的有 68种,含铁的有 43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和 最
小值分别是 ( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值 68+43-100 = 11
最大值就是含铁的有 43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .已知:(1)某校25名学生参加竞赛 ,每个学生至少解出一道
题;(2)在所有没有解出第一题的学生中 ,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍:(3)只解出
第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人;(4)只解出一道题的学生中 ,有一半没有 解出第
一题 ,那么只解出第二题的学生人数是 ( )
A;5 B;6 C;7 D;8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题 ”可知答题情况分为 7类：只答第 1题;只答第2题;只答
第3题;只答第1、2题;只答第 1、3题;只答2、3题;答1、2、3题。
a12
a13 、 a23 、 分别设各类的人数为 a1、 a2、
、
a123
25… ① 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123 =
由（2）知：a2+a23 =（ a3+ a23 ）
X
…②
…
③ 由（3）知：a12+a13+a123 = a1 —
1
…
由（4）知：a1 = a2+a3……④
…
再由②得a23 = a2 — a3
x
2……⑤
再由③④得 a12+a13+a123 = a2+a3 — 1 ⑥
然后将④⑤⑥代入①中 整理得到
a2
X
4+a3
=
26
由于a2、a3均表示人数
；
可以求出它们的整数解：
当 a2 = 6、5、4、3、2、1 时;a3 = 2、6、10、14、18、22

又根据a23 = a2 — a3
X
2……⑤可知：a2>a3
因此;符合条件的只有a2 = 6;a3 = 2
。

然后可以推出a1 = 8;a12+a13+a123 = 7;a23 = 2;总人数=8+6+2+7+2 = 25;检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数 a2二6人。
3．一次考试共有 5道试题。做对第 1 、 2、 3、、 4、 5题的分别占参加考试人数的 95%、
80%、 79%、 74%、 85%。如果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为 71 ％。
假设一共有 100人考试
100-95 = 5
100-80 = 20
100-79 = 21
100-74 = 26
100-85 = 15
5+20+21+26+15 = 87 （表示5题中有1题做错的最多人数）
87七=29 （表示5题中有3题做错的最多人数
；
即不及格的人数最多为29人）
100-29 = 71 （及格的最少人数
；
其实都是全对的） 及格率至少为 71 ％ 六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 ;颜色有黑、红、蓝、黄四种 问最少要摸出几只 手套
才能保证有 3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是 4个抽屉;把手套看成是元素 要保证有一副同色的 ;就是1个抽 屉
里至少有 2只手套;根据抽屉原理 最少要摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后 4个抽屉中还剩 3
只手套。再根据抽屉原理 只要再摸出 2只手套;又能保证有一副手套是同色的 以此类推。
8 25

把四种颜色看做 4个抽屉;要保证有 3副同色的 先考虑保证有 1副就要摸出 5只手套。这时拿出 1
副 同色的后 4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理 ;只要再摸出 2只手套;又能保证有 1副是同
色 的。以此类推 要保证有 3副同色的 ;共摸出的手套有： 5+2+2=9（只）
答：最少要摸出 9只手套 才能保证有 3副同色的。
2．有四种颜色的积木若干 每人可任取 1-2件;至少有几个人去取 ;才能保证有 3人能取得完全一
样？
答案为 21
解：
每人取 1件时有 4种不同的取法 ,每人取2件时,有6种不同的取法 . 当有 11人时 ,能保证至少有 2
人取得完全一样 :
当有 21人时 ,才能保证到少有 3人取得完全一样 .
3．某盒子内装 50只球;其中10只是红色 10只是绿色 10只是黄色 10只是蓝色 ;其余是白球和黑
球;为了确保取出的球中至少包含有 7只同色的球 ;问：最少必须从袋中取出多少只球？ 解：需要分情
况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于 7个的 那么就是：
6*4+10+1=35（ 个 ）
如果黑球或白球其中有等于 7个的 那么就是：
6*5+3+1 = 34 （个）
如果黑球或白球其中有等于 8个的 那么就是：
6*5+2+1 = 33
如果黑球或白球其中有等于 9个的 那么就是：
6*5+1+1 = 32 4．地上有四堆石子 石子数分别是 1 、9、 1 5 、 3 1如果每次从其中的三堆同时各取
出 1个;然后都 放入第四堆中 那么 能否经过若干次操作 ;使得这四堆石子的个数都相同 ?（如果能请
说明具体操 作;不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31 = 56
564 = 14
14 是一个偶数 而原来1、9、15、31都是奇数;取出1个和放入3个也都是奇数;奇数加减若干次奇数
后 ;结果一定 还是奇数 不可能得到偶数（ 14个）。
七．路程问题
1 ．狗跑5步的时间马跑 3步;马跑4步的距离狗跑 7步;现在狗已跑出 30米;马开始追它。 问：狗再
跑 多远;马可以追上它？
解： 根据“马跑4步的距离狗跑 7步”可;以设马每步长为 7x 米;则狗每步长为 4x 米。
根据 狗跑5步的时间马跑3步”可知同一时间马跑3*7x米=21x米;则狗跑5*4x = 20米。 可以得出马
与狗的速度比是 21x : 20x = 21: 20
根据 现在狗已跑出30米”可以知道狗与马相差的路程是30米;他们相差的份数是21-20 = 1;现在 求
马的21份是多少路程;就是30十（21-20 ） >21 = 630米 2.甲乙辆车同时从a b两地相对开出
；
几小
时后再距中点40千米处相遇？已知< br>；
甲车行完全程要8 小时;乙车行完全程要10小时;求a b两地相距
多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要 8小时;乙车行完全程要 10小时”可知;相遇时甲行了 10份;乙行了8份（总路程
为18份） ;两车相差2份。又因为两车在中点 40千米处相遇;说明两车的路程差是（ 40+40）千米。
所以算式是（40+40） - （10-8）
X
（10+8 ）= 720千米。
3．在一个 600米的环形跑道上 兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步 ;两人每隔 12分钟相 遇
9 25

