湖南农业大学邮编-员工评语

成都热身试题
数 学（理工类）

本试卷分为 第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页，共4页。满分150分。 考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在
答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束 后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个
选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合
Pxlog
2
x1 ,Qxx1
，则
P
（A）

0,

（B）



Q
（ ）


1

2

1


1


,1

（C）

0,1

（D）

1,


2


2


2．已知复数
z
3i
，
z
是
z的共轭复数，则
zz
（ ）
13i
开始
11
（A） （B） （C）
1
（D）
1

42
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，
则判断框中应填入的条件为（ ）
（A）
i4
（B）
i5

（C）
i6
（D）
i7

4．已知
sin2


S1,i1

?

是
否
输入S
结束
SS2
i



2
2

，则
sin





（ ）
4

3

3
ii1

（A）

15
13
（B） （C） （D）
36
24
3
4
主视图
2 2
侧视图
5．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
（A）
6

4
（B）
12

4

（C）
6

12
（D）
12

12


2
俯视图
- 1 - 1

6．已知
m,n
为异面直线，
m

,n

，直线
lm,ln
，
l

,l

，则（ ）
（A）



,l

（B）



,l


（C）

与

相交，且交线与l垂直 （D）

与

相交，且交线与l平行
7．已知
a,b,c
分别为
ABC
的三个内角
A,B,C
的对边，
c2，且
sin
2
Asin
2
BsinAsinBsin< br>2
C
，则
ABC
面积的最大值为（ ）
（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
23

8．某班级举办的“中国梦·我的梦”的演讲比赛中，共有5位选手参加 ，其中3位女生，2
位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排 法种数
为（ ）
（A）24 （B）36 （C）48 （D）60

x1, 0 x1

9．已知
f

x



，存在
x
2
x
1
0
使得
f

x
1

f

x
2

，则
3log
2
x, x1

2
x
1< br>f

x
2

的取值范围为（ ）
（A）

,2

（B）

,2

（C）

,
2
3

4



3

2


34


2

,2

（D）



43


3

10．设抛物线
C:y4x
的焦点为
F
，其准线与
x
轴的交点为
Q
，过点
F
作直线与抛物线
C
交于
A,B
两点，且
QBF90
．则
AFBF
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑 色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑 色墨迹签字笔描清楚。答在试卷纸、
草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
1

11．二项式

x

展开式中常数项是 ．
2x

12．某班的全体学生参加消防知识竞赛，
成绩的频率分布直方图如图，数据的分组
6
频率
组距
0.020
0.015
- 1 - 1
O
20 40 60 80 100
成绩分

依次为
[20,40),[40,60)[60,80),[80,100]
，
若低于60分的人数是15，则该班的学生
人数是 ．
1x
2
13．函数
y
的值域为 ．
2x
14．已知
a,b
满足
abab2
，且acbc0
．则
2bc
的最小值为
__________．
15．若函数
yf

x

对定义域的每一个值
x
1
，在其定义域内均存在唯一的
x
2
，满足

f

x
1

f

x
2

1
，则称该函数为“依赖函数” ．给出以下命题：①
y
1
为依赖函数 ；②
x
2



y2sinx
（
x 

,

）为依赖函数；③
y2
x
为依赖函数 ；④
yf

x

,yg

x


22

均为依赖函数，且定义域相同，则
yf

x< br>
g

x

为依赖函数．
其中，所有真命题的序号为__________．

三、解答题：本大题共6小题，75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤。
16．（本小题12分）已知函数
f(x)Asin(

x
< br>),(A0,

0,|

|
所示．
（1）写 出
f(x)

2
)
的部分图象如图
3
的解集；
2
2
（2）设
g(x)23cosxf(x),g(

)







4
3,

(,)
，求
sin2

的值．
5122
y



3
1
O
5


12
x
17．（本小题12分）递增数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n2
2an1
，
a
3
a
7
10,a
1
a
9
9
．
（1）求数列
{
a
n
an1
}
的前
n
项和
S
n
；
22
a
n
a
n1
- 1 - 1

(1)
n
（2）求数列
{}
的前
n
项和
T
n
．
a
n
a
n2






18．（本小题12分）现有甲、乙两个投资项 目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本
数据统计，年利润分布如下表：
年利润
频数
1.2万元
20
1.0万元
60
0.9万元
40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格 的
概率均为
1
，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与 对应的
3
合格次数 2次 1次 0次
利润如下表：
年利润 1.3万元 1.1万元 0.6万元
记随机变量
X,Y
分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求
XY
的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．








19．（本小题12分） 如图1，直角梯形
ABCD
中，
ADBC,ABC90
，
E,F
分别为边
AD
和
BC
上的点，且
EFAB,AD2AE 2AB4FC4
，将四边形
EFCD
沿
EF
折起成
如图 2的位置，使平面
EFCD
和平面
ABFE
所成二面角的大小为
60
．
（1）求证
BC
平面
EFCD
；
（2）求平面
BCD
与平面
ABD
所有的锐二面角大小的余弦值．

