安徽招生考试院-寒假趣事作文

2015年第13届“走美杯”小学数学竞赛试卷
（六年级初赛B卷）


一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）

1．（8分）计算：++= ．

2．（8分）某商品今年的生产成本比去年 增加了5%，扔保持原来的销售价格，
则每件产品的利润下降了20%，那么，如果要保持成本在销售价 格中所占的
百分比，销售价格应该在去年的基础上提高 %．

3．（8分） 用1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字给4名男生与4名女生编号，
要求是男生用奇数，女生用 偶数，那么，一共有 种不同的编号方法．

4．（8分）用2015减去它的，再减 去余下的，再减去余下的，…，以此类
推，一直减去余下的，那么最后的得数为 ．

5．（8分）“24点游戏”很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑
克牌（不 包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1，J=11，
Q=12，K=13）通过加 减乘除四则运算得出24，最先找到算法者获胜．游戏规
定4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次 ，比如2，3，4，Q．则可以
由算法（2×Q）×（4﹣3）得到24．

王亮在一 次游戏中抽到了4，4，7，7，经过思考．他发现（4﹣）×7=24．我
们将满足（a﹣）×b=2 4的牌组{a，a，b，b}称为“王亮牌组”，请再写出一
组不同的“王亮牌组” ．



二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）
< br>6．（10分）在荷兰的小镇卡茨林赫弗尔2013年6月建成了一个由三个半圆组成
的城市雕塑 ，三个半圆的直径分别为24.2m，19.3m，4.9m．这个雕塑的原始
图形来自于阿基米德《引 理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即图中的阴影部分
所示的图形．那么该城市雕塑中的鞋匠刀形 的周长为 （圆周率用π表
示）．

7．（10分 ）“足球”可以近似地看成是由一些五边形与正六边形组成的几何体，每
一个顶点处有3条棱，这个几何 体是阿基米德立体（Archimedean Solids）中
的一个，通常，可以通过如图所示的方 法，截正二十面体得到“足球”，那么，
一个“足球”的棱数为 ．

8．（10分）如图所示，BD，CE分别是∠ABC的角平分线，如果∠BAC=62°，那么，
∠BFC= °．


9．（10分）将图中的边染色，要求有共同顶点的两个相邻的边染不同的颜色，
则至少需要 中颜色．


10．（10分）索马里方体是丹麦物理学家皮特•海音（Piet H ein）发明的7个小立
方体组块（如图所示），如果假设这些小立方体的边长为1，则利用这7个组< br>块不仅可以组成一个3×3的立方体，还可以组成很多美妙的几何体，那么，
要组成下面的几何体 ，需要用到的3个索玛立方体的编号是 ．

三、填空题（共5小题，每小题12分，满分60分）

11．（12分）一个大于0 的自然数如果满足所有因数（即约数）之和等于它自身
的2倍，则称这个数为完全数（或完美数），比如 ，最小的完全数是6，因为
6的所有因数为1，2，3，6，而1+2+3+6=12．古希腊时代的人 们就已经认识
完全数，并且找到了前4个6，28，496，8128完全数，那么，8128的全体< br>质因数为 ．

12．（12分）只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质 数或素数．比如2，3，
5，7，11等，如果将117分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽 可
能大，那么，这个最大的质数为 ．

13．（12分）我们可以将全体正 整数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，
一层一层地“生长”出来； 是第一层；第二层是，，第三层是，，，
，…按照这个规律，在第 层．


14．（12分）如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模
13的 倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×
1=1，则1的“模 13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒
数”则它的倒数并不是唯一的，比如， 14就是1的另一个“模13的倒数”．判
断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 是否有“模13的倒数”，并利用
所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×1 2（记为12！，读作

12的阶乘）被13除所得的余数 ．

15．（12分）如果一个正方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个
正方形称为完美正 方形．下面的正方形是已知包含21个小正方形的完美正方
形（称为21阶完美正方形），这是迄今为止 知道的最小阶数的完美正方形．分
割方法如图所示，其中小正方形中心的数字代表其边长，请计算这个完 美正
方形的边长，并写在这里 ．