一次;若两个人速度不变 还是在原来出发点同时出发 哥哥改为按逆时针方向跑 则两人每隔 4 分钟相
遇一次 两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要 6分钟和 12分钟。
解：
600-12=50;表示哥哥、弟弟的速度差
600詔=150;表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150 ）-2=100; 表示较快的速度 方法是求和差问题中的较大数
（150-50 ）2=50;表示较慢的速度 ;方法是求和差问题中的较小数
600-100=6 分钟;表示跑的快者用的时间
60050=12 分钟;表示跑得慢者用的时间
4 ．慢车车长1 2 5米;车速每秒行1 7米;快车车长 140米;车速每秒行 2 2米;慢车在前面行驶 ;快车从
后 面追上来 那么;快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125）-（22-17）=53 秒
可以这样理解： “快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车 ”就是快车车尾上的点追及慢车车头的 点;
因此追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上 ;甲乙两个人同时同向并排起跑 甲平均速度是每秒 5米;乙平均速度是
每秒4.4米;两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300-（ 5-4.4 ）= 500秒;表示追及时间
5000 = 2500米;表示甲追到乙时所行的路程
2500-300 = 8圈……100米;表示甲追及总路程为8圈还多100米;就是在原来起跑线的前方100米 处
相遇。
6．一个人在铁道边 听见远处传来的火车汽笛声后 ;在经过57秒火车经过她前面 已知火车鸣笛时 离
他1360米;（轨道是直的 ）,声音每秒传 340米;求火车的速度（得出保留整数）
答案为 22米秒
算式：1360-（1360 -340+57 ）〜2米秒
关键理解：人在听到声音后 57秒才车到 ;说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
1360-340 = 4秒的路程。也就是1360米一共用了 4+57 = 61秒。
7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子大;它跑5步的 路
程;兔子要跑9步;但是兔子的动作快 ;猎犬跑2步的时间;兔子却能跑3步;问猎犬至少跑多少米才 能追
上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑 60米才能追上。
解：
由猎犬跑5步的路程;兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米;则兔子每步59米。由猎犬跑2步的时间; 兔
子却能跑3步”可知同一时间
；
猎犬跑2a 米;兔子可跑59a*3二53a米。从而可知猎犬与兔子的 速
度比是2a : 53a = 6: 5;也就是说当猎犬跑60米时候;兔子跑50米;本来相差的10米刚好追完
8． AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5,如果甲乙二人分别同时从 AB 两地 相对
行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行
，
这样;乙到达A地比甲到达B地要晚多少 分 钟?
答案： 18分钟
解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y
列式 40x+40y=1
x:y=5:4
10
25

得 x=172 y=190 走完全程甲需 72分钟 ,乙需 90分钟 故得解
9．甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。 第一次相遇后两车继续行驶 ;各自到达对方出发点后立即 返
回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 15。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。 AB 两
地相距多少千米？ 答案是 300千米。
解：通过画线段图可知 两个人第一次相遇时一共行了 1个 AB 的路程 ;从开始到第二次相遇 一共 又
行了3个AB的路程;可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程 的3
倍。即甲共走的路程是120*3 = 360千米;从线段图可以看出
；
甲一共走了全程的（1+15 ）。 因此
360- （1+15 ）= 300千米
从A地到B地;甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时;现在甲乙分别AB两地同时出发相向 而行;
相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地;A地后都立即折回。第二次相遇点第 一次相遇点
之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间 它顺流需要 6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时 2千
米;求两地间的距离？
解：（16-18 ）吃=148表示水速的分率
2
T
48 = 96千米表示总路程 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 快车每小时行 33千米;相遇是
已行了全程的七分之四 已知慢车行完全程需要 8小时;求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4： 3 时间比为 3： 4
所以快车行全程的时间为84*3 = 6小时
6*33 = 198 千米
12．小华从甲地到乙地 ,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地 ,5分之3骑车,5分之2乘车,结果
慢了半小时 .已知,骑车每小时 12千米,乘车每小时 30千米,问:甲乙两地相距多少千米 ?
解：
把路程看成 1;得到时间系数
去时时间系数：13
T
2+23七0
返回时间系数：35
T
2+25七0
两者之差：（35勻2+25七0） - （13勻2+23七0） =175相当于12小时
去时时间：12
X（
13 勻2）勻75和 12
X
（23 七0） 175
路程：12
X
〔 12
X
（13 勻2）勻75〕+30
X
〔 12
X（
23 £0） 175〕=37.5 （千米）
小学奥数题
80
道
六年综合奥数题 工程问题
1．甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要 20 小时; 16小时.丙水管单独开 排一池水要 10小时;若水池没 水;同时打
开甲乙两水管 5小时后 ;再打开排水管丙 问水池注满还是要多少小时？
解：120+116 = 980表示甲乙的工作效率
980
X=
4580表示5小时后进水量
1-4580 = 3580表示还要的进水量
3580 ( 980-110 )= 35表示还要 35小时注满
答：5小时后还要 35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠 单独修 甲队需要 20天完成 乙队需要 30天完成。如果两队合作 ;由于彼此施工有影响 他们 的工作效
率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 ;乙队工作效率只有原来的十分之九。 现在计划 16 天 修完这条水渠 且要
求两队合作的天数尽可能少 那么两队要合作几天？
解：由题意得
；
甲的工效为120;乙的工效为130;甲乙的合作工效为 120*45+130*910 = 7100;可知甲乙合作 工效＞甲
11
25

