（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线
垂直；
（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．
故选D．
说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影 垂直．如
在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、F
分别为棱
AA
1
和
BB
1
上的点，
G
为棱
BC
上的点，且
EFBB1
，
FC
1
EG
，求
D
1
FG< br>．
典型例题三


例3 如图，在正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是< br>BB
1
的中点，
O
是底面正方形
ABCD
的
中心，求证：
OE
平面
ACD
1
．
分析：本题考查的是 线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明
OE
平面
ACD
1
，只要在平面
ACD
1
内找两条相交直线与
OE
垂直． < br>证明：连结
B
1
D
、
A
1
D
、BD
，在△
B
1
BD
中，
∵
E、O
分别是
B
1
B
和
DB
的中点，
∴
EOB
1
D
．
∵
B
1
A1

面
AA
1
D
1
D
，
∴
DA
1
为
DB
1
在面
AA
1
D< br>1
D
内的射影．
又∵
AD
1
A
1
D
，
∴
AD
1
DB
1
．
同理可证，
B
1
DD
1
C
．
又∵AD
1
CD
1
D
1
，
AD
1、
D
1
C
面
ACD
1
，
∴
B
1
D
平面
ACD
1
．
∵
B
1
DEO
，
∴
EO
平面
ACD
1
．
另证：连结
A E、CE
，
D
1
O
，设正方体
DB
1
的棱 长为
a
，易证
AECE
．

又∵
AOOC
，
∴
OEAC
．
在正方体
DB
1
中易求出：

2

6< br>222

D
1
ODD
1
DOa

aa
，

2

2

2
2
3

a


22

OEBE OB



aa
，

2

2


2

2
2
D
1
ED< br>1
B
1
2
B
1
E
2

∵
D
1
OOED
1
E
，
∴
D
1
OOE
．
222

3

a

2a

a
．
2

2

2
2
∵
D
1
OACO
，
D
1
O
、
AC
平面
ACD
1
，
∴
OE
平面
ACD
1
．
说明：要证线面垂直可 找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在
证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其 逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找
垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．


典型例题四


例4 如图，在△
ABC
中，< br>B90
，
SA
平面
ABC
，点
A
在< br>SB
和
SC
上的射影分
别为
M、N
，求证：
MNSC
．
分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相 互转化思
想．欲证
SCMN
，可证
SC
面
AMN
，为此须证
SCAN
，进而可转化为证明
AN
平
面
S BC
，而已知
ANSB
，所以只要证
ANBC
即可．由于图中线 线垂直、线面垂直关
系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．
证明： ∵
SA
面
ABC
，
BC
平面
ABC
，
∴
SABC
．
∵
B90
，即
ABBC
，
BASAA
，
∴
BC
平面
SAB
．
∵
AN
平面
SAB
．
∴
BCAN
．
又∵
ANSB
，
SBBCB
，



∴
AN
平面
SBC
．
∵
SC
平面
SBC
，
∴
ANSC
，
又∵
AMSC
，
AMANA
，
∴
SC
平面
AMN
．
∵
MN
平面
AMN
．
∴
SCMN
．
另证：由上面可证
AN
平面
SBC
．
∴
MN
为
AM
在平面
SBC
内的射影．
∵
AMSC
，
∴
MNSC
．
说明：在上面 的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证
明线面垂直又转化为证明线线垂 直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现
的．本题若改为下题，想想如何证：已知SA
⊙
O
所在平面，
AB
为⊙
O
的直径，< br>C
为⊙
O
上任意一点（
C
与
A、B
不重合） ．过点
A
作
SB
的垂面交
SB
、
SC
于点
M、N
，求证：
ANSC
．


典型例题五


例5 如图，
AB
为平面

的斜线，
B
为斜足，
AH
垂直平面

于
H
点，
BC
为平面

内
的直线，
ABH
，
HBC

，
ABC

，求证：
co s

cos

cos

．
分析：本题考查的 是线面角的定义和计算．要证明三个
角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形
中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三
角形则需要用三垂线定理或逆定理．
证明：过
H
点作
HD
垂直
BC
于
D
点， 连
AD
．
∵
AH