B



F

C


- 1 - 1
图1


A
C
B
F
D
图2
E
D
E
A

x
2
y
2
3
20．（本小 题13分）已知椭圆
2

2
1(ab0)
的右焦点为
F(1,0)
，且点
P(1,)
在椭
ab
2
圆上．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点
Q
作圆xy3
的两条切线，切点分别为
M,N
22
a
2
b
2
（
M,N
不在坐标轴上），若直线
MN
在
x轴，
y
轴上的截距分别为
m,n
，证明
2

2
为
nm
定值；
x
2
3y
2
（3）若P
1
,P
2
是椭圆
C
1
:
2

2
1
上不同的两点，
P
圆
E
过
P1
,P
2
且椭圆
C
11
P
2
x轴，
ab
上任意一点都不在圆
E
内，则称圆
E
为该椭圆 的一个内切圆，试问：椭圆
C
1
是否存在过左焦
点
F
1的内切圆？若存在，求出圆心
E
的坐标；若不存在，说明理由．







21．（本小题14分）已知函数
f( x)xe
2x
lnxax
．
（1）当
a0
时，求 函数
f(x)
在
[,1]
上的最小值；
（2）若
x0
，不等式
f(x)1
恒成立，求
a
的取值范围；
12
11

11
（3）若
x0
，不等式
f( )1e
e1
x
x
恒成立，求
a
的取值范围．
xx
e
e
2
x
- 1 - 1

高考热身试题（参考答案）
一、选择题：
（A）（C）（B）（D）（A）（D）（C）（D）（A）（D）
二、填空题：

3
5
]

71
②③ 50
[0,
3
2
三、解答题 ：本大题共6小题，75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤。
16．解（ 1）由图象知
f(x)sin(2x

3
)
， …………….3



3
y
1
O
所以
sin(2x
解得

3
)
3

2

2x

2333
5


12
x
,)
…………………….6
32 32

4
2
（2）
23cos

sin(2< br>
)3
，
35
化简得
3cos2



x

，故解集为
(

3
13 4
sin2

cos2

3
，
225
314

4
cos2

sin2


sin(2

)
……………………9
225< br>35

4

,),2

(,)
，
122323

3
cos(2

)
，
35


(

- 1 - 1

sin2

sin(2



3


3
)
4133433

…………………….12
525210
17．解（1）由已知数列
{a
n
}
为等差数列，且
a
1
a
9
10,a
1
a
9
9

又
a
9
a
1，所以
a
1
1,a
9
9
，
即
a
n
n
， ……………………3

a
n
a
n1
2n111

，
22
n
2
(n1)
2
n
2
(n1)< br>2
a
n
a
n1
S
n
1
1< br> …………………….6
2
(n1)
(1)
n
(1)
n
(1)
n
111(1)
n
(1)
n2
（2）数列
()[]
， a
n
a
n2
n(n2)2nn22nn2
(1)n
令数列
b
n

，
n
则
T
n

11
[b
1
b
3
b
2
 b
4
b
3
b
5
b
n
b
n2
][b
1
b
2
b
n1
b
n2
]

22
11(1)
n1
(1)
n 2
[1]

22n1n2
11(1)
n

…………………….12
42(n1)(n2)
(1)
n
(1)< br>n
(1)
n
(n1)
（另解：
c
n
< br>，

a
n
a
n2
n(n2)n(n1)( n2)
1(1)
n
(1)
n1
c
n
[ ]
，
2n(n1)(n1)(n2)
11(1)
n1
1 1(1)
n
]
所以
T
n
[
） < br>22(n1)(n2)42(n1)(n2)
18．解（1）
XY
的 所有情况有：
P(x1.2,y1.1)
11242
1
C
2

，
6335427
24
2
P(y0.6) C
2
()
2

，
39
- 1 - 1

所以
P(XY)
2414
， …………………….6

27927
0.9
（2）随机变量
X
的分布列为：
X 1.2 1.0
P
1

6
1

2
1

3
所以
EX1
万元， …………………….8
随机变量
Y
的分布列为：
Y
P
1.3 1.1 0.6
1

9
4

9
4

9
所以
EY0.9
万元 …………………….10
EXEY
，且
XY
的概率与
XY
的概率相当
所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值 …………………….12
19． 解（1）在
BCF
中，
CFB60,CF1,BF2
，
所以
BCCF

又
AB
平面
BCF
，且
EFAB
，
EFBC
，
z
D
C
x
F

B
O
y
E
A

EFBC
< br>由


BC
平面
EFCD
，……………………6
BCCF

（2）据题意得：正三角形
ADE
正方形
A EFB
，
取AE中点O，如图建立空间直角坐标系 …………………7
13
B(2,1,0),D(0,0,3),A(0,1,0)
，
C(2,,)，………………8
22
设平面
BCD
法向量为
n(x
1
,y
1
,z
1
)
，


n BD


2x
1
y
1
3z
10
由

，令
y
1
1
，则
z
1
3,x
1
1




3y
1
3z
1
0

nBC

 n(1,1,3)
， …………………9
设平面
BAD
法向量为
m(x
2
,y
2
,z
2
)
，


nBD

2x
2
y
2
3z
2
0
由

，令
z
2
3
，则
y
2
3





x
2
0

nBA
m(0,3,3)< br>， …………………10
所以
cosn,m
615
， …………………11

5
523
- 1 - 1

所以 平面
BCD
与平面
ABD
所有的锐二面角大小的余弦值为
20．解（ 1）由已知
F
1
(1,0),F(1,0)
，
c1
，
由椭圆定义
|PF
1
||PF|2aa2

