西亚斯国际学院-呼啸山庄读书笔记

压轴题精选

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点
A
（0 ，6）、点
B
（8，0），动点
P
从点
A
开始在线段
AO
上以每秒1个单位长度的速度向点
O
移动，同时动点
Q
从点< br>B
开始在线段
BA
上以每秒2个单位长度的速度向点
A
移动， 设点
y

P
、
Q
移动的
时间为
t
秒．
⑴求直线
AB
的解析式；
⑵当
t
为何值时，△
APQ
与△
AOB
相似
A



P


Q




O

B











2、“三等分角”是数学 史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下
面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等 分锐角”的方法（如图）：将给定
1
的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在
x< br>轴上、边OA与函数
y
的图象交
x
于点P，以P为圆心、以2OP为 半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作
x
轴
1
和
y
轴的 平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要
3
11明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设
P(a,)
、
R(b,)
，求直线OM对应
ab
的函数表达式（用含
a,b
的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作
y
轴和
x
轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明 Q点在
1
直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．
3
x

3、（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶 点E坐标为(4，0)，
顶点G坐标为(0，2)．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在轴的 点N处，
得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说
明理由．










4、如图，在平面直角坐标系
xOy
中，一次函数
ykxb
的图 象经过点
B

0,2

，
且与
x

轴的正半轴相交于点
A
，点
P
、点
Q
在线段
AB
上，点
M
、
N
在线段
AO
上，且
VOPM
与
VQMN
是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，
OPMMQN 90
o
。试求：
（1）
AN
∶
AM
的值；
（2）一次函数
ykxb
的图象表达式。

5、（本题满分10分）当
x
=6时,反比例函数
y
=
k
和一次函数
y
=-
x
－7的值相等.

x
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若等腰梯形
ABCD
的顶 点
A、B
在这个一次函数的图象上,顶点
C、D
在这个反
比例函数的 图象上,且
BC∥AD∥y
轴,
A、B
两点的横坐标分别是
a
和
a
+2(
a
>0),求
a
的值.














6、 如图，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与 小路垂直相
通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好. 站在完好的桥头A测得路边的小树
D 在它的北偏西30°，前进32米到断口B处，又测得小树D在它的北偏西45°，
请计算小桥断裂部分 的长(结果用根号表示).(7分)

7、(本题6分)如图，点C、D在线段A B上,△PCD是等边三角形,若
CD
2
ACDB
.
求∠APB的度数．



A
C D
（第7题图）
B
P




8、如图，
ABM
为直角，点
C
为线段
BA
的中点， 点
D
是射线
BM
上的一个动
点（不与点
B
重合）， 连结
AD
，作
BEAD
，垂足为
E
，连结
CE< br>，过点
E
作
EFCE
，交
BD
于
F
．
（1）求证：
BFFD
；
（2）
A
在什么范围 内变化时，四边形
ACFE
是梯形，并说明理由；
1
（3）
A< br>在什么范围内变化时，线段
DE
上存在点
G
，满足条件
DG DA
，并
4
说明理由．
A



E


C



B

D

M

F













9、如图，四 边形
ABCD
中，
AD
＝
CD
，∠
DAB
＝∠
ACB
＝90°，过点
D
作
DE
⊥
AC
，
垂足为
F
，
DE
与
AB
相交于点
E< br>．

（1）求证：
AB
·
AF
＝
CB
·
CD
；
（2）已知
AB
＝15 cm，
BC
＝9 cm，
P
是射线
DE
上的动点．设
DP
＝
x
cm（
x0
），
四边形
BCDP
的面积为
y
cm
2
．
①求
y
关于
x
的函数关系式；
②当
x
为何值时，△
PBC
的周长最小，并求出此时
y的值．


D



P

·


C


F



B

A

E









10、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F 是AD延长线上一点，且DF
＝BE．
⑴ 求证：CE＝CF；
⑵ 在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗为什么
⑶ 运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC ＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝
12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求D E的长．

A G D F





E



B C


图1
A D






E





B C
图2

11、如图，已知直线
l
1
的解析式为
y3x6，直线
l
1
与x轴、y轴分别相交于A、
B两点，直线
l
2
经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从
点A向点C移动，点Q 在直线
l
2
从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动
的速度都为每秒1 个单位长度，设移动时间为t秒（
1t10
）。
（1）求直线
l
2
的解析式。
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形