，
∴
AD
在平面

内射影为
HD
．
∵
BCHD
，
BC

，
∴
BCAD
．
BH
①
BA
BD
在
Rt
△
BHD
中有：
co s


②
BH
BD< br>在
Rt
△
ABD
中有：
cos


③
BA
在
Rt
△
ABH
中有：
cos


由①、②、③可得：
cos

cos

co s

．
说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直 线所成的
一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为

，则斜线与平面内其它直 线所成角

的

范围为


，
．






2

典型例题六


例6 如图，已知正方形
ABCD
边长为4，
CG
平面
A BCD
，
CG2
，
E、F
分别是
AB、AD
中点 ，求点
B
到平面
GEF
的距离．
分析：此题是1991年高考题， 考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理
和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的 距离，可用转移法将该点到平面的距离转化
为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点
B与平面
GEF
平行的直线，因为与平面平行的
直线上所有点到平面的距离相等．
证明：连结
BD、AC
，
EF
和
BD
分别交
AC
于
H、O
，连
GH
，作
OKGH
于
K
．
∵
ABCD
为正方形，
E、F
分别为
AB 、AD
的中
点，
∴
EFBD
，
H
为
AO
中点．
∵
BDEF
，
BD
平面
GFE
，
∴
BD
平面
GFE
．
∴
BD
与平面GFE
的距离就是
O
点到平面
EFG
的距离．
∵
BDAC
，∴
EFAC
．
∵
GC
面
ABCD
，∴
GCEF
．
∵
GCACC
，
∴
EF
平面
GCH
．
∵
OK
平面
GCH
，
∴
EFOK
．
又∵
OKGH
，
GHEFH
，
∴
OK
平面
GEF
．
即
OK
长就是点
B
到平面
GEF
的距离．
∵正方形边长为4，
CG2
，
∴
AC42
，
HO2
，
HC32
．
在
Rt
△
HCG
中，
HG
在
Rt
△< br>GCH
中，
OK
HC
2
CG
2
22< br>．
HOGC211

．
HG11
说明：求点到平面的距 离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算
垂线段的长．用此法的关键在于准确找到 垂足位置．如本题可用下列证法：延长
CB
交
FE
的
延长线于
M
，连结
GM
，作
BPME
于
P
，作
BNCG
交
MG
于
N
，连结
PN
，再作
B HPN
于
H
，可得
BH
平面
GFE
，
BH
长即为
B
点到平面
EFG
的距离．二是转移
法．将该点 到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的

面积．求 顶点到底面的距离，可逆用体积公式．


典型例题七


例7 如图所示，直角
ABC
所在平面外一点
S
，且
SA SBSC
．
(1)求证：点
S
与斜边
AC
中点
D
的连线
SD

面
ABC
；
(2)若直角边< br>BABC
，求证：
BD
面
SAC
．

分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．
证明：(1)在等腰< br>SAC
中，
D
为
AC
中点，∴
SDAC
．
取
AB
中点
E
，连
DE
、
SE
．
∵
EDBC
，
BCAB
，∴
DEAB
． 又
SEAB
，∴
AB
面
SED
，∴
AB SD
．
∴
SD

面
ABC
（
AB
、
AC
是面
ABC
内两相交直线）．
(2)∵
BABC
，∴
BDAC
．
又∵
SD

面
ABC
，∴
SDBD
．
∵
SDACD
，∴
BD
面
SAC
．
说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由
等腰三角形底边 上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．
典型例题八


例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：
ab
，
a

．求证：
b

．
分析：由线面垂直的判定定理知，只需在

内找到两条相交直线与
b
垂直即可．

证明：如图所示，在平面

内作两条相交直线
m、
n
．
∵
a

，∴
am
，
an
．
又∵
ba
，从而有
bm
，
bn
．
由作图知
m
、
n
为

内两条相交直线．
∴
b

．

说明：本题的结论可以作为判定线面垂 直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不
明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线 与平面垂直．
典型例题九


例9 如图所示，已知平面


平面

=
EF
，
A
为

、< br>
外一点，
AB

于
B
，
AC

于
C
，
CD

于
D
．证明：
BDEF
．

分析：先证
A
、
B
、
C
、
D
四点共面，再证明
EF
平面
ABCD
，从而 得到
BDEF
．
证明：∵
AB

，
CD< br>
，∴
ABCD
．
∴
A
、
B
、
C
、
D
四点共面．
∵
AB

，
AC

，

< br>
EF
，∴
ABEF
，
ACEF
．
又
ABACA
，∴
EF
平面
ABCD
．
∴
EFBD
．
说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线 线垂直也常互为条件和结
论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明 “
A
、
B
、
C
、
D
四点共面”非常重要， 仅由
EF
平面
ABC
，就断定
EFBD
，则证明是无效 的．
典型例题十


