小学数学五年级应用题经典讲解
北京交通大学海滨学院-高中生物教案
小学数学五年级上册应用题经典类型讲解
一.
数学题目的特点:
较为复杂的题目一般会出现两个以上的等量关系,而这些等量关系之
间有
存在着相互的联系,联系的方式我这里给大家分为三种,
即:递进关系、并列关系和交叉关系。
例如:甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟3
0米、40米、50米,甲、
乙在A地,而丙在B地同时出发相向而行,丙遇乙后10分钟和甲相
遇。A、B两地间的路长多少米?
分析与解答:从图中可以看出,丙和乙相遇后又经过10分钟
和甲相遇,
10分钟内甲丙两人共行(30+50)×10=800米。这800米就是乙、
丙
相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40-30=10米,现在乙
比甲多行800米,也就是行了8
0÷10=80分钟。因此,AB两地间的
路程为(50+40)×80=7200米。
(递进关系)
一个植树小组植树。如果每人栽5棵,还剩14棵;如果每人栽7
棵,就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树?
由题意可知,植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案,结果相差14+4=18棵,
即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7-5=
2棵。所以植树小
组有18÷2=9人,一共有5×9+14=59棵树。
(并列关系)
有26块砖,兄弟2人争着去挑,弟弟抢在前面,刚摆好砖
,哥哥赶
来了。哥哥看弟弟挑得太多,就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行,
又从哥哥那里拿
来一半。哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比
弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块?
【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。
只要解一个“和差问题”就知道:哥哥挑“(26+2)÷2=14”块,
弟弟挑“26-14=12”块。下面根据题意列表还原:
(交叉关系)
总之,数学题目展示给我们的就是一种或者几种等量关系,解决数学
问题就是要我们把数学题目中的等量
关系挖掘出来,利用数学知识解决
未知量的问题。我认为,解数学应用题的关键不是知道几个题型,最关
键的是我们要懂得数学的思维方法。
应用题的解题思维过程 根据上面所讲的特点,我
经过多年对数学应
用题题型的钻研,依据小学生的年龄特点,发掘整理出一条解决应用
题的途径
,在这里分享给大家,希望能给大家以启迪。
我对应用题的分析流程是这样安排的:
1. 划分应用题题意层次——2.提炼有效数据(包括未知数据)——3.
联系数学基本概
念和基本计算建立数据关系模型——4.构思解题
步骤——5.书写解题过程——6.数据检验。
例题:一只小船,第一次顺水航行20千米,又逆水航行3千米,共用
了4小时;第二次顺水
航行了17.6千米,又逆水航行了3.6千米,
也用了4小时。求船在静水中的速度和水流速度。
应用题有两层意思:
第一次顺水航行20千米,又逆水航行3千米,共用了4小时
第二次顺水航行了17.6千米,又逆水航行了3.6千米,也用了4
小时
有效数据:顺行20千米 又 逆行3千米 共 4小时
顺行17.6千米
又 逆行3.6千米 共 4小时
数据关系线段图
第一次:顺行20
逆行3
第二次:顺行17.6
逆行3.6
分析:顺行20-17.6=2.4(千米)
逆行3.6-3=0.6(千米)用时相等
联系数学知识:时间相同时,速度与时间成反比,可得出顺行与逆行的速
度关系
分析与解 比较两次航行的航程可知:在相同的时间内,
顺水可航行20-17.6=2.4千米,
逆水可航行3.6-3=0.6千米。
于是求出在相同时间内顺水航程是逆水航程的2.4÷0.6=4倍。
那么顺水行的航速也就是逆水行的航速的4倍,进而求出顺水与逆水的航
速。
顺水航速为每小时:(20+3×4)÷4=8(千米)
逆水航速为每小时:8÷4=2(千米)
船在静水中的速度为每小时
(8+2)÷2=5(千米)
水流速度为每小时 (8-2)÷2=3(千米)
即船在静水中的速度为每小时5千米,水流速度为每小时3千米。
例题:一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙
三个队。每个人都与其余九名选
手各赛一盘,每盘棋的胜者得1分,负者
得0分,平局各得0.5分。结果,甲队选手平均得4.5分,
乙队选手平均得
3.6分,丙队选手平均得9分。那么,甲、乙、丙三队参赛选手的人数各是
多
少人?
这是一道竞赛题目,题中数据关系较为复杂,但只要我们划分提议层次,
就不难看出等量关系
第一句话三个意思:共10名选手,分为三个队,各队人数不一等
每两人之间各一场比赛,即每人参赛9场
评判规则:胜一场得1分,平一场两人各得0.5分,负一场0分,
向深处思维可知,比赛产生的总分数是不变的
第二句话:甲对平均4.5分,乙队平均3.6分,丙队平均9分
数据关系列表:
甲 乙
丙
总 分 数 ( ) + ( ) +
()=9+8+7+···+1=45
总平均分 45 ÷ 10
=4.5
各队平均分 4.5 3.6 9
分析与解:每人最多9场比赛,所以只有一人得最高分9分,
可判断丙队1人;再看甲队平均
分等于总平均分,所以,平均时只在乙
队与丙队之间进行数据的移补,即丙队高于平总平均分部分补给乙
队,
因此有等量关系 (9-4.5)÷(4.5-3.6)=5 (人)
可判断乙队5人 甲队人数:10―1―5=4(人)
三.
