归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。
解此类问题的重点 就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。
例1. 在某校数学乐园中，五年级 学生共有400人，年龄最大的与年龄最
小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定 在这400
个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
解：因为年龄最 大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出
生的日期总数不会超过366天，把400名学 生看作400个苹果，366天
看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一 个
抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，
一定能找到 一个抽屉，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）
个苹果”。即：一定能找到2个 学生，他们是同年同月同日出生的。
例2：有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让 你闭上眼
睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为
什么？（2） 至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？
解：把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则：
（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；（2）
从最特殊的情 况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽
屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉 ”里再拿1根筷子，就有4根筷
子是同色的，所以一次至少应拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保 证有
4根筷子同色。
归纳小结：解抽屉问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“抽屉 ”，再结
合两个原理进行相应分析。可以看出来，并不是每一个类似问题的“抽屉”
9

都很明显，有时候“抽屉”需要我们构造，这个“抽屉”可以是日期、扑克牌 、
考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这
个范围
八．“牛吃草”问题
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的< br>草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这
片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草
的数量，再求 出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1．（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的
较多的天数－吃的较少的天数） =草地每天新长草的量。
2．牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
下面来看几道典型试题：
例1．
由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天 一均匀的速度减少。经计算，
牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛
吃几天？（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C。
解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天减少（20×5－16
10

×6）÷（6－5）=4份草，原来牧场上有20×5+5×4=120份草，故可供1 1
头牛吃120÷（11+4）=8天。
例2．
有一片牧场，24头牛6 天可以将草吃完；21头牛8天可以吃完，要
使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C。
解析：设每头牛每天吃1份 草，则牧场上的草每天生长出（21×8－
24×6）÷（8－6）=12份，如果放牧12头牛正好可 吃完每天长出的草，
故至多可以放牧12头牛。
例3．
有一个水池，池底 有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将
水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠 出水口出水，那么
多长时间将水漏完？（）
A.25 B.30 C.40 D.45
【答案】D。
解析：出水口每小时漏水为（8×15－5×20）÷（20－15） =4份水，
原来有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小时漏完。
练习：
1．一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，
如果每头牛 每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只
羊一起吃这一片草，几天可以吃完？（ ）
11

A.10 B.8 C.6 D.4
2． 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20秒内男孩走27级，女孩
走了24级，按此速度男孩2分钟到达 另一端，而女孩需要3分钟才能到
达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见？（）
A.54 B.48 C.42 D.36
3．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽， 17头牛吃同样牧
场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，
2 4天吃尽？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
九．利润问题
利润 就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售
商品，我们把它称为“打折”，几折就 是百分之几十。如果某种商品打“八折”
出售，就是按原价的80%出售；如果某商品打“八五”折出售 ，就是按原价
的85%出售。利润问题中，还有一种利息和利率的问题，属于百分数应
用题。本 金是存入银行的钱。利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，
按百分之几或千分之几付给储户的。 利息是存款到期后，除本金外，按
利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。

这一问题常用的公式有：

定价=成本+利润
利润=成本×利润率
12

定价=成本×（1+利润率)
利润率=利润÷成本
利润的百分数=(售价-成本)÷成本×100%
售价=定价×折扣的百分数
利息=本金×利率×期数
本息和=本金×（1+利率×期数)

例1 某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元
钱。这件商品的成本是多少元？
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】B。解析：现在的价格为(1+20 %)×80%=96%，故成本为4÷
（1-96%)=100元。

例2 某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的
八五折出售8个，按定价每个减价35元 出售12个，所能获得的利润一样。
这种商品每个定价多少元？( )
A.100 B.120 C.180 D.200
【答案】D。解析：每个减价35元出售可获得利润(4 5-35)×12=120
元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获 得
45-15=30元，故每个定价为30÷（1-85%)=200元。

例3 一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利
13

润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？( )
A.1000 B.1024 C.1056 D.1200
【答案】C。解析： 设乙店进货价为x元，可列方程20%x-20%×
（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲 店定价为1000×（1-12%)×
（1+20%)=1056元。

练习：
1.书店卖书，凡购同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学
校到 书店购买甲、乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的 ，只有甲种书
得到了优惠，这时，买甲种书所付 总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，已
知乙种书每本定价是1.5元，优惠前甲种书每本定价多少元？
A.4 B.3 C.2 D.1

2.某书店对顾客实行一项优惠措施 ：每次买书200元至499.99元者
优惠5%，每次买书500元以上者(含500元)优惠10% 。某顾客到书店买
了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果
三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款
的 ，这位顾客第二次买了多少钱的书？
A.115 B.120 C.125 D.130