例10 平面

内有一半圆，直径< br>AB
，过
A
作
SA

平面

，在半 圆上任取一点
M
，连
SM
、
SB
，且
N
、
H
分别是
A
在
SM
、
SB
上的射影．
(1)求证：
NHSB
；
(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？
(3)这个图形中有多少个直角三角形？
(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？
分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．

(1)证明：连
AM
、
BM
．如上图所示，
∵
AB
为已知圆的直径，∴
AMBM
．
∵
SA

平面

，
BM

，∴
SAMB．

∵
AMSAA
，∴
BM
平面
SAM
．
∵
AN

平面
SAM
，∴
BMAN
．
∵
ANSM
于
N
，
BMSMM
，∴
AN

平面
SMB
．
∵
AHSB
于
H
，且
NH
是
AH
在平面
SMB
的射影，∴
NHSB
．
解(2)：由(1)知，
SA

平面
AMB
，
BM
平面
SAM
，
AN

平面
SMB
．
∵
SBAH
且
SBHN
，∴
SB

平面
ANH
，
∴图中共有4个线面垂直关系．
(3) ∵
SA

平面
AMB
，∴
SAB
、
S AM
均为直角三角形．
∵
BM
平面
SAM
，∴
BAM
、
BMS
均为直角三角形．
∵
AN

平面
SMB
，∴
ANS
、
ANM
、
ANH< br>均为直角三角形．
∵
SB

平面
ANH
，∴
SHA
、
BHA
、
SHN
、
BHN
均为 直角三角形．
综上，图中共有11个直角三角形．
(4)由
SA

平面
AMB
知，
SAAM
，
SAAB
，
SA BM
．
由
BM
平面
SAM
知，
BMAM< br>，
BMSM
，
BMAN
．
由
AN
< br>平面
SMB
知，
ANSM
，
ANSB
，
ANNH
．
由
SB

平面
ANH
知，
SBAH
，
SBHN
．
综上，图中共有11对互相垂直的直线． 说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线

面” 可得到“线

面内线”，当“线

面内线”且相交时，可得到直角三角形；当 “线

面内线”且不相交时，
可得到异面且垂直的一对直线．
典型例题十一


例11 如图所示，
BAC90
． 在平面

内，
PA
是

的斜线，
PABPA C60
．求
PA
与平面

所成的角．

分析 ：求
PA
与平面

所成角，关键是确定
PA
在平面

上射影
AO
的位置．由
PABPAC
，可考虑通过构造直角 三角形，通过全等三角形来确定
AO
位置，构造直角
三角形则需用三垂线定理． 解：如图所示，过
P
作
PO

于
O
．连结< br>AO
，
则
AO
为
AP
在面

上的 射影，
PAO
为
PA
与平面

所成的角．
作
OMAC
，由三重线定理可得
PMAC
．
作
ONAB
，同理可得
PNAB
．
由
PA BPAC
，
PMAPNA90
，
PAPA
，
可得
PMA
≌
PNA
，∴
PMPN
． ∵
OM
、
ON
分别为
PM
、
PN
在< br>
内射影，∴
OMON
．
所以点
O
在
BAC
的平分线上．
设
PAa< br>，又
PAM60
，∴
AM
1
a
，
 OAM45
，
2

∴
AO2AM
2
a
．
2
AO2

，
PA2
在
POA
中，< br>cosPAO
∴
PAO45
，即
PA
与

所成角为
45
．
说明：
(1)本题在得出
PA
在面

上的射影为
BAC
的平分线后，可由公式
cos

cos

cos

来计算
PA
与平面

所成的角，此时
PAC

60
，
PAO< br>
，
CAO

45
．
(2)由
P A
与平面

上射影为
BAC
平分线还可推出下面结论：四面体PABC
中，若
PABPAC
，
PBAPBC
， 则点
A
在面
ABC
上的射影为
ABC
的内心．
典型例题十二