的工效 ＞乙的工效。
又因为;要求“两队合作的天数尽可能少 ”;所以应该让做的快的甲多做
作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少 ”。
设合作时间为x天
；
则甲独做时间为(16-x)天
120* (16-x) +7100*x = 1 x = 10 答：甲乙最短合作 10 天
3．一件工作 ;甲、乙合做需 4小时完成 乙、丙合做需 5小时完成。现在先请甲、丙合做 2小时后;余下的乙 还需做 6
小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解： 由题意知 ;14表示甲乙合作 1小时的工作量 15表示乙丙合作 1 小时的工作量
(14+15 ) ＞2 = 910表示甲做了 2小时、乙做了 4小时、丙做了 2小时的工作量。
根据“甲、丙合做 2小时后; 余下的乙还需做 6小时完成 ”可知甲做 2小时、乙做 6小时、丙做 2小时一共的工 作量为
1。
所以1-910 = 110表示乙做6-4= 2小时的工作量。
110 2= 120表示乙的工作效率。
1出20 = 20小时表示乙单独完成需要 20小时。
答：乙单独完成需要 20 小时。
4．一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 ;这样交替轮流做 那么恰好用整数天完工； 如果第一
天乙做 第二天甲做 第三天乙做 ;第四天甲做 这样交替轮流做 那么完工时间要比前一种多半天。 已 知乙单独做这项工
程需 17天完成 甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲 +1乙 +1甲 + 1 乙 + +1甲=1
1乙+1甲+1乙+ 1甲+……+1乙+1甲＞0.5= 1
(1甲表示甲的工作效率、 1乙表示乙的工作效率 最后结束必须如上所示 ;否则第二种做法就不比第一种多
0.5 天)
1甲= 1乙+1甲＞0.5(因为前面的工作量都相等)
得到 1甲= 1乙 ＞2
又因为 1乙= 117
所以1甲=217;甲等于17吃=8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 12时; 徒弟完成了 120个。当师傅完成了任务时 徒弟完成 了 45 这批
零件共有多少个？
答案为 300 个
120 +(45 2)= 300 个
可以这样想： 师傅第一次完成了 12; 第二次也是 12; 两次一共全部完工 那么徒弟第二次后共完成了 45; 可以 推算出
第一次完成了 45的一半是 25;刚好是 120个。
6．一批树苗 ;如果分给男女生栽 平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽 平均每人栽 10棵。单份给男生栽 平 均每人栽
几棵？
答案是 15棵
算式：1- (16-110 )= 15 棵
7．一个池上装有 3根水管。甲管为进水管 乙管为出水管 20 分钟可将满池水放完 ;丙管也是出水管 30分钟 可将满池水
放完。 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 ;打开乙,丙两管用了 1 8分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不
开丙管 ; 多少分钟将水放完？
答案 45 分钟。
1 -(120+130 )= 12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*( 18-12)= 112*6 = 12表示乙丙合作将漫池水放完后
;16天内实在来不及的才应该让甲乙合
；
还多放了 6分钟的水
；
也就是甲18分钟进的水。
12
25

12 -8= 136表示甲每分钟进水
最后就是1-( 120-136 )= 45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成
；
若由甲队去做
；
恰好如期完成
；
若乙队去做
；
要超过规定日期三天完成
；
若
先由甲乙合作二天
；
再由乙队单独做
；
恰好如期完成
；
问规定日期为几天？
答案为 6 天
解： 由“若乙队去做
；
要超过规定日期三天完成
；
若先由甲乙合作二天
；
再由乙队单独做
；
恰好如期完成
；
”可
知：
乙做 3 天的工作量=甲 2 天的工作量
即：甲乙的工作效率比是 3： 2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2： 3
时间比的差是 1 份
实际时间的差是 3天
所以3-( 3-2)
汽
=6天
；
就是甲的时间
；
也就是规定日期
方程方法：
[1X+1
(
x+2
)
] >2+1
(
x+2
) X (
x-2
)=
1
解得 x= 6
9．两根同样长的蜡烛
；
点完一根粗蜡烛要 2小时
；
而点完一根细蜡烛要 1 小时
；
一天晚上停电
；
小芳同时点燃 了
这两根蜡烛看书
；
若干分钟后来点了
；
小芳将两支蜡烛同时熄灭
；
发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2倍
；
问：停电 多少
分钟？
答案为 40 分钟。
解：设停电了 X 分钟
根据题意列方程 1-1120*X =( 1-160*X ) *2 解得 X= 40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28条,问鸡与兔各有几只 ?
解： 4*100=400
；
400-0=400 假设都是兔子
；
一共有 400只兔子的脚
；
那么鸡的脚为 0只
；
鸡的脚比兔子的脚 少
400 只。
400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28只
；
相差 372只
；
这是为什么？
4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡
；
兔子的总脚数就会减少 4只(从 400只变为 396只)
；
鸡的总脚 数就会增
加 2只(从 0只到 2只)
；
它们的相差数就会少 4+2=6只(也就是原来的相差数是 400-0=400
；
现在 的相差数为 396-
2=394
；
相差数少了 400-394=6)
372 -6 = 62表示鸡的只数
；
也就是说因为假设中的 100只兔子中有62只改为了鸡
；
所以脚的相差数从 400改为
28
；
一共改了 372 只
100-62= 38 表示兔的只数
三．数字数位问题
13
25