15
…………………12
5
x
2
y
2
1
…………………….3 所以椭圆方程为
43
（2）设
Q(x
0
,y
0
),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
，
则
l
QM
:x
1
xy
1
y3
，
l
QN
:x
2
xy
2
y3
,
Q(x
0
,x
0
)
在直线
l
QM
,l
QN
上，

x
1
x
0
y
1
y
0
3



点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2)
均在直线
x
0
xy
0
y3
上，
xxyy3
20

20
即
l
MN
:x
0
xy
0
y3
，
由此得
m
33
,n
， …………………….5
x
0
y
0
22
xy
93< br>(x
0
,y
0
)
满足
0

01
，即
1

43
4m
2
n
2< br>a
2
b
2
344

2

2

2

2

…………………….7
nmmn3
（3）不妨设
P
1
(m,n), P
2
(m,n)
，圆心
E(t,0)
，
所以圆
E:(xt)y(mt)n
，
由内切圆定义知，椭圆上的 点到圆心
E
的距离的最小值为
|P
1
E|
，
设
M(x,y)
是椭圆
C
1
上任意一点，
2222
3
2
x2txt
2
1
，
4
4t
2
当
xm
时，
|ME|
最小，所以
m
，①
3
|ME|
2
(xt)
2
y< br>2

222
假设椭圆
C
1
上存在过
F
1
的内切圆，则
(3t)(mt)n
，②
- 1 - 1

m
2
又
P
，③
1
(m ,n)
在椭圆
C
1
上，即
n1
4
2
由 ①②③得：
t
3
或
t3
，…………………….12
2
43
2
不合题意，舍去
3
当
t3时，
m
经验证
t
3
满足条件，
2
3
,0)
…………………….13
2
lnx
，
综上，存在这样的内切圆，圆心为
(
21 ．解（1）
a0
时，
f(x)xe
2x
f

( x)(2x1)e
2x

f

(x)(4x4)e
2x

1
，
x
1

2
0
，
x
所以函数
f(x)
在
(0,)
上是增函数，
又函数
f(x)
的值域为R，
故
x
0
0，使得
f(x
0
)(2x
0
1)e
又
f ()2e20
，
x
0



2x
0< br>

1
0
，
x
0
1
2
1
，
2
所以当
x[,1]
时，
f(x)0
，
即函数
f(x)
在区间
[,1]
上递增，
1
2

1
2
e
ln2
…………………….4
2
1
2x
（2）
f(x)(2x1)ea
， x
所以
f(x)
min
f()


由（1）知 函数
f(x)
在
(0,)
上是增函数，且
x
0
0
，使得
f(x
0
)0

1
2
进而 函数
f(x)
在区间
(0,x
0
)
上递减，在
(x
0
,)
上递增，
f(x)
min
f(x
0
)x
0
e
2x
0
lnx
0
ax0
，
- 1 - 1

由
f(x
0
)0
得：
(2x
0
1)e
2x
0< br>
1
a0
，
x
0
ax
0
 (2x
0
x
0
)e
2x
0
1
， f(x
0
)1lnx
0
2x
0
e
2x
0
，
因为
x0
，不等式
f(x)1
恒成立，
2
2
1lnx
0
2x
0
e
2x
0
1 lnx
0
2x
0
e
2x
0
0
a(2x
0
1)e
2x
0

1
20 2
…………………….9
x
0
22
（另解：因 为
x0
，不等式
f(x)1
恒成立，
xe
2xlnx1e
lnx
e
2x
(lnx2x)12xe
lnx2x
(lnx2x)1
2
即
a
xxx由
ex1e
xlnx2x
xe
2x
lnx1
lnx2x12
，
x
当
lnx2x0
时取等号，
a2
）
11

11
（3）由
f()1e 
e1
x
x
，
xx
e
e
2
x
11

11a1
eln1e
e1
x
x
，
xxxx
e
e
2
x
2
x
x
1
e1
，
xlnxxa
x
e
ex
1
对任意
x0
成立，
axlnxx
e 1
x
e
e
x
1
令函数
g(x)xlnxx 
e1
，
x
e
e
- 1 - 1

所以
g(x)lnx

x1
e(e 1)e
x
e
，
当
x1
时，
g(x)0
，当
0x1
时，
g(x)0
，

1
1< br>e
1
所以当
x1
时，函数
g(x)
取得最小 值
g(1)1
e1
，
a1
e
1

(e1)e
e

































11
e
e
(e1)e
e
…………………….14
- 1 - 1