3.商店新进一批洗衣机，按30%的利润定价，售出60%以后，打八折
出售 ，这批洗衣机实际利润的百分数是多少？
14

A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20
十．平均数问题
这里的平均数是 指算术平均数，就是n个数的和被个数n除所得的商，这
里的n大于或等于2。通常把与两个或两个以上 数的算术平均数有关的应
用题，叫做平均数问题。 平均数应用题的基本数量关系是：
总数量和÷总份数=平均数
平均数×总份数=总数量和
总数量和÷平均数=总份数
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份
数。
例1： 在 前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。
为使4场游戏得分的平均数为145 ，第四场他应得多少分？( )
【答案】C。解析：4场游戏得分平均数为145，则总分为1 45×4=580，
故第四场应的580-130-143-144=163分。
例2： 李明家在山上，爷爷家在山下，李明从家出发一每分钟90米
的速度走了10分钟到了爷爷家。 回来时走了15分钟到家，则李 是多少？
( )
A.72米分 B.80米分 C.84米分 D90米分
【答案】A。解析：李明往返的总路程是90×10×2=1800(米)，总时间
为10+15=25 均速度为1800÷25=72米分。
例3： 某校有有100个学生参加数学竞赛，平均得6 3分，其中男生
平均60分，女生平均70分，则男生比女生多多少人？( )
15

A.30 B.32 C.40 D.45
【答案】C 。解析：总得分为63×100=6300，假设女生也是平均60
分，那么100个学生共的6000 分，这样就比实得的总分少300分。这是
女生平均每人比男生高10分，所以这少的300分是由于每 个女生少算了
10分造成的，可见女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生
比女生多70-30=40人。
练习：
1. 5个数的平均数是102。 如果把这5个数从小到大排列，那么前3
个数的平均数是70，后3个数的和是390。中间的那个数是 多少？( )
A.80 B.88 C.90 D.96
2. 甲、乙、丙3人平均体重47千克，甲与乙的平均体重比丙的体重
少6千克，甲比丙少3
千克，则乙的体重为( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42
3. 一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8
人，这样每人应付的车
费是35元，则租车费是多少元？( ) A.320 B.2240 C.2500
D.320
十一.方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列 。如果行数与列数都
相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘
方 问题）。
核心公式：
16

1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学
生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002
年A类真题）
解析：正确答案为A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系 可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以
求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可 以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有
学生人数：16×16=256（人）。
例2 参加中学生运动会团体操比赛的 运动员排成了一个正方形队列。如果
要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体 操表
演的运动员有多少人？
分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看 出正方形
的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去
9人，因而我 们可以得到如下公式：
去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）
17

÷2＝17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）
练习：
1. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后
来又改围成一个正 方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每
条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值 是( )：

A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005
年中央真题）

2. 某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余 100人；第二次比第
一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少？
答案：1.C 2. 500人
十二.年龄问题
主要特点是：时间发生变化，年龄 在增长，但是年龄差始终不变。年龄问
题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一 定要抓住年龄差
不变这个解题关键。
解答年龄问题的一般方法：
几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差
例1：
甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁
18

数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：
A．45岁，26岁 B．46岁，25岁 C．47岁，24岁 D．48岁，23岁
【答案】B。
解析： 甲、乙二人的年龄差为（67－4）÷3=21岁，故今年甲为67－21=46
岁，乙的年龄为45－ 21=25岁。
例2：
爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥 的3倍时，
妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年
龄是多少岁 ？
A．34 B．39 C．40 D．42
【答案】C。
解析：解法一 ：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，
列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在 年龄分别为：x、y和z。那么可
得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y- (z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]。
可求得x=40。
例3：
1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的
3倍。问甲、乙 二人2000年的年龄分别是多少岁?
A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁
【答案】C。
解析：抓住年龄问题的关键即 年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4
倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年 龄是乙的年龄的3
19

倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4）
1998年乙的年龄=4岁
则2000年乙的年龄为10岁。
练习：
1. 爸爸在过50岁生日时，弟弟 说：“等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥
哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”，那么哥哥今年多少岁？
A.18 B.20 C.25 D.28
2. 甲、乙两人的年龄和正好是80岁，甲对 乙说：“我像你现在这么大时，
你的年龄正好是我的年龄的一半。”甲今年多少岁？（ ）
A.32 B.40 C.48 D.45
3. 父亲与儿子的年龄和是66岁，父亲的年 龄比儿子年龄的3倍少10岁，
那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍？（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
十三. 比例问题
解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”；第二，“增加或下降
多少”。
例1 b比a增加了20%，则b是a的多少？ a又是b的多少呢？
解析：可根据方程的思想列式得 a×（1＋20%）＝b，所以b是a的
1.2倍。
Ab＝11.2＝56，所以a 是b的56。
20