熟练掌握课本中的数学概念、运算法则和常用公式 数学问题
的叙述是建立在概念基础上的,因此,熟练
的掌握数学基本概念可以
使我们迅速捕捉应用题中的数学信息,帮助我们弄清题意。
例:
数的有关概念:自然数、整数、小数(纯小数、带小数,有限小
数、无限小数:无限不循环小数、无限循
环小数,纯循环小数、混循
环小数)、分数(真分数、假分数、带分数)、百分数、约数与倍数、
质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数、互质数、质因数等等
运算法则与常用公式是
数学计算的基本方法,不但是计算过程中必须
掌握的知识,在分析应用题的过程中也是很好的辅助工具,
可以使我
们简化思维过程,建立数据之间的逻辑关系。
例:小学数学基本公式
1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C=4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
5、三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah
7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径 Ѕ=πr
11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr
+2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch
17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2)
h÷3=π(C
÷2÷π) h÷3
19、长方体(正方体、圆柱体)的体
相关联的数量关系
1、 每份数×份数=总数
总数÷每份数=份数
总数÷份数 =每份数
2、
1倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1倍数=倍数
几倍数÷倍数=1倍数
3、 速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、 单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5、 工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6、 加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数
7、 被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、 因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因
数
9、 被除数÷除数=商
被除数÷商=除数 商×除数=被除数 小学数
学图形计算公式
1 、正方形
周长 S面积 a边长
周长=边长×4 正方形周长S=4a
面积=边长×边长 S=a×a
2 、正方体 :
体积 a:棱长
S表示面积=棱长×棱长×6 S表示面积=a×a×6
V体积=棱长×棱长×棱长
V表示体积=a×a×a
3 、长方形 C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4
、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1) 表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2) (2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高 面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1) 侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
(4)体积=侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数=平均数
和差问题
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封
闭线路的两端都要植树
,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,
那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
时间单位换算
1世纪=100年
1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天
(平年全年365天)
闰年2月29天 (闰年全年366天)
1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
例题:3个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2,求这3个偶数。
分析:由于乘积是
一个六位数字,所以这3个相邻的偶数必须是两位
数字。而这3个相邻的偶数的个位数字只能是0,2,
4,6,8中相邻
的3个,但要使它们的乘积的个位数字为2,这3个相邻偶数的个位
数字只能
是4,6,7;由于3个100相乘等于一个小的七位数字1000000,
所以可以估算出这3个相邻
的偶数为94,96,98。经计算知,要使乘
积的第一位数字为8,这3个相邻的偶数只能是94,9
6,
四. 熟悉一些特殊应用题的解题思路
在小学数学中有许多特殊
类型的应用题,这些应用题不是出题人故意
的在难为同学们,有很多是从古至今的数学家总结生产、生活
中的实
际问题提炼出来的解决数学问题的途径,还有一些是现在数学解决问
题过程中总结出来的
一些解决问题的思维过程,这些途径很值得我们
现在学习数学的借鉴,并且这些问题还可以开阔我们的思
路。
例题:
老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,<
br>每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?
分析:这个问题就是鸡兔同笼问题
我们分步来考虑:
① 假设租的 10条船都是大船,那么船上应该坐 6×10= 60(人)。
② ②假设后的总人数比实际人数多了 60-(41+1)=18(人),
多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③
一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9(条)
小船当成大船。
解:[6×10-(41+1)÷(6-4) = 18÷2=9(条) 10-9=1(条)
答:有9条小船,1条大船。
五. 学会数学积累
例文
昨天我去买“香不佬”鸡腿,每3元一只,买了5只,共用了15
元。后来想再买几只送给表弟吧,于是
又回头买了4只,又用了12
元。我算了算一共用去27元。我想用另外的算法检验一下对不对,就想,先买5只,后买4只,共买9只,9个3元是27元。其实,3╳
5+3╳4=15+12=2
7,就是5个3加上4个3,等于9个3,9╳3=27。
原来3╳5+3╳4=3╳9。
上个星期,我们学习了分数。分数有分子、分母和分数线,比如:13,
3是分母,1是分子,中间一横
是分数线。
活中有很多地方都要用到分数,比如:一本书有三十页,每一页是一
本书的1
30。分数还可以用来加减呢!比如:二分之一加二分之一等
于二分之二,也就是1。为什么会这样呢?
如果一个饼把它平均分成
两份,每份就是这个饼的12,再把这两份拼起来,就是有2个12,
刚好是一个饼。分数在加减时,如果分母都是一样的,就不管分母,
把分子相加就可以了。而22的分子
和分母都一样,就是1了。
我还学会了比分数的大小,老师教了我们口诀:分子相同比分母,分<
br>母大的分数小,分母小的分数大;分母相同比分子,分子大的分数大,
分子小的分数小。 <
/p>
老师还提醒我们,写分数时,一般先写分数线,表示平均分的意思,
再写分母,最
后写分子.