浙江万里-幼儿园国旗下讲话稿

2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～ 8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是
符合题目要求的，请将所 选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
（1）当
x0
时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）
(A)


x
0
(e
t
1)dt
（B）

ln(1t
3
)dt
（C）

0
2
xsinx
0
sint
2
dt
（D）

1cosx
0
sin
3
tdt

（2）设函数
f(x)
在区间
(1,1)
上有定义，且
limf (x)0,
则（ ）
x0
（A）当
lim
f(x)x
f(x)
x
2
x0
0
时，
f(x)在
x0
处可导
（B）当
lim
x0
0
时，
f(x)
在
x0
处可导
（C）
f(x)
在
x0
处可导时，
lim
f(x)
x
f(x)
x< br>2
x0
0
；
（D）
f(x)
在
x0
处可导时，
lim
x0
0

（3）
f(x,y )
在
(0,0)
处可微，
f(0,0)0
，
nf
x

,f
y

,1

(0,0)
， 非零向量

n
，则（ ）
（A）
(x,y)(0,0)
lim
n

x,y,f(x,y)

xy
22
22
存在 (B）
(x,y)(0,0)
lim
n
x,y,f(x,y)

xy
2
22
存在
(B)
(x,y)(0,0)
lim



x ,y,f(x,y)

xy
存在 （D）
(x,y)(0, 0)
lim



x,y,f(x,y)

xy
2
存在
（4）
R
为幂级数

ax
nn1

n
收敛半径，
r
为实数，则（ ）
(A)

a
n1

2n
x
发散，则< br>rR
（B）

a
2n
x
2n
收敛，则
rR

2n
n1

(B)
rR
,

an1

2n
x
发散 (D)
rR
，

a
2n
x
2n
收敛
2n
n1

（5）矩阵A由初等列变换为矩阵B，则（ ）
(A) 存在矩阵
P
，使
PAB
（B）存在矩阵
P
，使
BPA

（B） 存在矩阵
P
，使
PBA
（D）方程组
AX0
与
BX0
同解
（6）已知
l1
:
xa
3
yb
3
zc
3
x a
2
yb
2
zc
2

，
l2
:
相交于一点，令
a
1
b
1
c
1< br>a
2
b
2
c
2

a
i
< br>

i


b
i

,i1,2 ,3
，则（ ）

c


i

(A)

1
可以由

2
，

3
线性表示 （B）

2
可以由

1
，

3
线 性表示
(C)

3
可以由

1
，
2
线性表示 （D）

1
，

2
，
3
线性无关
（7）
P(A)P(B)P(C)
个的概率为（ ）
（A） < br>11
,P(AB)0,P(AC)P(BC),
则
A,B,C
恰 好发生一
412
3215
（B） （C） （D）
43212
1
，
2
（8）设
X
1,X
2
X
100
为来自总体
X
的简单随机样本，其中
P

X0

P

X1



100


(x)
表示标准正态分布函数，则由中心极 限定理可知，
P


X
i
55

的近似 值为（ ）

i1

（A）
1-(1)
（B）
(1)
（C）
1(0.2)
（D）
（0.2

）
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分． 请将答案写作答题纸指定的位置上.

(9)
lim


____________.


x 0

e
x
1ln(1x)


d
2
y

x1t
2
(10)设

，则
2
2
dx


yln(t1t)
t1
11

___________.

(11)设函数
f(x)
满足
f(x)af

(x)f(x)0(a0),
且
f(0)m,f

(0)n
，则


0
f (x)dx___________
.
（12）设函数
f(x,y)

xy
0

2
f
edt
，则
xy
xt
2
(1,1)__________.

a
（13）行列式
0
a
1
1
1
1
a
0
1
1
0
a
________.

0
1
1

(14)已知随机变量
X
服从区间
（

,)
的均匀分布,
YsinX
，则
22
Cov(X,Y)_______.

三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
求函数
f(x,y)x8yxy
的极值.
（16）（本题满分10分）
计算
I
33
4xyxy
22
dx

L
4x
2
y
2
4x2
y
2
dy
，其中
L
为
xy2
，方向为逆时针方向.
(17)（本题满分10分）

1
n
设数 列

a
n

满足
a
1
1,(n1)a
n1
(n)a
n
.
证明：当
x1
时，幂级 数

a
n
x
收敛并求
2
n1
其和函数.
(18)(本题满分10分）
设

为曲面
zx
2
y
2
(1x
2
y
2
4)
下侧，
f(x)
为连续函数.计算
I


xf(xy)2 xy

dydz[yf(xy)2yx]dxdz[zf(xy)z]dxdy< br>.

(19)(本题满分10分）
2

上具有连续的导数 ，
f(0)f(2)0,Mmaxf(x)
.证明 设函数
f(x)
在

0，
x

0,2


(1) 存在

(0,2)
使得
f

(

)M
(2) 若对任意
x(0,2),f

(x)M,
则
M0
.
（20)（本题满分11分）
二次型
f(x
1
,x
2)x
1
4x
1
x
2
4x
2
经正 交变换

2
g(y
1
,y
2
)ay
1< br>2
4y
1
y
2
by
2
，
ab
.求：
22

x
1

y
1

Q

化为二次型

x
2

y2

（I）
a,b
的值；
（II）正交矩阵
Q

（21）(本题满分11分）

设
A
为2阶矩阵,
P(

,A

)
， 其中

是非零向量且不是
A
的特征向量.
(1) 证明
P
是可逆阵;
(2) 若
A

A

6

0
，求
P
1
AP
，并判断
A
是否可以相似对角化.
(22)(本题满分11分）
设随机变量
X
1
,X
2
,X
3
相互独立，其中
X
1
, X
2
服从标准正态分布，
X
3
的概率分布为
2
P

X
3
0

P

X
3
1


1
，
YX
1
X
3
 (1X
3
)X
2
，求
2
(1) 求二维随机变量

X
1
,Y

的分布函数，结果用标准正态分布
(x)
表示；
(2)证明随机变量
Y
服从标准正态分布.

（23）(本题满分11分）

t



1e





t0

F(t) 


其他

0
m
设某种元件的使用寿命
T
的分布函数为

（1）求概率
P{T t}
与
P{T s t T s}
，其中
s 0,t 0
；

（2）任取
n
个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分 别为
t
1
,t
2
,t
n
，若
m
已知，求

的
最大似然估计值

.

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