1．把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数
少?
123456789 2005, 这个多位数除以 9 余数是多
解：首先研究能被 9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除 那么这个数也能被 9整除；如 果各个位
数字之和不能被 9整除; 那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。
解题： 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ；45能被 9 整除
依次类推： 1~1999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除
10~19; 20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了
10+20+30+……+90=450它有能被 9整除
同样的道理 100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9整除
也就是说 1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被
同样的道理： 1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位
“ 1还”没考虑 同时这里我们少 2
从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”的和是 999; 也能整除；
2 的各位数字之和是 27; 也刚好整除。 最后答案为余数为 0。
2 . A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求
解： (A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了 ;只需求后面的最小值 此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时 ;(A+B)B 取最大
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB 最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知 A.B.C 都是非 0自然数 ,A2 + B4 + C16 的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少 ?
答案为 6.375或 6.4375
因为 A2 + B4 + C16 = 8A+4B+C1
2
6.4
所以8A+4B+
0
102.4 由于A、B、C为非0自 然数
；
因此8A+4B+C为一个整数
；
可能是102;也有可能是103。 当是
102 时
；
10216 = 6.375
当是 103 时
；
10316 = 6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1 .如果把这个三位数的百位数字与个位数
字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大 198,求原数 .
答案为 476
解：设原数个位为 a; 则十位为 a+1; 百位为 16-2a
根据题意列方程 100a+10a+16-2a — 100 (16-2a) -10a-a= 198
解得 a= 6;则 a+1= 7 16-2a= 4
答：原数为 476。
5．一个两位数 ,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的
答案为 24
解：设该两位数为 a; 则该三位数为 300+a
7a+24= 300+a
7倍多 24,求原来的两位数 .
A+B分之A-B的最小值…
9整除；
上的数字之和可以被 9整除(这里千位上的
10次
；
那么十位上的数字之和就是
a= 24
15 25

答：该两位数为 24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数
是多少 ?
答案为 121
解：设原两位数为 10a+b; 则新两位数为 10b+a
它们的和就是 10a+b+10b+a = 11 (a+b)
因为这个和是一个平方数
；
可以确定a+b= 11
因此这个和就是 11
X
11= 121
答：它们的和为 121。
7．一个六位数的末位数字是 2,如果把 2移到首位 ,原数就是新数的 3倍,求原数 .
答案为 85714
解：设原六位数为 abcde2;则新六位数为2abcde (字母上无法加横线;请将整个看成一个六位数)
再设abcde (五位数)为x;则原六位数就是10x+2 新六位数就是 200000+x
根据题意得 (200000+x)
X
3= 10x+2
解得 x= 85714
所以原数就是 857142
答：原数为 857142
8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换
千位数字与十位数字互换 ,新数就比原数增加 2376,求原数 .
答案为 3963
解：设原四位数为 abcd; 则新数为 cdab; 且 d+b= 12;a+c= 9
根据新数就比原数增加 2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd 2376 cdab
根据 d+b=12; 可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位
；
便可以知道只有当 d = 3; b= 9;或d= 8; b= 4时成立。
先取 d= 3;b= 9代入竖式的百位 ; 可以确定十位上有进位。
根据 a+c= 9; 可知 a、c 可能是 1 、8; 2、 7; 3、6; 4、5。
再观察竖式中的十位 便可知只有当 c= 6; a= 3 时成立。
再代入竖式的千位 成立。
得到： abcd= 3963
再取 d= 8;b= 4 代入竖式的十位 无法找到竖式的十位合适的数 所以不成立。
9．有一个两位数 ,如果用它去除以个位数字 ,商为 9 余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和 则商为
5 余数为 3,求这个两位数 .
解：设这个两位数为 ab
10a+b= 9b+6 10a+b= 5( a+b) +3
,它与原数相加 ,和恰好是某自然数的平方 ,这个和
化简得到一样： 5a+4b= 3
由于 a、 b 均为一位整数
得到 a= 3 或 7; b= 3 或 8
原数为 33 或 78 均可以
10．如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分
答案是 10：20
解： (28799……
9
(20个9) +1) 6024整除
；
表示正好过了整数天
；
时间仍然还是10: 21;因为事先计算时 加了 1 分
15 25
?

钟; 所以现在时间是 10： 20
四．排列组合问题
1 ．有五对夫妇围成一圈
；
使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( )
A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中
解： 根据乘法原理
；
分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体
；
进行排列有5用< br>X
3X2
X
1= 120种不同的排法
；
但是因为是围成一个首尾相 接的
圈
；
就会产生5个5个重复
；
因此实际排法只有120^5= 24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置
综合两步 就有24
X
32= 768种。
2 若把英语单词 hello 的字母写错了 ,则可能出现的错误共有
A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种
解： 5 全排列 5*4*3*2*1=120
有两个 l 所以 1202=60
原来有一种正确的所以 60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有 100 种赤贫 .其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别 是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值 68+43-100= 11
最大值就是含铁的有 43 种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛 ,每个学生至少解出一道题
( )
；
也就是说每一对夫妻均有 2种排法
；
总共又2X2X2 ^2X2 = 32种
；
(2)在所
有没有解出第一题的学生中 ,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍:(3)只解出第一题的学生比余下的
学生中解出第一题的人数多 1 人
；
(4)只解出一道题的学生中 ,有一半没有解出第一题 ,那么只解出第二题的学生 人数是
( )
A
；
5 B
；
6 C
；
7 D
；
8
解：根据 “每个人至少答出三题中的一道题 ”可知答题情况分为 7类：只答第 1 题
；
只答第 2 题
；
只答第 3题
；
只
答第 1、2 题
；
只答第 1、3 题
；
只答 2、3题
；
答 1、2、3题。
分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=( a3+ a23)
X
2……②
由(3)知：a12+a13+a123= a1— 1……③
由(4)知：a1 = a2+a3 ........... ④
再由②得 a23= a2 — a3
X
2••…⑤
再由③④得 a12+a13+a123= a2+a3 — 1 ⑥
然后将④⑤⑥代入①中
；
整理得到
a2
X
4+a3
=
26
由于 a2、a3 均表示人数
；
可以求出它们的整数解：
当 a2= 6、5、4、3、2、1 时
；
a3= 2、6、10、14、18、22
又根据a23= a2 — a3
X
2••…⑤可知：a2>a3
因此
；
符合条件的只有 a2= 6; a3= 2。
然后可以推出 a1= & a12+a13+a123= 7; a23= 2;总人数=8+6+2+7+2 = 25;检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数 a2= 6人。
95%、80%、79%、74%、 3．一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、、 4、5 题的分别占参加考试人数的
85%。如果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格率至少是多少？
16 25

