兰州大学录取分数线-元旦节祝福语

三、定义新运算（一）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.规定a☉b =
2.规定“
※
”为一种运算,对任意两数a,b,有a
※
b
< br>x=
.

3.设a,b,c,d是自然数,定义
a,b,c,dadbc
.则

1,2,3,4,4,1,2,3,
3, 4, 1, 2
,2,3,4,1
.

4.[A]表示自 然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成
[4]=3.计算:
([1 8][22])[7]
= .

5.规定新运算※
:a
※
b=3a-2b.若x
※
(4
※
1) =7,则x= .

6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆
b
.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆
4=0.根据这样定义的运算,(2 6☆9) ☆4= .

7.对于数a,b,c,d规定
a,b, c,d2abcd
.如果
1,3,5,x7
,
那么x= .

8.规定:6
※
2=6+66=72,2
※
3=2+ 22+222=246,
1
※
4=1+11+111+1111=1234.7
※
5= .

9.规定:符号“
△
”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中 较小数.例如:3
△
5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)
△
5]×[5 ☉(3
△
7)]= .

10.假设式子
a
#
ab
表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式
子
b
#
ab
表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b= 2,依
次进行计算
a
#
ab
,
b
#
a b
,
a
#
ab
,
b
#
ab
, 则计算结束时,a与b的和
a2b
3
a
b

b
a
,则2☉(5☉3)之值为 .
22
3
,若6
※
x

,则
1

是 .

二、解答题
11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下:
(a,b)
※
(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计
算((1,2)
※
(3,6))△((5,4)
※
(1,3)).

12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符
号
△
表示羊
△
羊=羊;羊
△
狼=狼;狼
△
羊=狼;狼
△
狼=狼.运算意思是羊与羊在一起
还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼 了.
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为
羊 ☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,
狼与狼在一起还是 狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩
下羊了.
对羊或 狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,
括号内先算.运算的结果是羊,或是 狼.求下式的结果:
羊
△
(狼☆羊)☆羊
△
(狼
△
狼).

13.
64222
222
表示成
f

64
6
;

24333333
表示成
g

243

5
.
试求下列的值:
(1)
f

128


(2)
f(16)g()
; (3)
f()g(27)6
;
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:
f(xy)f(x)f(y)
.

14.两个不等的自然数a和
b
,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b
,比如5
☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.




———————————————答 案——————————————————————

41
120
1.
1
.
53
53

16
15
5☉3=

,
2

16
2☉(5☉3)=2☉

2. 8.
依题意,6
※
x

3. 280.
16
15

2
16
15

16141
15
1< br>.
2120120
62x
3
,因此
62x
3< br>
22
3
,所以x=8.
1,2,3,414231 0;
3,4,1,2324110;
4,1,2,343121 4;

2,3,4,1213414.

原式
10,14,10,1410141410280
.

4. 5.
因为
1823
2
有
(11)(2 1)6
个约数,所以[18]=6,同样可知
[22]=4,[7]=2.
原式
(64)25
.

5. 9.
因为4< br>※
1=
342110
,所以x
※
(4
※1)= x
※
10=3x-20.故3x-20=7,解得
x=9.

6. 0.
26298
,26☆9=8,又
824
, 故(26☆9)☆4=8☆4=0.

7. 6.
因为
1,3,5, x2135x1x
,所以
1x7
,故
x6
.

8. 86415.
7
※
5=7+77+777+7777+77777=86415.

9. 25.
原式=[3
△
5]×[5☉7]=5×5=25.

10. 14.
第1次计算后,
a224
; 第2次计算后,
b422
;第3次计算
后,
a428
; 第4次计算后,
b826
.此时
ab8614
.
3

11. (1,2)
※
(3,6)=(1+3,2+6) =(4,8),(5,4)
※
(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).
原式=(4,8)
△
(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).

12. 原式=羊
△
羊☆羊
△
狼=羊☆羊
△< br>狼=羊
△
狼=狼.

13. (1)
f(128)f

2
7

7
;
(2)
f(16)f

2
4

4 g

3
4

g(81)
;
(3)因 为
6g(27)6g

3
3

633f
2
3

f(8)
,所以
f(8)g(27)6
;
(4)令
x2
m
,y2
n
,< br>则
f(x)m,f(y)n
.

f(xy) f

2
m
2
n

f

2mn

mnf(x)f(y)
.
14. (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大( 注意,x
≠
11),即哪个作除数,哪个作被除数,
这样就要分两种情况讨论.
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x
≥
3(因为x应大于余数2),
所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以
x=11+2=13.
因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应
小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y
≥
6,所以
y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x
≥
8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x =19+7=26
或
x1927
=45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所
以x=19+ 14=33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.


4

5