例2 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼
塘，数日后再捕上100尾，发现有标 记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少
尾鱼?
A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004
年中央B类真题）
解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，1005＝X200，解
得X=4000，选择B。
例3 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，
而每台的价格比 上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售
额为3000万元，那么2000年的计算 机销售额大约是多少?
A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元（2003
年中央A类真题）
解析：方程法：可设2000年时，销售 的计算机台数为X，每台的价
格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20% ）Y
（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。
特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商
品价格原价的多少？或者下降X再上 涨X，求此时的商品价格原价的多
少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但
如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。
对于此题而言， 计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年
度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每 台销售价格，所以根据乘法的
交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001 年是
21

2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年 的销售额为3000万，则2000
年销售额为3000÷0.96≈3100。
例4 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色
的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共 有100件，其中大号白色衬衫有10
件，问小号蓝色衬衫有多少件?
A．15 B．25 C．35 D．40 （2003
年中央A类真题）
解析：这是一道涉及容斥关系（本书后面会有专题讲解）的比例问题。
根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件；
大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件；
此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升
解题能力）
大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件；
小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件；
所以，答案为C。
例5 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可
提成10%；低于或等于20万元 时，高于10万元的部分按7.5%提成；高
于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为 40万元时，应发
放奖金多少万元?
A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003
年中央A类真题）
解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。
22

奖金应为 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75
所以，答案为B。
例6 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元
和广告费200 万元两个部分。若年利润必须按P％纳税，年广告费超出年
销售收入2％的部分也必须按P%纳税，其它 不纳税，且已知该企业去年
共纳税120万元，则税率P％为
A．40％ B．25％ C．12％ D．10％ （2004
年江苏真题）
解析：选用方程法。根据题意列式如下：
（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120
即 480×P％=120
P％=25%
所以，答案为B。
例 7 甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速
度快30%，问乙每小时加工多少个 零件?
A．30个 B．35个 C．40个 D．45个 （2002
年A类真题）
解析：选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X
个零件，并可列方程如下：
（1+1.3X）×8=736
X=40
所以，选择C。
23

例 8 已知甲的12%为1 3，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的
15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是 ：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001
年中央真题）
解析：显然甲=1312%；乙=1413%；丙=1514% ；丁=1615%，显
然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲乙
=13 12%1615%＞1，
所以，甲＞乙＞丙＞丁，选择A。
例 10 某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为
2.00%，存款到期日即2000年1月1 日将存款全部取出， 国家规定凡1999
年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20％，则该储户实
际提取本金合计为
A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元
解析，如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年< br>1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元月，但实际上从1999
年11月 1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税
额=200×20%=40元
所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。
十四. 最小公倍数和最小公约数问题
1．关键提示：
最小公倍数与最大公约数的题一般不难， 但一定要细致
审题，千万不要粗心。另外这类题往往和日期（星期几）问
24

题联系在一起，要学会求余。

2．核心定义：
（1）最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整
除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然 数公有的
约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公
约数，称为这几个自然数的 最大公约数。
（2）最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整
除，则称a为b的倍 数，b为a的约数。几个自然数公有的
倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。

例题1：甲每5天进城一次，乙每9天进 城一次，丙每
12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：
A．60天 B．180天 C．540天 D．1620
天 （2003年浙江真题）
解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公
倍数， 可用代入法，也可直接求。显然5，9，12的最小公
倍数为5×3×3×4＝180。
所以，答案为B。
例题2：三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每
隔11天 去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，
25

下次相会是星期几？
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
解析：此题乍看上去是求9，11，7的最小公倍数的问题，但这里
有一个关 键词，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此题实际上是
求10，12，8的最小公倍数 。10，12，8的最小公倍数为5×2×2×3×
2＝120。120÷7＝17余1，
所以，下一次相会则是在星期三，选择C。
例题3：赛马场的跑马道600米长，现有甲、乙、丙 三匹马，甲1
分钟跑2圈，乙1分钟跑3圈，丙1分钟跑4圈。如果这三匹马并排
在起跑线上， 同时往一个方向跑，请问经过几分钟，这三匹马自出发
后第一次并排在起跑线上？( )
A．1／2 B．1 C．6 D．12
解析：此题是一道有迷 惑性的题，“1分钟跑2圈”和“2分钟跑1圈”
是不同概念，不要等同于去求最小公倍数的题。显然1 分钟之后，无
论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑线上。
所以，答案为B。
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