三字经全文拼音-个人评价范文

5-1-3-2.数阵图

教学目标

1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

知识点拨

.
一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻 方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵
图：即封闭型数阵图、辐射型数阵 图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的
数量关系，得到关键点上所填数的范围 ；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题
更需要对数学方法的综合运用．
例题精讲
复合型数阵图

【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格
上，让同学选数，每个 同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，
小明选的5个数的和是111．如果两人 选的数中只有一个是相同的，那么这个数
是_____________．
11
21
31
12
22
32
13
23
33

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题
【分析】 这9个数的和：
111213212223313233


（102030）3（123）3198

由小刚和小明选的数中 只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到
了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总 和比这9个数的和多出来的部分就
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是所求的数．那么，这个数是
12011119833
．
【答案】
33


【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，… …，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆
圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分
【解析】 2
【答案】
2


【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填 上一个数，使得每一条直线上的三个数的
和都等于大圆圈上三个数的和.
4
9
8
17

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），
a4
9
8
b
（2）
17
c
（1）

则有a+4+9=a+b+c（1）
b+8+9=a+b+c（2）
c+17+9=a+b+c（3）
（1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，
b=28－（8+9）=11，
c=28-（17+9）=2解：见图.
15
4
9
8
11
17
2

【答案】
15
4
9
8
11
17
2


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【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在 下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆
圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 为 了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设
A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+ D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+
（C+ E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A =5k，2
（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数 ，得A=4，进而推出
k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12， 不妨设B=1，F=5，D=6，
则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12 -（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：
（见图）
7
1
6
4
5
3
2

【答案】
7
1
6
4
5
3
2


【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有
线 段相连的圆圈)的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数
的平均值，便得到右下图。 如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它
数，使得右下图中的数都是自然数。


【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分
【解析】 答案不唯一。要求四个灰色 圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所
填的数除以3的余数也相同。注：题中左、右两图 是两个不同的图，左图要求各数
互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可 以相同。

【答案】

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【例 6】 将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的< br>d
内，并使每个面
上的四个
d
内的数字之和都相等。求与填入数字1的
d
有线段相连的三个
d
内
的数的和的最大值。

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分
【解析】 因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。因
为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字
1在同一个面上的应该 有较大的数。尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在
同一个面上的数应该是18-1-8-7 =2，和1，8，6在同一个面上的数应该是
18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应 该是在同一个面上的数应该是
18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意， 那么与1相连的三
个○的和是
67821

3
64
5
8
17
2

【答案】
21


【例 7】 将自然数
1
到11
分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数
的和相等．
b
18-b-c
c
1
11
4
8
3
5
9
12-b
b+c-6
12-c
c+d-6
6
12-d< br>18-c-d
d
7
2610

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设左下角的数为
a
，每条直线上的 三个数的和为
S
．由于这11个数的和为
从左下角引出的
5
条直线的 总和为
5S
，其中左下角的数多计算
12L1166
．
了4 次，则
5S664a
；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可
得< br>4S66a
．从而结合上面的两个式子可得
S18
，
a6，即左下角的数为6，
每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为
b
，
c
，
d
，于
是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外 的10个数分别为：
b
，
c
，
d
，
12b
，
12c
，
12d
，
18bc
，
18 cd
，
bc6
，
cd6
．由于
18bc1 2c18cd18
，得到
b3cd30
，即
bd30 3c
．所以，
c
，只要选取适当的
b
，使得上面的10个数各不相同 即可．比如，选择
c9
，
d
的值，
b1
，
d 2
，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出
两种填法。
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11
18
4
9
7
3
11
110
2
7
3
5
5
9
6
2
10

11
110
2
7
3
6
8
9
5
6
84

【答案】
11
18
4
9
7
6
2
5
3
10

4



【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条 直线上所有圆圈中数的和都是234，
那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．
a
★
bc
d
★

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题
【分析】 为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．
根据题意，有
a★f234
⑴
e
f

bc★234
⑵
ed★234
⑶
abe234
⑷
cdf234
⑸
⑴

⑵

⑶

⑷

⑸，有
3★234
，即
★234378
．
【答案】
78


【例 9】 请将1，2，3，…，10这10个 自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10
条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积
ABC
？

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10题
【解析】 对于本题，可以通 过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一
等量关系，将每一个小圆圈中的数表 示出来．由于每一条直线上的数之和都为
ABC
，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。
A
B
C
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B-2C
A-C
3C
A+2C
B-C
A
2C
B
A+C
C