例12 如图所示，在平面

内有
ABC
，在平面

外有点
S
，斜线
SAAC
，
SBBC
，
且斜线
SA
、
SB
分别与平面
所成的角相等，设点
S
与平面

的距离为
4cm，
ACBC
，
且
AB6cm
．求点
S
与直 线
AB
的距离．

分析：由点
S
向平面

引垂线，考查垂足
D
的位置，连
DB
、
DA
，推得
DAAC
，
DBBC
，又
ACB90
，故
A< br>、
B
、
C
、
D
为矩形的四个顶点．
解：作
SD

平面

，垂足为
D
，连
DA
、
DB
．
∵
SAAC
，
DBBC
，
∴由三垂线定理的逆定理，有：
DAAC
，
DBBC
，
又
ACBC
，∴
ACBD
为矩形．
又∵
SA SB
，∴
DADB
，∴
ACBD
为正方形，
∴
AB
、
CD
互相垂直平分．
设
O
为< br>AB
、
CD
的交点，连结
SO
，
根据三垂线定理， 有
SOAB
，则
SO
为
S
到
AB
的距离 ．
在
RtSOD
中，
SD4cm
，
DO
∴
SO5cm
．
因此，点
S
到
AB
的距离为
5cm
．
1
AB3cm
，
2

说明：由本例可得到点到直线距离的作法：
(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．
( 2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足
引直线的垂线得 斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．
(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作 出符合要求的辅助线，然后证明所作
距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．
典型例题十三


例13 如图，过
A
且垂直于
S C
的平面交
SB
、
ABCD
是正方形，
SA
垂直于 平面
ABCD
，
SC
、
SD
分别于点
E
、
F
、
G
，求证：
AESB
，
AGSD
．

分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证
AESB
，可证
A E
平面
SBC
，
为此须证
AEBC
、
AES C
，进而转化证明
BC
平面
SAB
、
SC
平面
AEFG
．
证明：∵
SA

平面
ABCD
，
BC
平面
ABCD
，
∴
SABC
．
又∵
ABCD
为正方形，
∴
BCAB
．
∴
BC
平面
ASB
．
∵
AE
平面
ASB
，
∴
BCAE
．
又∵
SC
平面
AEFG
，
∴
SCAE
．
∴
AE
平面
SBC
．
又∵
SB
平面
SBC
，
∴
AESB
，同理可证
AGSD
．
说明：(1)证明 线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，
三垂线定理与它的逆定理，以及 与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过
程中反复交替使用“线线垂直”与“线面 垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越
性．
典型例题十四


例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平
面内的 射影在这个角的平分线上．
已知：
BAC
在平面

内，点
P

，
PEAB
，
PFAC
，
PO
，垂足分别是
E
、
F
、
O
，
PE PF
．求证：
BAOCAO
．

证明：∵
PO

，
∴
OE
为
PE
在

内的射影．
∵
ABPE
，
AB平面

，
∴
ABOE
．
同理可证：
ACOF
．
又∵
PO

，
PEPF
，
OEOF
，
∴
BAOCAO
．
说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的 有下面命题：从一个角的顶点引这个
角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线 在平面内的射影，是这
个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知< br>
ACB90
，
S
为平面
ACB
外一点，SCASCB60
，求
SC
与平面
ACB
所成角．< br>典型例题十五


例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．
(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）
(4)过点
A
垂 直于直线
a
的所有直线都在过点
A
垂直于

的平面内．（ ）
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平
面．（ ）
解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异
面，因此应打“×”号
(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为 平行，则该命题应打“×”
号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因 此，不说明面内
无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．
(3)垂直于三角形两边的 直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该
直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题 应打“√”．
(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且 只
有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点
A
垂直于直线
a的平面惟一，因此，
过点
A
且与直线
a
垂直的直线都在过点A
且与直线
a
垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．
(5)三条共点 直线两两垂直，设为
a
，
b
，
c
且
a
，< br>b
，
c
共点于
O
，
∵
ab
，< br>ac
，
bc0
，且
b
，
c
确定一平面 ，设为

，则
a

，
同理可知
b
垂直 于由
a
，
c
确定的平面，
c
垂直于由了确定的平面，
∴该命题应打“√”号．
说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的 问题．解答此类问
题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