2015年第13届“走美杯”小学数学竞赛试卷
（六年级初赛B卷）

参考答案与试题解析



一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）

1．（8分）计算：++
×+
= ．

×+×，再根据乘法的分配律【分析】先把算式拆分为
简算即可．

【解答】 解：
=
=
=
=
×+
+
×+
+

×

×（++）

×1

；

．

故答案为：
【点评】此题重点考查了学生对分数的拆项和运算定律的掌握 与运用情况，要结
合数据的特征，灵活选择简算方法．

2．（8分）某商品今年的生 产成本比去年增加了5%，扔保持原来的销售价格，
则每件产品的利润下降了20%，那么，如果要保持 成本在销售价格中所占的
百分比，销售价格应该在去年的基础上提高 5 %．

【分 析】要使成本在销售价格中所占的百分比不变，设去年的成本为a，销售价
格为b，去年成本与销售价格 的百分比，即为：，设须提高去年售价的x，
则可列关系式，求解即可．

【解答】解 ：根据分析，设去年的成本为a，销售价格为b，去年成本与销售价
格的百分比，即为：，

销售价格在去年的基础上提高x，则有：

，解得：x=5%，即：销售价格应该在去年的基础上提高5%．

故答案是：5%．

【点评】本题考查了利润利息和纳税的问题，本题突破点是：设成 本在销售价格
中所占的百分比，列出关系式，求解即可得出．

3．（8分）用1，2 ，3，4，5，6，7，8这八个数字给4名男生与4名女生编号，
要求是男生用奇数，女生用偶数，那 么，一共有 576 种不同的编号方法．

【分析】按题意，男生用奇数编号，有四个奇数， 每个人有四个选择，故将四个
奇数与四名男生进行排列，有4×3×2×1=24种编号方法，同理女生 的编号
方法利用排列的性质也可以求得，故总的编号方法不难求得．

【解答】解：根据分析，男生用奇数编号，有四个奇数，

每个人有四个选择，故将四个奇数与四名男生进行排列，

共有：4×3×2×1=24种编号方法；

女生用偶数编号，共有4个偶数编号，故四个偶数与四个女生进行一一排列，

共有：4×3×2×1=24种不同的编号方法，

一共有：24×24=576种不同编号方法．

故答案是：576．
【点评】本题考查了排列组合，突破点是：利用排列和组合，以及奇数偶数的个
数，求得总的不同的 编号方法．

4．（8分）用2015减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，以此类< br>推，一直减去余下的，那么最后的得数为 65 ．

【分析】把每次减少前的数看作单 位“1”，则分别剩下单位“1”的（1﹣）、（1﹣）、
（1﹣）、…、（1﹣
可解决问题．

【解答】解：2015×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣
=2015×
=2015×
=65



），然后根据分数乘法的意义，用2015乘这些分率即
）

故答案为：65．

【点评】本题关键是确定每次剩余它前面的几分之几，计算中要根据规律约分巧
算．

5．（8分）“24点游戏”很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑
克牌（不 包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1，J=11，
Q=12，K=13）通过加 减乘除四则运算得出24，最先找到算法者获胜．游戏规
定4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次 ，比如2，3，4，Q．则可以
由算法（2×Q）×（4﹣3）得到24．

王亮在一 次游戏中抽到了4，4，7，7，经过思考．他发现（4﹣）×7=24．我
们将满足（a﹣）×b=2 4的牌组{a，a，b，b}称为“王亮牌组”，请再写出一
组不同的“王亮牌组” （2，2，13， 13），（3，3，9，9），（6，6，5，5），（8，
8，4，4），（12，12，3，3） ．

【分析】先根据“王亮牌组”的特征，得出a，（b﹣1）是24的约数，最后借助扑克牌的特点即可得出结论．

【解答】解：依题意可知：

根据（a﹣）×b==a（b﹣1）=24；

那么a和（b﹣1）就是24的约数；

显然（a，b）的数字组合为（2，13）， （3，9），（6，5），（8，4），（12，3）（扑
克中最大为13）

故答案 为：（2，2，13，13），（3，3，9，9），（6，6，5，5），（8，8，4，4），（12，12，3，3）．

【点评】此题是填符号组算式，主要考查了约数，以及理解“王亮牌组 ”的特点，
得出a，（b﹣1）是24的约数是解本题的关键．



二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）

6．（10分）在荷兰的小镇 卡茨林赫弗尔2013年6月建成了一个由三个半圆组成
的城市雕塑，三个半圆的直径分别为24.2m ，19.3m，4.9m．这个雕塑的原始
图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelo s），即图中的阴影部分

所示的图形．那么该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为 24.2π （圆周率用π
表示）．