由于中间竖直方向的线段以及从左下角
A
出 发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都
是
ABC
，可以得到，
A BC3B3C2AC
，可得
AB2C
，代入得
2B3C 3B3C
，即
B6C
，只能是
C1
，
B6
，
AB2C8
，则
ABC86148

【答案】
ABC86148


【例 10】 下图中 有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直
线上所有数的和相等．求这 个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
﹡

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设每行的和为
S
，在左下图中，除 了
a
出现2次，其他数字均只出现了1次，并且
每个数字都出现了，于是有
4 S(123L11)a66a
；
﹡
﹡

在右上图中除了
a
出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是 有
5S(123L11)4a664a
．

4S66 a
综合以上两式，

，解得
a6
，
S18
．
5S664a

考虑到含有*的五条线，有
4(123L1 1)t18590
，即
4t24
．
可见
t
是4的倍数，在1～11间可能为4和8，但
t
为8时

也为8，重复．所以
t4
，
7
．
即每行相等的和为18，标有*的圆圈中所填的数为7．
最终的填法如右下图．
a
a
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5
t
﹡
4
2
11
1
7
10
8
6
9
3

5
4
2
11
1
7
10
8
9
3

6
【答案】

【例 11】 “美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数 的
和都是15。如果学比美大，美比园大，那么，园表示 。

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）
【解析】 首先找出从
1
到
7
中四个数之和为
15
的有以下四组：①
1
、
2
、
5
、
7
；②
2
、
3
、
4
、
6
；③
1
、
3
、
4
、7
；④
1
、
3
、
5
、
6
需要 从其中选出
3
组，其中每两个组间
都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析 发现这三组可为①、③、④或
②、③、④，当这三组数为①、③、④时即
1
，
2
，
5
，
7
；
1
，
3
，
4
，
7
；
1
，
3
，
5
，
6
．其中①、③公有的是
1
，
7
；①、④公有是
1
，
5
；③、④公有
1
，
3
，即
“妙，花，数”应为
3
，
7
，
5
其中之一．则剩下数字
2
，< br>4
，
6
应为美、学、园
其中之一．又因为学

美
园，所以学
6
，美
4
，园
2
．当这三 组数为②、③、
④时同样的方法可分析出园
2
．
美5
妙1
的3
学7
花4
园2
数6

【答案】
2


【例 12】 图2中的五个问号分别表示五个连续 的自然数，它们的和等于130，三角形内两
个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两 个数的和等于50。那么，
从左向右，这五个问号依次是
？？？？？

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分
【解析】 根据题意答案为：25，28，27，24，26
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【答案】25，28，27，24，26

【例 13】 右图是大 家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将
1:9
分别填入五个圆相互分割的九
个部分，并且 使每个圆环内的数字之和都相等．

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设每个圆内的数字之和为
k
，则五个圆内的数字之和是
5k
，它等于
1:9
的和
45
再
加上两两重叠处的 四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是
123410
，最大是
67 8930
，所以，
5k453075
，

5k45 1055
，即
11k15
．当
k11
，
13
，
14
时可得四种填法(见右下图)．
8
6
3
7
1
4
5
3
6
5
28
1
4
2
9
8
4
6
1
7
3
2
8
6
5
2
3
1
9
9
5
abc
d
7< br>9
7
4

当
k15
时，如右上图，设两两重叠处的 四个数分别为
a
，
b
，
c
，
d
，由上面的 分析可知，
a
，
b
，
c
，
d
分别为
6
，
7
，
8
，
9
，由于
6915< br>，
7815
，那么，不论
a
为多少，最
左边的数总是会与
b
，
c
，
d
中的某一个相同，矛盾．所以当
k1 5
时没有符合题意的填法．
当
k12
时，
abcd12 54515
．如果
a
，
b
，
c
，
d
中有一个数为
3
，比如
a3
，
那么
bcd 12
，这样与
b
，
c
在同一个圆内的那个数将与
d
相同．可见
a
，
b
，
c
，
d
都
不 能为
3
．如果
a
，
b
，
c
，
d< br>中至少有
3
个数大于
3
，那么它们至少为
4
，
5
，
6
，另一个
数至少为
1
，它们的和将不小于
145616
，矛盾．所以
a
，
b
，
c
，
d
中至少有
2
个数
小于
3
，这
2
个数只能为
1
和
2
，那么另两个数之和为
12
．如果这两个 数中有一个为
a
或者
d
，
那么最左边或者最右边的数将与
a
，
b
，
c
，
d
中的某一个相同，矛盾；如果这两个 数为
b
和
c
，那么与
b
，
c
在同一个圆内 的那个数将只能为
0
，这也不可能出现．所以当
k12
时也
没有符 合题意的填法．
【答案】当
k11
，
13
，
14
时可得四种填法
8
6
3
7
1
4
5
3
6
5
28
1
4
2
9
8
4
6
1
7
3
2
8
6
5
2
3
1
9
9
5
7
9
7
4