答案：及格率至少为 71 ％。
假设一共有 100 人考试
100-95= 5
100-80= 20
100-79= 21
100-74= 26
100-85= 15
5+20+21+26+15=87（表示 5题中有 1题做错的最多人数）
87七=29 （表示5题中有3题做错的最多人数
；
即不及格的人数最多为
100-29= 71（及格的最少人数 其实都是全对的）
及格率至少为 71 ％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 颜色有黑、红、蓝、黄四种 问最少要摸出几只手套才能保证 有 3 副同
色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是 4个抽屉;把手套看成是元素 要保证有一副同色的 就是 1个抽屉里至少有 2只手套
根据抽屉原理 最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3只手套。再根据抽 屉原理 只要再摸
出 2 只手套 又能保证有一副手套是同色的 以此类推。
把四种颜色看做 4 个抽屉 要保证有 3 副同色的 先考虑保证有 1 副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的 后; 4个
抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理 只要再摸出 2只手套;又能保证有 1副是同色的。以此类推 要保证有 3副同色
的 共摸出的手套有： 5+2+2=9（只）
答：最少要摸出 9 只手套 才能保证有 3 副同色的。
2．有四种颜色的积木若干 ;每人可任取 1-2件;至少有几个人去取 才能保证有 3人能取得完全一样？ 答案 为 21
解： 每人取 1 件时有 4种不同的取法 ,每人取 2件时,有6种不同的取法 .
当有 11 人时,能保证至少有 2人取得完全一样 :
当有 21 人时,才能保证到少有 3人取得完全一样 .
3．某盒子内装 50只球;其中 10只是红色;10只是绿色 10只是黄色 10只是蓝色;其余是白球和黑球 为了确 保取出的
球中至少包含有 7只同色的球 问：最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于 7个的;那么就是：
6*4+10+1=35（ 个）
如果黑球或白球其中有等于 7个的;那么就是：
6*5+3+1 = 34（个）
如果黑球或白球其中有等于 8个的;那么就是：
6*5+2+1 = 33
如果黑球或白球其中有等于 9个的;那么就是：
6*5+1+1 = 32
4．地上有四堆石子 石子数分别是 1、9、15、31 如果每次从其中的三堆同时各取出 1 个; 然后都放入第四堆 中; 那么;
能否经过若干次操作 使得这四堆石子的个数都相同 ?(如果能请说明具体操作 不能则要说明理由) 不可能。
因为总数为1+9+15+31 = 56
564 = 14
14 是一个偶数
而原来 1、9、15、31 都是奇数 取出 1 个和放入 3个也都是奇数 奇数加减若干次奇数后 结果一定还是奇数 不可能
得到偶数( 14 个)。
17 25
29人）

七．路程问题
1．狗跑 5步的时间马跑 3步;马跑 4步的距离狗跑 7步;现在狗已跑出 30 米;马开始追它。问：狗再跑多远 马可以追上
它？
解：
根据马跑4步的距离狗跑7步”可以设马每步长为 7x米
；
则狗每步长为4x米。
根据 狗跑5步的时间马跑3步”可知同一时间马跑 3*7x米=21x米
；
则狗跑5*4x = 20米。
可以得出马与狗的速度比是 21x: 20x = 21: 20
30米
；
他们相差的份数是 21-20 = 1;现在求马的21 根据 现在狗已跑出30米”可以知道狗与马相差的路程是
份是多少路程
；
就是 30+( 21-20) X21 = 630米
2 •甲乙辆车同时从ab两地相对开出
；
几小时后再距中点 40千米处相遇？已知
；
甲车行完全程要8小时
；
乙车 行完全
程要 10 小时
；
求 a b 两地相距多少千米？
答案 720 千米。
由“甲车行完全程要 8小时
；
乙车行完全程要 10小时”可知
；
相遇时甲行了 10份
；
乙行了 8份(总路程为 18份)
；