【分析】显然，阴影部分的周长由三 个圆的半圆弧组成的，故图中的阴影部分所
示的图形那么该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长可以用三个圆的 半圆周长公式
即可求得．

【解答】解：根据分析，阴影部分的周长由三个圆的半圆弧组成的，

故图中的阴影部分所示的图形那么该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长

=
=
=24.2π

故答案是：24.2π．

【 点评】本题考查了圆的周长，突破点是：利用圆的周长公式不难求得阴影部分
的周长．

7．（10分）“足球”可以近似地看成是由一些五边形与正六边形组成的几何体，每
一个顶点处有3 条棱，这个几何体是阿基米德立体（Archimedean Solids）中
的一个，通常，可以通 过如图所示的方法，截正二十面体得到“足球”，那么，
一个“足球”的棱数为 90 ．




【分析】可以根据多面体的顶点V，面数F，棱数E之间关系式V+F ﹣E=2，先求
出正五边形和正六边形的个数，再求棱数．

【解答】解：根据分析， 设多面体的顶点V，面数F，棱数E之间关系式为：V+F
﹣E=2；

设有正五边形x个，正六边形y个，由题意得：

解得：x=12，y=20．

则棱的总数为E=（5×12+6×20）=90．

故答案是：90．
< br>【点评】本题考查了组合图形的计数，突破点是：根据关系式V+F﹣E=2，先求
出正五边形和 正六边形的个数，再求棱数．

8．（10分）如图所示，BD，CE分别是∠ABC的角平分 线，如果∠BAC=62°，那么，
∠BFC= 121 °．


【分析】 根据三角形的内角和，得知：∠A+∠ABC+∠ACB=180°⇒∠A+2∠FBC+2
∠FCB= 180°⇒∠FBC+∠FCB=（180°﹣∠A）=
【解答】解：根据分析，根据三角形的内角和， 得知：

∠A+∠ABC+∠ACB=180°

⇒∠A+2∠FBC+2∠FCB=180°

⇒∠FBC+∠FCB=（180°﹣ ∠A）=
又∵∠BFC=180°﹣∠FBC﹣∠FCB=180°﹣59°=121°．

=59°

=59°．


故答案是：121°．

【点评】本题考查了长度和角度，突破点是：根据三角形的内角和以及角平分线
的性质，可以求 得∠BFC．

9．（10分）将图中的边染色，要求有共同顶点的两个相邻的 边染不同的颜色，
则至少需要 3 中颜色．


【分析】首先分析内五边形 的染色最低需要3色，那么只要枚举出3色可以染出
来此图即可．

【解答】解：依题意可知：

首先分析内5点是循环的用数字代表颜色即是至少是12 123的情况为3种颜
色．如图所示


3种颜色可以完成此图的染色．

故答案为：3

【点评】本题考查 对染色问题的理解和运用，关键问题是找到内五边形的最低染
色的标准，问题解决．

10．（10分）索马里方体是丹麦物理学家皮特•海音（Piet Hein）发明的7个小立
方体组块（如图所示），如果假设这些小立方体的边长为1，则利用这7个组
块不仅可以组成一个3× 3的立方体，还可以组成很多美妙的几何体，那么，
要组成下面的几何体，需要用到的3个索玛立方体的 编号是 1号，3号，5
号或1号，3号，6号 ．

【分 析】首先确定目标图形需要多少块单位立方体（棱长为1的立方体），由题
意可知需要11块，索玛立方 体的1号包含3个单位立方体，2号到7号包含
4个单位立方体，而目标图形需要11个单位立方体，只 能是3+4+4，所以1
好必须选择，之后通过观察即可解决问题．

【解答】解：首 先确定目标图形需要多少块单位立方体（棱长为1的立方体），
由题意可知需要11块，索玛立方体的1 号包含3个单位立方体，2号到7号
包含4个单位立方体，而目标图形需要11个单位立方体，只能是3 +4+4，所
以1好必须选择，之后通过观察可知，1号，3号，5号或1号，3号，6号是
成 立的．（3号放在最底层，且保持图中的姿势，1好放在3号上面）．