1 2、已知：如图①，在
Rt△ACB
中，
C90
o
，
A C4cm
，
BC3cm
，点
P
由
速度为1cms；点< br>Q
由
A
出发沿
AC
方向向点
B
出发沿
BA
方向向点
A
匀速运动，
，解
C
匀速运动，速度为2c ms；连接
PQ
．若设运动的时间为
t(s)
（
0t2
）
答下列问题：
（1）当
t
为何值时，
PQ∥BC
（2）设
△AQP
的面积为
y
（
cm
2
），求
y
与
t
之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻
t< br>，使线段
PQ
恰好把
Rt△ACB
的周长和面积同时平分若
存 在，求出此时
t
的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接
PC，并把
△PQC
沿
QC
翻折，得到四边形
PQP
C
，那么是
否存在某一时刻
t
，使四边形
PQP
C
为菱形若存在，求出此时菱形的边长；若不
B

B

P

P

C

存在，说明理由．

















13、已知反比例函数
y
＝
（1）求
m
的值；
m8
(
m
为常数)的图象经过点
A
（－1，6）．
x

m8
（x<0）的图象交于点
B
，与
xx
（2）如图，过点
A
作直线
AC
与函数
y
＝
轴交于点
C
，且
AB
＝2
BC
，求点
C< br>的坐标．
（3）求△AOB的面积。（9分）
y
A





B
14、等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°， P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透
明三角板，使
C
30°角的顶点落在点x
P，三角板绕P点旋转．
O
（1）如图１，当三角板的两边分别交AB、AC 于点E、F时．说明：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图２情形时，三角板 的两边分别交BA的延长
线、边AC于点E、F．
① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗（只需写出结论）
② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似请说明理由；
(3) 将三角板绕点P旋转的过程中，三角板的两边所在的直线分别与直线AB、
AC于点E、F．
① △PEF是否能成为等腰三角形若能，求出△PEF为等腰三角形时∠BPE
的度数；若不 能，请说明理由．
② 设BC=8，EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．


Ｅ
Ａ
Ｆ
Ａ
Ｅ
Ｆ

15、在△ABC中，A B=BC，∠ABC=90°，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°连结EC，
取EC中点M ，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图１，证明：BM =DM
且BM⊥DM；
（2）若将图１中的△ADE绕点A逆时针旋转45°的角，如图２， 那么(1)中的结
论是否成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请举出反例；
（3）若将图１中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图３，那么(１)
B
E
M

中的结论是否仍成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请举出反例．









E





A
















16、如图，点O是边为2的正方形ABCD的中心，点E从A点开始沿AD边运动，
点F从D点开始沿AD边运动，并且AE=DE。
（1） 求正方形ABCD的对角线AC的长；
（2） 若点E、F同时运动，连结OE、OF，请你探究：
F
四边形DEOF的面积 S与正方形ABCD的面积关系，
B
并求出四边形DEOF的面积S；
C'
（3） 在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，
E
A
图２
B
D
C
E
M
B
M
D
C
图３
B'
C
A

求y与x 之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明
5
当x在什么范围时，y

。
8






17、 （本题满分10分）如图，Rt△
ABC
在中，∠
A
＝90°，
AB
＝6，
AC
＝8，
D
，
E
分别是边
AB< br>，
AC
的中点，点
P
从点
D
出发沿
DE方向运动，过点
P
作
PQ
⊥
BC
于
Q
，过点
Q
作
QR
∥
BA
交
AC
于
R
，当点
Q
与点
C
重合时，点
P
停止运动．设BQ
＝
x
，
QR
＝
y
．
（1）求点
D
到
BC
的距离
DH
的长；
（2）求
y
关于
x
的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点
P
，使△
PQR
为等腰三角形若存在，请求出所有 满足要求的
x
的值；若不存在，请说明理由．

第24题图

A


R

E


D

P



C

B


H

Q





18、（本题满分10分）如图，Rt△
AB C
是由Rt△
ABC
绕点
A
顺时针旋转得
到的，连结
CC
交斜边于点
E
，
CC
的延长线交
BB
于点
F
．