两车相差 2份。又因为两车在中点 40千米处相遇
；
说明两车的路程差是( 40+40)千米。所以算式是( 40+40) + (10-
8)
X
(10+8 )= 720 千米。
；
两人每隔12分钟相遇一次
；
若
两个人速度不变
；
还是在原来出发点同时出发
；
哥哥改为按逆时针方向跑
；
则两人每隔 4分钟相遇一次
；
两人跑 一
圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要 6分钟和 12分钟。
解: 600+12=50
；
表示哥哥、弟弟的速度差
600+4=150
；
表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150) +2=100
；
表示较快的速度
；
方法是求和差问题中的较大数
(150-50) 2=50
；
表示较慢的速度
；
方法是求和差问题中的较小数
600+100=6分钟
；
表示跑的快者用的时间
60050=12 分钟
；
表示跑得慢者用的时间
4 .慢车车长12 5米;车速每秒行17米
；
快车车长140米;车速每秒行22米;慢车在前面行驶
；
快车从后面追上 来
；
那
么
；
快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为 53 秒
算式是( 140+125)+(22-17)=53 秒
可以这样理解: “快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车 ”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点
；
因此追及的 路程
应该为两个车长的和。
5.在 300米长的环形跑道上
；
甲乙两个人同时同向并排起跑
；
甲平均速度是每秒 5米
；
乙平均速度是每秒 4.4 米
；

两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为 100 米
300 *( 5-4.4) = 500秒
；
表示追及时间
5 >500 = 2500米
；
表示甲追到乙时所行的路程
2500 £00= 8圈……100米;表示甲追及总路程为 8圈还多100米;就是在原来起跑线的前方 100米处相遇。
3 .在一个600米的环形跑道上
；
兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步
6．一个人在铁道边
；
听见远处传来的火车汽笛声后
；
在经过 57秒火车经过她前面
；
已知火车鸣笛时离他 1360 米;
(轨道是直的 ),声音每秒传 340 米;求火车的速度(得出保留整数)
答案为 22 米 秒
算式：1360讯1360 £40+57)
〜
22米 秒
关键理解：人在听到声音后 57秒才车到 说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
程。也就是 1360 米一共用了 4+57= 61 秒。
1360£340=4秒的路
7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子大 它跑 5步的路程 兔子 要跑 9
18 25

步;但是兔子的动作快 猎犬跑 2步的时间 兔子却能跑 3步;问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少
跑 60米才能追上。
解 ：由猎犬跑5步的路程
；
兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米;则兔子每步59米。由 猎犬跑2步的时间
；
兔子却能跑
3步”可知同一时间
；
猎犬跑2a米;兔子可跑59a*3 = 53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a： 53a=6： 5; 也就
是说当猎犬跑 60 米时候; 兔子跑 50米; 本来相差的 10米刚好追完
8． AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是
答案： 18分钟
解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y
列式 40x+40y=1
x:y=5:4
得 x=172 y=190
走完全程甲需 72 分钟,乙需 90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶
；
各自到达对方出发点后立即返回。第二 次相遇时
离B地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。AB两地相距多少千米？ 答案是 300 千米。
解：通过画线段图可知
；
两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 的路程
；
从开始到第二次相遇
；
一共又行了 3个
AB 的路程
；
可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的
程是 120*3=360千米
；
从线段图可以看出
；
甲一共走了全程的( 1+15)。
因此 360£(1+15)= 300千米
从A地到B地
；
甲、乙两人骑自行车分别需要 4小时、6小时
；
现在甲乙分别 AB两地同时出发相向而行
；
相 遇时距
AB两地中点2千米。如果二人分别至 B地;A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有 () 千米
10．一船以同样速度往返于两地之间
地间的距离？
解：( 16-18) £2=148表示水速的分率
2£148= 96 千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出
；
快车每小时行 33千米
；
相遇是已行了全程的七分之四
；
已知慢车行 完全
程需要 8 小时
；
求甲乙两地的路程。
解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4： 3
时间比为 3： 4
所以快车行全程的时间为 84*3 = 6小时
6*33 = 198 千米
1 2．小华从甲地到乙地 ,3分之 1 骑车,3分之 2乘车;从乙地返回甲地 ,5分之 3骑车,5分之 2乘车,结果慢了半 小时.已
知,骑车每小时 12 千米,乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相距多少千米 ?
解： 把路程看成 1; 得到时间系数
去时时间系数：13
W
2+23 £0
返回时间系数：35
W
2+25 £0
两者之差：(35
W
2+25 £0) - ( 13
W
2+23 £0) =175 相当于 12 小时
去时时间：12
X(
13
W
2) -175 和 12
X(
23 -30) 175
路程：12
X
〔 12
X(
13 -2) -175〕+30
X
〔 12
X(
23 -0) 175〕=37.5 (千米)
八．比例问题
1 ．甲乙两人在河边钓鱼 ,甲钓了三条 ,乙钓了两条 ,正准备吃 ,有一个人请求跟他们一起吃
分了,为了表示感谢 ,过路人留下 1 0元,甲、乙怎么分？快快快
答案：甲收 8 元 乙收 2 元。
19 25
,于是三人将五条鱼平
3倍。即甲共走的路
4:5,如果甲乙二人分别同时从 AB 两地相对行使 ,40
分钟后两人相遇 ,相遇后各自继续前行 ,这样
；
乙到达 A 地比甲到达 B 地要晚多少分钟 ?
；
它顺流需要 6小时
；
逆流 8小时。如果水流速度是每小时 2千米
；
求两