典型例题十六


例16 如图，已知空间四边形
ABCD
的边
BCAC
，
ADBD
，引
BE CD
，
E
为
垂足，作
AHBE
于
H
，求 证：
AH平面BCD
．

分析：若证
AH平面BCD
，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证
AH
垂直平面
BCD
中两条相交直 线即可．
证明：取
AB
中点
F
，连
CF
、
DF
，
∵
ACBC
，∴
CFAB
．
又∵
ADBD
，∴
DFAB
，∴
AB平面CDF
，
又
CD平面CDF
，∴
CDAB

又
CDB E
，∴
CD平面ABE
，
CDAH
，
又
AHBE
，∴
AH平面BCD
．
典型例题十七


例17 如果平面

与

外一条直线
a
都垂直
b
，那么
a

．
已知：直线
a

，
a直线b
，
b

．求证：
a

．
分析：若证线面平行，只须设法在平面

内找到一条直线
a
，使得
aa
，由线面平行
判定定理得证．
证明：(1)如图，若
a
与
b
相交，则由
a
、
b
确定平面

，设



a
．
'
''

'


aa
∵b 




''
ba又a

 
a

．
'
a



a

a,b,a
'





(2 )如图，若
a
与
b
不相交，
ba
''
则在a
上任取一点
A
，过
A
作
bb
，
a< br>、
b
确定平面

，设



a< br>．
'

'

∵b
'
b

b



''
'

ba
aa




'
b


又a





'
又a


a

．
''
∵bb

ba

a






ba

又b
'
,a
'
,a


典型例题十八


例18 如图，已知在
ABC
中，
BAC60
，线段
AD平面ABC
，
AH平面DBC
，
H
为垂足．
求证：
H
不可能是
DBC
的垂心．

分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．
证明：如图所示，假设
H
是
DBC
的垂心，则
BHDC
．
∵
AH平面DBC
，∴
DCAH
，

∴
DC平面ABH
，∴
ABDC
．
又∵
DA平面ABC
，∴
ABDA
，
∴
AB平面DAC
，
∴
ABAC
，这与已知
BAC60
矛盾，
∴假设不成立，故
H
不可能是
DBC
的垂心．
说明：本题只要满足
BAC90
，此题的结论总成立．不妨给予证明．
典型例题十九


例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A．仅②不正确 B．仅①、④正确
C．仅①正确 D．四个命题都正确 < br>分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线
a

平面

，
b

，
c

， 且
bcA
，则
ab
，
ac
，即平面
内两条直交直线
b
，
c
都垂直于同一条直线
a
，但b
，
c
的位置关系并不是平行．另外，
b
，
c
的位置关系也可以是
异面，如果把直线
b
平移到平面

外，此时与< br>a
的位置关系仍是垂直，但此时，
b
，
c
的位置
关系 是异面．

③如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，易知
A
1
B
1
平 面ABCD
，
A
1
D
1
平面ABCD
，
但
A
1
B
1
A
1
D
1
A
1
，因此该命题是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．
综上可知①、④正确．
∴应选B．
典型例题二十

例20 设
a
，
b
为异面直线，
AB
为它们的公垂线
(1 )若
a
，
b
都平行于平面

，则
AB

；
(2)若
a
，
b
分别垂直于平面

、

，且



c
，则
ABc
．
分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明
AB

；证明线与线的平行，由 于此时垂直
的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明
ABc
．

图１ 图２

证明：(1)如图1，在

内 任取一点
P
，设直线
a
与点
P
确定的平面与平面

的交线为
a
，
设直线
b
与点
P
确定的平 面与平面

的交线为
b

∵
a

，
b

，∴
aa
，
bb

又∵
ABa< br>，
ABb
，∴
ABa
，
ABb
，
∴
AB

．
(2)如图2，过
B
作
B B

，则
BBa
，
则
ABBB

又 ∵
ABb
，∴
AB
垂直于由
b
和
BB
确 定的平面．
∵
b

，∴
bc
，
BB

，∴
BBc
．
∴
c
也垂直于由
BB
和
b
确定的平面．
故
cAB
．
说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明 线与线的平行，其关键是构
造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线
BB
，构造出平面，即由相
交直线
b
与
BB
确定的平面．然后借 助于题目中的其他垂直关系证得．
'
'
'
''
''
''< br>''
'
'
'
'
典型例题二十一