（1）证明：△
ACE
∽△
FBE
；
（2）设∠
ABC
=

，∠
CAC
=

，试探索

、

满足什么关系时，△
ACE
与< br>△
FBE
是全等三角形，并说明理由．











19、（本题满分10分）
如图，直角梯形
ABCD
中，
AB∥
DC
，
DAB90
，
AD2DC4
，AB6
．动
点
M
以每秒1个单位长的速度，从点
A
沿 线段
AB
向点
B
运动；同时点
P
以相同
的速度，从 点
C
沿折线
C
-
D
-
A
向点
A< br>运动．当点
M
到达点
B
时，两点同时停止
运动．过点
M
作直线
l
∥
AD
，与线段
CD
的交点为
E
，与折线
A
-
C
-
B
的交点为
Q
．点
M
运动的时间为
t
（秒）．
（1）当
t0.5
时，求线段
QM
的长；
（2）当0＜
t
＜2时，如果以
C、P、Q
为顶点的三角形为直角三角形，求
t< br>的值；
（3）当
t
＞2时，连接
PQ
交线段
AC< br>于点
R
．请探究
试求这个定值；若不是，请说明理由．










D

E

P

C

D

C

D

C

CQ
是否为定值，若是，
RQ
Q

A

l

M


B

A

（备用图1）
B

A

（备用图2）
B

20、（本题满分10分） < br>如图，在
RtABC
中，
AD
是斜边BC上的高，
ABE 、ACF
是等边三角形．
（1）试说明：
ABD
∽
CAD
；
（2）连接
DE
、
DF
、
EF
，判断
DEF
的形状，并说明理由．










21、（本题满分10分）
如图，一次函数
yaxb
的图象与
x
轴、
y
轴交于
A
、
B
两点，与反比例函数
y
k
的图象相交于
C、D
两点，分别过
C
，
D
两点作
y
轴、
x
轴的垂线，垂足为
E
、
x
B
D
C
E
A
F
F
，连接
CF、
DE
．
（1）△
CEF
与△
DEF
的面积相等吗为什么
（2）试说明：△
AOB
∽△
FOE
．






B

A

y

D

O

F

x

E


C







2 2、（本题满分14分）阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和
DEF叠放在一起， 使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，
把三角板ABC固定不动，让三角板D EF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相

交于点P、Q,易说明△APD∽△CD Q．
猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点
D与等腰三角形ABC（其中∠ABC = 120°）的底边中点O重合，两边分别与线段
AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形 （直接填在横线
上）；
验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段A B的延长线、
边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗请你在图3上补全图形,并说明理由．
连结PQ，△APD与△DPQ是否相似为什么
探究（3）：根据（1）（2）的解答过程， 你能将两三角板改为一个更为一般
的条件，使得（1）（2）中所有结论仍然成立吗请写出这两个三角形 需满足的条
件．
探究（4）：在（2）的条件下，若AC = 4，CQ = x，AP = y，请你求出y与x
的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
A

Ａ
A


Ｄ(O)
F

P
B
Ｐ

B
Ｃ
Ｄ(O)

Ｑ
Ｂ
Ｅ
Q

E


C

Ｆ
C

图2
图3
图1
















23、 (本题满分8分)
仔细观察下图，认真阅读对话：

小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干

是多的，但要再买一袋牛奶就不够

了！今天是儿童节，我给你买的饼干
阿姨，我买一盒
打9折，两样东西请拿好！还有找你

饼干和一袋牛奶
的8角钱.
（递上10元钱）.






根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元

24、（本题12分）、如 图，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点
作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为 DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆 时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接
EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立若成立 ，请给出证明；若不成立，请说
明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图 ③所示，再连接相应的线段，
问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证 明）
A D














A D
B
第24题图②

G
E
B F
第24题图①

C
A
G
E
F
D
C
F
E

25、(本题满分10分)
如图1，在同一平面 内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，
A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=9 0°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG
绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别 为D、E(点D不与点B重合,点E不与点
C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆ABC的斜 边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系(如图2).在边BC 上找一点D，使BD=CE，求出D点的
坐标，并通过计算验证BD
2
＋CE
2
=DE
2
.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD
2
＋CE
2
=DE
2
是否始终成立,若成立,
请证明,若 不成立,请说明理由.