解：
“三人将五条鱼平分 客人拿出 10元”;可以理解为五条鱼总价值为
又因为 甲钓了三条”相当于甲吃之前已经出资
元。
而甲乙两人吃了的价值都是 10元
；
所以
甲还可以收回18-10 = 8元
乙还可以收回12-10 = 2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品
；
今年的成本比去年增加了 10分之 1
；
但仍保持原售价
；
因此
；
每份利润下降了 5分之 2
；
那么
；
今 年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案 2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成 20份
；
利润看成 5份
；
则今年的成本提高 110
；
就是 22份
；
利润下降了 25
；
今年的利润只
有3份。增加的成本 2份刚好是下降利润的 2份。售价都是 25份。
所以
；
今年的成本占售价的 2225。
30元;那么每条鱼价值 6元。
2*6 = 12 3*6 = 18元
；
乙钓了两条”相当于乙吃之前已经出资
3．甲乙两车分别从 A.B 两地出发 ,相向而行 ,出发时 ,甲.乙的速度比是 5:4,相遇后 ,甲的速度减少 20%,乙的速度 增加
20%,这样
，
当甲到达B地时
，
乙离A地还有10千米
，
那么A.B两地相距多少千米
？
解：
原来甲 .乙的速度比是 5:4
现在的
甲：
现在的
5
X (
1-20
%)=
4
4
X(
1+20
%)
4.8

乙：
甲到B后
；
乙离A还有：5-4.8 = 0.2
总路程：10-5.2
X(
4+5)= 450 千米
4．一个圆柱的底面周长减少 25%
；
要使体积增加 13
；
现在的高和原来的高度比是多少？ 答案为 64：27
解：根据 “周长减少 25％”;可知周长是原来的 34; 那么半径也是原来的 34;则面积是原来的 916。 根据“体积增加
13”; 可知体积是原来的 43。
体积勻底面积=高
现在的高是 43 £16 = 6427;也就是说现在的高是原来的高的
或者现在的高：原来的高= 6427: 1 = 64: 27
6427
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共
总数的 13 分之 2。一共运来水果多少吨？
第二题：答案为 65 吨
30 吨香蕉、橘子和梨共 45吨。橘子正好占
橘子+苹果=30吨 香蕉+橘子+梨=45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨=75吨
橘子* （香蕉+苹果+橘子+梨）=213
说明：橘子是 2份;香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13 = 15份
过桥问题（ 1 ）
1. 一列火车经过南京长江大桥 大桥长 6700米; 这列火车长 140米; 火车每分钟行 400米; 这列火车通过长江大 桥需要
20 25

多少分钟？
分析： 这道题求的是通过时间。 根据数量关系式 ;我们知道要想求通过时间 就要知道路程和速度。 路程是用桥 长加上
车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要 17.1 分钟。
2. 一列火车长 200米;全车通过长 700米的桥需要 30秒钟;这列火车每秒行多少米？
分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道 要想求车速 ;我们就要知道路程和通过时间这两个条件。 可以用已
知条件桥长和车长求出路程 ;通过时间也是已知条件 所以车速可以很方便求出。
总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行 30 米。
3. 一列火车长 240米;这列火车每秒行 1 5米;从车头进山洞到全车出山洞共用 20秒;山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥 的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当 于车尾下桥。
这道题求山洞的长度也就相当于求桥长 我们就必须知道总路程和车长 ;车长是已知条件 那么我
们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长 60 米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是 40 岁; 妈妈的年龄是秦奋年龄的 4倍; 问秦奋和妈妈各是多少岁？ 我们把秦奋的年龄作
为 1 倍;“妈妈的年龄是秦奋的 4倍”;这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的
是40岁;也就是（4＋1）倍;也可以理解为 5份是40岁;那么求 1倍是多少;接着再求 4倍是多少？
（1） 秦奋和妈妈年龄倍数和是： 4+ 1 = 5 （倍）
（2） 秦奋的年龄：40*5 = 8岁
（3） 妈妈的年龄：8总=32岁
综合：40* （4+ 1 ）= 8岁8总=32岁
5倍
21 25

为了保证此题的正确 验证
（1） 8+ 32= 40 岁
（
2
）
32^8
=
4 （倍）
计算结果符合条件 所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行 3小时共飞行 3600千米;甲的速度是乙的 2倍;求它们的速度各 是多少？
已知两架飞机 3 小时共飞行 3600 千米 ;就可以求出两架飞机每小时飞行的航程
图可知 这个速度和相当于乙飞机速度的 3 倍; 这样就可以求出乙飞机的速度
机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行 800 千米、 400 千米。
3. 弟弟有课外书 20 本; 哥哥有课外书

;也就是两架飞机的速度和。 看
;再根据乙飞机的速度求出甲飞
25 本; 哥哥给弟弟多少本后 弟弟的课外书是哥哥的 2 倍？
思考：（ 1）哥哥在给弟弟课外书前后 ;题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书 需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作 1 倍; 那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下
的课外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上 ;再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外 书。如果我们
把哥哥剩下的课外书看作 1 倍;那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的 2倍;也就 是兄弟俩共有的倍数相当
于哥哥剩下的课外书的 3倍; 而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。
1 ）兄弟俩共有课外书的数量是
20＋ 25= 45。
2）哥哥给弟弟若干本课外书后
3） 哥哥剩下的课外书的本数
是

; 兄弟俩共有的倍数是 2＋1 = 3。
45£= 15。
25－15= 10。
4） 哥哥给弟弟课外书的本数是
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮 1 70吨;后来从甲库运出 30吨;给乙库运进 1 0吨;这时甲库存粮是乙库存粮的
倍; 两个粮库原来各存粮多少吨？
2
根据甲乙两个粮库原来共存粮 1 70吨;后来从甲库运出 30吨;给乙库运进 1 0吨;可求出这时甲、 乙两库共存粮 多少
吨。根据 “这时甲库存粮是乙库存粮的 2 倍”;如果这时把乙库存粮作为 1 倍; 那么甲、乙库所存粮就相当
于乙存粮的 3 倍。于是求出这时乙库存粮多少吨 进而可求出乙库原来存粮多少吨。 最后就可求出甲库原来存 粮多少
吨。
甲库原存粮 130 吨 乙库原存粮 40 吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒 每张铁皮可制盒身 16 个; 或制盒底 43 个; 一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒 现有
150 张铁皮 用多少张制盒身 多少张制盒底 才能使盒身与盒底正好配套？ 依据题意可知这个题有两个未知量 ;一个
是制盒身的铁皮张数 一个是制盒底的铁皮张数 这样就可以用两个未
知数表示 ;要求出这两个未知数 就要从题目中找出两个等量关系 列出两个方程 组在一起 就是方程组。 两个等量关系
是： A 做盒身张数 +做盒底的张数 =铁皮总张数
B制出的盒身数X2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身 64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实;在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被 2 整除的数叫偶数 大于零的偶数又叫双数； 凡是不能被 2整除的数叫奇数 大于零的奇数又叫单数。
22 25