例21 如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
EF
为异面直线
A
1
D
与
AC
的公垂线，求
证：
EFBD
1
．

分析：证明
EFBD
1
，构造与
EF、
BD
1
都垂直的平面是关键．由于
EF
是
AC
和
A
1
D
的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．
证明： 连结
A
1
C
1
，由于
ACA
1
C
1
，
EFAC
，
∴
EFA
1
C
1
．
又
EFA
1
D
，
A
1
DA
1
C
1
A
1
，
∴
EF平面A
1
C
1
D
． ①
∵
BB
1
平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
1
C
1
平面A
1
B1
C
1
D
1
，
∴
BB
1
A
1
C
1
．
∵四边 形
A
1
B
1
C
1
D
1
为正方形，
∴
A
1
C
1
B
1
D
1
，
B
1
D
1
BB
1
B
1
，
∴
A
1
C
1
平面BB
1
D
1< br>D
，
而
BD
1
平面BB
1
D
1
D
，∴
A
1
C
1
BD
1
． < br>同理
DC
1
BD
1
，
DC
1
A
1
C
1
C
1
，
∴
BD
1
平面A
1
C
1
D
． ②
由①、②可知：
EFBD
1
．
典型例题二十二


例22 如图，已知
P
为
ABC
外一点，
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，
PAPBPCa
，
求
P
点到平面
ABC
的距离．

分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．
解：过
P
作
PO平面ABC
于
O
点，连
AO
、
BO
、
CO
，
∴
POAO
，
POBO
，
POCO

∵
PAPBPCa
，
∴
PAO
≌
PBO
≌
PCO
，
∴
OAOBOC
，
∴
O
为
ABC
的外心．
∵
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，
∴
ABBCCA2a
，
ABC
为正三角形，
∴< br>AO
363
ABa
，∴
POPA
2
AO2
a
．
333
3
a
．
3
因此点
P
到平面
ABC
的距离
说明：(1)求点到平面距离的基本程序是： 首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离
在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系 求出距离．
(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦
定理、余弦定理及有关三角函数知识．
(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考 命题中出现较多，应充分注意，除了
上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希 望同学们在学习过程不
断总结．

典型例题二十三


例23 如图，已知在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，棱
AA
1
5
，
AB12
，求直线
B
1
C
1
和平面
A
1
B CD
1
的距离．

分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点 面距，距离然后根据求点面距

的有关方法求解．
解：如图，∵
B1
C
1
BC
，且
B
1
C
1
 平面A
1
BCD
1
，
BC平面A
1
BCD
1
，
∴
B
1
C
1
平面A
1
B CD
1
．
从而点
B
1
到平面
A
1
BCD
1
的距离即为所求．
过点
B
1
作
B1
EA
1
B
于
E
，
∵
BC平面 A
1
ABB
1
，且
B
1
E平面AA
1< br>B
1
B
，
∴
BCB
1
E
．
又
BC

A
1
BB
，
∴
B
1
E平面A
1
BCD
1
．
即线段
B
1
E
的长即为所求，
在
RtA
1
B
1
B
中，
B
1
E
A
1< br>B
1
BB
1
51260

，
22< br>A
1
B13
512
∴直线
B
1
C
1
到平面
A
1
BCD
1
的距离为
60
．
13
说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角
形求解， 这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为
已知，从而求解．
典型例题二十四


例24
AD
、
BC
分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为
30
，
AD8 cm
，
ABBC
，
DCBC
．求线段
BC
的长 ．
分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线
AD
、
BC所成的角、垂直关系
转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出
BC之长．

解：如图，在平面

内，过
A
作
A EBC
，过
C
作
CEAB
，两线交于
E
．
∵
AEBC
，
∴
DAE
就是
AD
、
BC
所成的角，
DAE30
．

∵
ABBC
，
∴四边形
ABCE
是矩形．连
DE
，
∵
BCCD
，
BCCE
，且
CDCEC
，
∴
BC平面CDE
．
∵
AEBC
，∴
AE平 面CDE
．∵
DE平面CDE
，∴
AEDE
．
在RtAED
中，得
AE43
，∴
BCAE43(cm)
．
说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化
到平 面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．