故答案为1号，3号，5号或1号，3号，6号．

【点评】本题考查剪切拼接、索马 里方体，解题的关键是利用数形结合的思想思
考问题，学会观察、尝试、动手操作解决问题．



三、填空题（共5小题，每小题12分，满分60分）

11． （12分）一个大于0的自然数如果满足所有因数（即约数）之和等于它自身
的2倍，则称这个数为完全 数（或完美数），比如，最小的完全数是6，因为
6的所有因数为1，2，3，6，而1+2+3+6= 12．古希腊时代的人们就已经认识
完全数，并且找到了前4个6，28，496，8128完全数，那 么，8128的全体
质因数为 1，2，4，8，16，32，64，127，254，508，101 6，2032，4064，
8128 ．

【分析】首先是分解质因数，计算共有多少个约数．同时成组寻找即可．

【解答】解 ：8128=2
6
×127．因数个数（6+1）×（1+1）=14个，

8128=1×8128=2×4064=4×2032=8×1016=16×508=32×254=64× 127．

故答案为：1，2，4，8，16，32，64，127，254，508，101 6，2032，4064，8128．

【点评】要想找到所以的因数关键在于 计算出所有的因数个数然后按照顺序成对
写出．

12．（12分）只能被1和自身整 除的大于1的自然数叫做质数或素数．比如2，3，
5，7，11等，如果将117分拆成10个质数之 和，要求其中最大的质数尽可
能大，那么，这个最大的质数为 97 ．

【分析】1 17分成最小的9个2，第十个数也是小于100的，可以从100以内最
大的质数开始枚举．

【解答】解：100以内最大的质数是97，

117﹣97=20，

将20分拆成9的质数的和20=2×7+3×2正好符合题意．

故答案为：97．

【点评】首先要熟记100以内的25个质数，最大是97，尝试 枚举即可，同时要
注意本题可以是重复数字．

13．（12分）我们可以将全体正整 数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，
一层一层地“生长”出来； 是第一层；第二层是，，第三层是，，，
，…按照这个规律，在第 9 层．

【分析】首先发现数阵图的规律是数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数
字．同时发现的和是8 ，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分
母．枚举即可．

【解答】解：依题意可知：

根据数阵图规律可知；；；；

数阵图 的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的
分数中8即是小数3分子又是大数 5的分母．

那么对应相乘的数字就是．那么他们前一个数字就是．

×=．

可知是第七行．是第八行，
故答案为：9

【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，关键是找到数字的变化规律．问题解
决．

14．（12分）如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模
13的 倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×
1=1，则1的“模 13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒
数”则它的倒数并不是唯一的，比如， 14就是1的另一个“模13的倒数”．判
断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 是否有“模13的倒数”，并利用
所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×1 2（记为12！，读作
12的阶乘）被13除所得的余数 12 ．

【分析】判断1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”
只需从定义出发判断即 可；计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12
被13除所得的余数需要用同余的性 质2来简化运算．

【解答】解：观察1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12易发现：

2×7=14 14÷13=1…1

3×9=27 27÷13=2…1

4×10=40 40÷13=3…1

5×8=40 40÷13=3…1

6×11=66 66÷13=5…1

12×12=144 144÷13=11…1

所以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12都有“模13的倒数”．

由同余的性质2可知：对于同一个除数，两个数的乘积与他们的余数的乘积同余，
则：

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=1×2×7×3×9×4×10×5×8× 6
×11×12=14×27×40×40×66×12

和即再第九行．

14×27×40×40×66×12≡12（mod13）

所以，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．

答：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12有“模13的倒数”；1×2×3×4
×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．

【点评】本题主要考 察同余的性质2，但在运用同余性质2时，需要观察并找到
2×7，3×9，…，6×11，刚好都是1 ×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×
12的因式这一规律，方可解题．

15．（12分）如果一个正方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个
正方形称为完美正 方形．下面的正方形是已知包含21个小正方形的完美正方
形（称为21阶完美正方形），这是迄今为止 知道的最小阶数的完美正方形．分
割方法如图所示，其中小正方形中心的数字代表其边长，请计算这个完 美正
方形的边长，并写在这里 112 ．


【分析】根据小正方形中心的 数字代表其边长，求出变成是50、35、27的三个
小正方形的边长的和，即可求出这个完美正方形的 边长是多少即可．

【解答】解：根据分析，根据小正方形中心的数字代表其边长，

求出变成是50、35、27的三个小正方形的边长的和，

即：50+35+27=85+27=112．

故答案是：112．

【点评】本题考查了剪切和拼接，突破点是：根据小正方形中心 的数字代表其边
长，求出变成是50、35、27的三个小正方形的边长的和．