因为偶数是 2 的倍数 所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以 2 其余数都是
1; 所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质 常用的有：
性质 1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如： 8+4=12 8-4=4 等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如： 9+3=12 9-3=6 等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如： 9+4=13 9-4=5 等。
单数个奇数的和是奇 双数个奇数的和是偶数 几个偶数的和仍是偶数。
性质 2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质 3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌 画面向上。小明每次翻转其中的 4张;那么;他能在翻动若干次后 使 5张牌的画面都向下吗？ 同学们
可以试验一下 ;只有将一张牌翻动奇数次 才能使它的画面由向上变为向下。 要想使 5 张牌的画面都向下 那么每张牌都
要翻动奇数次。
5 个奇数的和是奇数 所以翻动的总张数为奇数时才能使 5 张牌的牌面都向下。而小明每次翻动
多少次 翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次 都不能使 5 张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有 180 个白色围棋子和 181 个黑色围棋子 乙盒中放有 181 个白色围棋子 李平每次任意从甲盒中 摸出
两个棋子 如果两个棋子同色 他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒； 如果两个棋子不同色 他就把黑子放 回甲盒。那
么他拿多少后 甲盒中只剩下一个棋子 这个棋子是什么颜色的？ 不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子 他总会
把一个棋子放入甲盒。 所以他每拿一次 甲盒子中的棋子数就
减少一个 所以他拿 180+181-1=360 次后 ;甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子 那么甲盒中的黑子数就减少两个。 否则甲盒子中的黑子数不变。 也就是说 李平每次 从甲盒
子拿出的黑子数都是偶数。由于 181是奇数 奇数减偶数等于奇数。所以 甲盒中剩下的黑子数应是奇 数; 而不大于 1
的奇数只有 1; 所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球 每堆 4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品 正品球每个重 10克;次品球每个 重 11 克;
请你用天平只称一次 把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中 各取 1、2、3、4个球;这 10个球一起放到天平上去称 ;总重量比 100 克多几
克 第几堆就是次品球。
2 有 27 个外表上一样的球 ; 其中只有一个是次品 重量比正品轻 请你用天平只称三次 （不用砝码） 把次品球 找出
来。
解 ：第一次：把 27个球分为三堆 每堆 9 个; 取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡
轻的一堆；若天平平衡 则剩下来称的一堆必定较轻 次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆
那一堆。
;可找到较
4 张 不管翻
;每堆 3个球; 按上法称其中两堆 又可找出次品在其中较轻的
第三次：从第二次找出的较轻的一堆 3个球中取出 2个称一次 若天平不平衡 ;则较轻的就是次品 若天平平衡 则剩
下一个未称的就是次品。
例3 把 10个外表上一样的球 其中只有一个是次品 请你用天平只称三次 把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组
；
将四组球及其重量分别用 A、B、C、D表示。把A、B两组 分别放在
天平的两个盘上去称 则
24 25

(1 )若A=B;则A、B中都是正品
；
再称B、C。如B=C;显然D中的那个球是次品；如 B > C
；
则次品在C中 且次品比
正品轻
；
再在C中取出2个球来称
；
便可得出结论。如 B
v
C;仿照B > C的情况也可得出结论。
(2) 若A > B;则C、D中都是正品
；
再称B、C;则有B=C;或B
v
C ( B> C不可能
；
为什么？)女口 B=C;则次 品在
A中且次品比正品重
；
再在A中取出2个球来称
；
便可得出结论；如 B
v
C;仿前也可得出结论。
(3) 若A
v
B;类似于A >B的情况
；
可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例 1】一个小组共有 13名同学;其中至少有 2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有 12个月;任何一个人的生日 一定在其中的某一个月。 如果把这 12个月看成 1 2个“抽屉”; 把1
3名同学的生日看成 1 3只“苹果”;把1 3只苹果放进 12个抽屉里;一定有一个抽屉里至少放 2个苹果;也就 是说; 至少
有 2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意 4个自然数 其中至少有两个数的差是 3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以 3 的余数相同 那么这两个自然数的差是 3
的倍数。 而任何一个自然数被 3除的余数;或者是 0;或者是 1;或者是 2 根据这三种情况 可以把自然数分成 3 类;这3
种类型就是我们要制造的 3个“抽屉”。我们把 4个数看作“苹果”;根据抽屉原理 ;必定有一个抽屉里至 少有 2个数。
换句话说 4个自然数分成 3 类; 至少有两个是同一类。既然是同一类 那么这两个数被 3除的余
数就一定相同。所以 任意 4 个自然数 至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。
【例 3】有规格尺寸相同的 5种颜色的袜子各 1 5只混装在箱内 试问不论如何取 从箱中至少取出多少只就能 保证有
3 双袜子(袜子无左、右之分)？
24 25