典型例题一

32
例1 解不等式：（1）2xx15x0
；（2）
(x4)(x5)(2x)0
．
23
分析：如果多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积，则一元 高次不等式
f(x)0
（或
f(x)0
）可用
“穿根法”求解， 但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
x(2x5)(x3)0

把方程
x(2x5)(x3)0的三个根
x
1
0,x
2
,x
3
3顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺
次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
5
2

∴原不等式解集为

x
（2）原不等式等价于


5

x0或x3


2

(x4)(x5)
2
(x2)
3
0


x5

x50




(x 4)(x2)0


x4或x2
∴原不等式解集为
xx 5或5x4或x2

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
x
的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转
化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．


典型例题二

例2 解下列分式不等式：
x
2
4x1
32
1
（1）； （2）
2
1
3x7x2
x2x2
分析：当分式不等式化为
f(x )
0(或0)
时，要注意它的等价变形
g(x)
①
f(x)
0f(x)g(x)0

g( x)

②

f(x)g(x)0
f(x)f(x)
0

或0f(x)0或f(x)g(x)0

g(x)g(x)

g(x)0

（1）解：原不等式等价于 < br>3x3x
0
x2x2x2x2
3(x2)x(x2) x
2
5x6
00
(x2)(x2)(x2)(x2)< br>

(x6)(x1)(x2)(x2)0
(x6)(x1)< br>0

(x2)(x2)

(x2)(x2)0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(,2)

1,2


6,

。
2x
2
3x1
0
（2）解法一：原不等式等价于
2
3x7x2
(2x
2
3x1)(3x
2
7x 2)0
22


2x3x10


2x 3x10


2
或

2



3x7x20


3x7x20
11
x 或x1或x2
32
11
∴原不等式解集为
(,)(,1)( 2,)
。
32

解法二：原不等式等价于
(2x1)(x1)
0

(3x1)(x2)
(2x1)(x1)(3x1)(x2)0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(,)(,1)(2,)

1
3
1
2
典型例题三


例3 解不等式
x4x2

2

分析：解此题的关键是去绝对值 符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义

a(a0)

a


a(a0)
二是根据绝对值的性质：
xaax a,x.axa
或
xa
，因此本题有如下两种解法．
22


x40

x40
解法一：原不等式


或

22


x4x2


4xx2
即


x2或x2
2x2

或


2xx

x 2或x1
∴
2x3
或
1x2

故原不等式的解集为
x1x3
．
解法二：原不等式等价于
(x2)x4x2

2


2x3
x4x2
即

∴

故1x3
．
2
x1或x2



x4(x2)
2


典型例题四


x
2
6x5
0
． 例4 解不等式
2
12 4xx
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x
二次式的商，由商的符号法 则，它等价于下列两个
不等式组：
22


x6x50< br>
x6x50
或



22

124xx0

124xx0
所以，原不等式的解集是上 面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
22

,
< br>x6x50　

x6x50,
或



22


124xx0

124xx0
(x1)(x5)0,

(x1)(x5)0,


或


(x2)(x6)0;(x2)(x6)0;


x1,或x5,

1x5,
或




；

2x6

x2,或x61x5,
或
x2
或
x6
．

∴原不等式解集是
{xx2，或1x5，或x6}
．
解法二：原不等式化为
(x1)(x5)
0
．
(x2)(x6)
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(x1)(x5)
符号
(x2)(x6)

∴原不等式解集是
{xx2，或1x5，或x6}
．
说明：解法 一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，
否则会产生误解 ．
解法二中，“定符号”是关键．当每个因式
x
的系数为正值时，最右边区间一定是 正值，其他各区间正负相
间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用 ．
典型例题五


x
2
2x2
x
． 例5 解不等式
32xx2
分析：不等式左右两边都是含有
x
的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边 为0再解．
(x2)(x
2
x1)
0
． 解：移项整理， 将原不等式化为
(x3)(x1)
由
x
2
x10
恒成立，知原不等式等价于
(x2)
0
．
(x3)(x1)
解之，得原不等式的解集为
{x1x2或x3}
．
说明：此题易出现去分 母得
x
2
2x2x(32xx
2
)
的错误解法． 避免误解的方法是移项使一边为
０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否 有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程
科学合理．
典型例题六


例6 设
mR
，解关于
x
的不等式
m
2
x
2
2mx30
．
分析：进行分类讨论求解．