B










A


D

E

G

C

F

图1
y


A

B

D

O

E

G

C

x

26、(10分)如 图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cms的速度、沿B→A→ D→C方向，向点C运动；
动点Q从点C出发，以2cms的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若 P、Q
两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t
秒． 问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD
的周长平分若存 在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；
若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是
以DQ为一腰的等腰三角 形若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，
请说明理由．

27、（本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE =
AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判
断四边形AEMF是什么特殊四边形并证明你的结论．






28、（本题满分12分）如图，一条直线与反比例函数
y
A

D

F

O

B


k
的图象交于A（1，4）,B
x
M

（4，n）两点，与
x
轴交于D点，AC⊥
x
轴，垂足为C．
（1）如图甲，①求反比例函数的关系式；
②求n的值及D点坐标；
（2）如图乙 ，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC
于F点．
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时，求F点坐标.

yy
A

A

F
E

C

29、（本题满分10分）如图，已知△
ABC
∽△
A
1
B
1
C
1
，相似比为
k(k1)
，且△
△
A
1
B
1
C
1
的三边长分别为
a
1
、
b
1
、
b
、
c
(abc)
，ABC
的三边长分别为
a
、
c
1
.
⑴若ca
1
，求证：
akc
；
⑵若
ca
1
，试给出符合条件的一对△
ABC
和△
A
1
B< br>1
C
1
，使得
a
、
b
、
c
和
a
1
、
b
1
、
c
1
都是正整数 ，并加以说明；
⑶若
ba
1
，
cb
1
，是否 存在△
ABC
和△
A
1
B
1
C
1
使得
k2
请说明理由.









30、（本题满分10分）如图,已知△ABC中,AB=AC=10 厘米,BC=8厘米,点D为AB
的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由 B点向C点运动，同时，点Q
在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q的运 动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP
是否全等，请说明理由；
② 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少
时，能够使△BPD与△CQP全 等
⑵若点Q以②中运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出
发，都逆
时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪
条边上相遇

















31、（本题12分）如图, 四边形ABDC中,∠ABD=∠BCD=Rt∠,AB=AC,AE⊥ BC于点
F,交BD于点E.且BD=15,CD=9.点P从点A出发沿射线AE方向运动,过点P作 PQ
⊥AB于Q,连接FQ,设AP=x,(x>0).
(1) 求证：BC·BE=AC·CD
(2) 设四边形ACDP的面积为y, 求y关于x的函数解析式.
(3) 是否存在一点P，使△PQF是以PF为腰的等腰三角形若存在，请求出所有满
足要求 的x的值；若不存在，请说明理由．








A
QP
F
C
B
E
D

32、(本题满分11分)
如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐 标分别为B(8，6)、C(10，
0)，动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位／秒 ；同时，线段
DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位／秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．
(1)试说明: △BDN∽△OCB ；
(2)试用t的代数式表示MH的长；
(3) 当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似
(4) 设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．



H








第32题图








33、（本题满分12分）
如图，在锐角
△ABC
中，
BC9< br>，
AHBC
于点
H
，且
AH6
，点
D< br>为
AB
边
上的任意一点，过点
D
作DEBC，交
AC
于点
E
．设
△ADE
的高
AF
为
x(0 x6)
，以
DE
为折线将
△ADE
翻折，所得的
△A
DE
与梯形
DBCE
重叠部
分的面积记为
y
（点
A
关于
DE
的对称点
A

落在
AH< br>所在的直线上）．
（1）当x=1时，y=____________（2）求出当
0 x
≤
3
时，
y
与
x
的函数关系式；
（3）求出
3x6
时，
y
与
x
的函数关系式。
A


A


D

F
E



A


C
B
C

34、（2009年济南）已知：如图，正比例函数
yax
的图象与反比 例函数
y
图象交于点A

3， 2

．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图 象回答，在第一象限内，当
x
取何值时，反比例函数的值大于正比
例函数的值
（3）
M

m，n

是反比例函数图象上的一动点，其中
0m3，
过点
M
作直线
k
的
x
MN∥x
轴，交
y
轴于点
B
；过点
A
作直线
AC∥y轴交
x
轴于点
C
，交直线
MB
于点
D
．当四边形
OADM
的面积为6时，请判断线段
BM
与
DM
的大小关系，
并说明理由．

y


M


B

D




A





Oo


C




35、已知正方形ABCD中，∠EAF=45°，
（１）如图①，求证：EF=BE+DF．
（２）如图②，连接ＢＤ，交ＡＥ、ＡＦ于Ｍ、Ｎ两点，求证△ＡＭＮ与
△ＡＦＥ相似．


D
A



F




B
E
C
x

图①
A
D

Ｍ
Ｎ
F

B


C
E

图②


36、（2010•河北）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．









37、（2010•温州）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作
射线BB
1
∥A C．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同
时动点E从点C出发沿射线AC方 向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB
于H，过点E作EF上AC交射线BB
1< br>于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的
时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关
系式；

②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．