【例 14】 2008年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表
五个连续的 自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”
=“北”+“京”。这五个自 然数的和最大是 。
奥
北
运
京
会

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【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第2题）
【解析】 不妨设最小一个数是 x，那么这5个数是x，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对
应，但无论怎么样，列出的 方程一定是这个形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）
+（x+e），其中a、b 、c、d、e分别是0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），
如果连续5个 自然数最大，那么最小的那个自然数也必须取得最大，显然减号前是
3、4，减号后0、1、2时，x取 得最大值4，所以这5个数是4、5、6、7、8，和
为30
【答案】
30


【例 15】 如图，
A
，
B
，
C
，< br>D
，
E
，
F
，
G
，
H
，< br>I
代表九个各不相同的正整数，且
每个圆中所填数的和都等于
2008
。这九个数总和最小为 。

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分
【解析】 假设
9
个数总和是
M
，则
MABCDEFGHI
, 上面三个环的总
和为：所以当
CG12
时，总和最小为
20083 36027
。

32008MCG
，
【答案】
6027


【例 16】 如图，
A
，
B
，
C
，
D< br>，
E
，
F
，
G
，
H
，
I< br>代表九个各不相同的正整数，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
，
H
，
I
的总和是
2008
，并且每个圆中所填的数和都
等于
M
。
(1)
M
最大为多少？
(2)
M
最小为多少？

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第11题，15分
【解析】 上面三个环里数的和为3M
，
3MCG2008
，
3M2008CG
，所 以
M
最
大可以取
668
，此时
C
，
G分别为
1
，
3
。五环的和是
5M2008BDFH< br>，
要使
M
最小，只要取
BDFH
最小为
12< br>，此时
M404
。
【答案】最大
668
，最小
12


【例 17】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格
中所填的数字和等于该 箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，
ABCD20,
且到写有另一 个给定数字的格为止）。例如：
EFGHCI22,
当填写完
JKM N19。
后，字母C处所写的数字是_____________。
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23
20
19
10
27
22
20
24
28A
EFGH
C
J
KMN
26
20
D
I
6
9
B
10

A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复试，7题
【解析】
l
3
l
4
C
，提示：在下图中，直线
l
1
上的
6
个数之 和是，只有
12345722
，
直线
l
2
上的
5
个数之和是
35
，只有
5678935
，所以
G
等于
5
或
7
；

直线
l3
上的
4
个数之和是
12
，只有：
12361 2
或
124512
，再考虑到
G
等于
5
或
7
，得到
G5,M1
或
2
或
4
。直线
l
4
上的
3
个数之和是
20
，并且
M1
或
2
或
4
，只有
47920
，所以
M4
，再考虑到
l
1
上的数不大于
7
，所以
C 7
。下图是一种填法（填
法不唯一）。
35
23
20
12 26
19
10
27
22
20
1
9
2
1
5
9
8
5
7
6
5
2
4
3
9
4
9
7
10
1
1
4
320
6
2
1
9
8
7

3
1
2
2428
【答案】C=7。

【例 18】 用数字
1
至
9
填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每 一行，每一
列（相连或不相连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分
【解析】 如图
1
， 因为
a
、
b
、
c
、
d
所在列已经出现8
，所以
a
、
b
、
c
、
d
不 等于
8
，
在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知
e8
，那么
g
、
f
不等于
8
，而在
h
、
i< br>所
5-1-3-2.数阵图.题库 教师版 page 10 of 11

在的列中出现了数字
8
，所以
h
、
i
不等于
8
，那么
j8
，之后用同样的方法 可以得出结果
如图
2
。
h
4
g
f
9d
e
1
7
c
9
5
ji
b
3< br>a
8
6
3
6
2
8
1
7
9< br>9
1
3
8
5
4
9
6
2
4< br>3
5
8
1
7
6
2
4
1
6< br>5
3
8
2
9
5
8
7
1
2< br>3
76
4
4
5
8
2
16
3
7
9
2
8
7
3
图1
7
6
1
5
4
图2

【答案】


【例 19】 用l —9填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，
每一列(包括不相连的行，列 )及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次．

【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第10题
【解析】 解题顺序如第二附图，依照A、B、C、D……的顺序.


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