消防工程施工合同-专业技术工作小结

定义新运算



教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算
规则 ，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的
运算 符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子
代入 数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨
一 定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思 路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运
算过程、规 律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？ 主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际
就是两个数与一个数的一种对应方法，对 应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两
个数，通过这个法则都有一个唯一确定 的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.
在这一讲中，我们定义了一些新的运 算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类

1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合

例题精讲
模块一、直接运算型

【例 1】 若
A*B
表示

A3B



AB

，求
5*7
的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘
积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】
312


【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1 ）÷b得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
7


【巩固】 设
a
△
ba a2b
，那么，5△
6
______，(5△2) △
3
_____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
5△6552613
【解析】

5△2552221
,
1△321216435

【答案】
435


PQ
【巩固】
，求3
*
(6
*
8)
P
、
Q
表示数，
P*Q
表示
2
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
6837
【解析】
3*(6*8)3*()3*75

22
【答案】
5


【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,
abab2
,那么
4

(68)(35)


.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式
4[(681)(352)] 4[1313]4[13131]425
425298

【答案】
98


MN
表示
(MN)2,( 20082010)2009
____
【巩固】
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 原式

< br>

20082010

2


*20 092009*2009

20092009

22009

【答案】
2009


【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b ，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a么，（2☆ 3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 19
【答案】
19


【例 2】 “△”是 一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2< br>＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，
可得c=1,d=2
6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】
2006


【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号

的含义是：a
< br>b＝
果1

4＝2

3，那么3

4等于_ _______。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 根据1

4=2

3，得到
【答案】

【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：
xy=
6xy
,求2△9。
x2y
mab
（m是一个确定的整数）。如
2ab
m14m 2363411

。 ，解出m=6。所以，
34
21422323412
11

12
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】北京市 ，迎春杯
6xy
6292
【解析】 根据定义
xy=
于是有
295

x2y
2295
2
【答案】
5

5

【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：
xy

21
11

，已知
xy

x1

yA

112

，求
19981999
。
21

21

1A

3
【考 点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
12111
,,

21

1A

 6,A1
，所以
【解析】 根据题意得

21

1A

32

21

1A

6< br>19981999
111120001998

1998199 9

19981

19991

19981999 19992000199819992000
39981

1998199 92
1
【答案】

1998000

【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
([18][22])[7]
= .

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为
1823
2
有
(11)( 21)6
个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
原式
(64)25
.
【答案】
5


【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有 2,3,5共3个.那么
<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,1 9共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,
所以，原式=<<19>+<93> >=<8+24>=<32>=11.
【答案】
11


【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例
如: 4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.
【答案】
42


【例 5】 我们规定：符号

表示选择两数中较大数的运算，例如：5

3=3

5=5，符号△表示选择 两数

1523
(0.6)(0.625)
2335
的结果是 多少？ 中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：

3411
(0.3 )(2.25)
996
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算

152325
31
( 0.6)(0.625)
233538

24

1

【解析】


34111931
2
(0.3)(2 .25)
9963412
1
【答案】

2

【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的 运算。计算下式：（[7◎3）
& 5]×[ 5◎（3 & 7）]
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30
【答案】
30


【巩固】 我们规定：A
○
B表 示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则

10△86△5



11○13+15△20

=

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，决赛
10△86○5



11○13+15△20

=

86



1315

=228=56
【解析】 根据题目要求计算如下：


【答案】
56


【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【解析】

【答案】
218


【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的 个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G
（6）=4，则G(36)+G(42) = 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 36的约数有：1、2、3、 4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所
36） G（42）9817
。 以有
G（
【答案】
17


【巩固】 如果
a&bab10
,那么
2&5
。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
2.5


【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的 编码取为
244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关 于9的补码，
例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，六年级，决赛

【解析】 偶数位自左至 右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、
1，所以“ 华杯赛”新的编码是：254948903981
【答案】
254948903981


【例 8】 羊和狼在一起 时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=
羊；羊△狼=狼；狼△ 羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼
在一起还是狼，但是狼与羊在一 起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另
一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊； 羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思
是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼 ，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它
便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运 算作混合运算，混合运算的法规是
从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果： 羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△
狼)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】 因 为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△
狼总等 于狼，所以 原式=狼
【答案】狼

【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗
规定：警察小偷

警察，警察小偷

小偷．


那么：（猎人小兔）（山羊白菜）


．

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜
【答案】白菜

模块二、反解未知数型
【例 10】 如果a△b 表示
(a2)b
,例如3△4
(32)44
,那么,当a△5= 30时, a= .
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 依题意,得
(a2)530
,解得
a8
.
【答案】
8


【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为4※1=
342110
,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
【答案】
9


【巩固】 如果a⊙b表示
3a2b
,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当 x⊙5比5⊙x大5时, x=
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6.
【答案】
6

【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3
－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】
6


a1
，⑴求
2(34)
的值；⑵若
x41.35
则x的值为多少？
b
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
3121
【解析】 ⑴因为
341
，所以
2(34)213

41
x 1
⑵
x41.35
，
x141.355.4,x4.4，所以x的值为4.4.
4
【答案】⑴
3
⑵
4.4


【例 11】 定义新运算为
ab
【巩固】 对于任意的两个自然数
a
和
b
，规定新运算

：
a ba(a1)(a2)
自然数.如果
(x3)23660
，那么
x
等于几？
(ab1)
，其中
a
、
b
表 示
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 方法一：由题中所给定义可知，
b
为多少，则就有多少个 乘数．
36606061
，即：60

2
3660
，
则
x360
；
60345
，即3

3< br>60
,所以
x3
．
方法二：可以先将（x

3 ）看作一个整体
y
，那么就是
y

2
3660
，
y

2
y(y1)36606061
,
所以y60
，那么也就有x

3
60
，
6034 5
，即3

3
60
，所以
x
3
．
【答案】
3


【例 12】 定义
ab
为a
与
b
之间（包含
a
、
b
）所有与
a
奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
714=(7+9+11+13)4=10
，
1810=(18+16+14+12+10)5=14
．在算术
(19 99)=80
的方格
中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
1999=(19+99)2=59
，所以方格中填的数一定大于80． 如果填的是个奇数，那么只能是【解析】
80259101
；如果填的是个偶数，那么 这个数与60的平均数应该是80，所以只能是
80260100
．因此所填的数可能是 100和101．
【答案】
100
和
101


【巩固】 如有
a
#
b
新运算，
a
#
b< br>表示
a
、
b
中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8# 3=2，9#16=7，
21#2=1.如（21#（21#
x
））=5，则
x
可以是________（
x
小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算
【关键词】101中学，入学测试
【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的
方法.
第一步先把（21#
x
）看成一个整体
y
.对于21#
y< br>
5，这个式子，一方面可把21作被除数，则
y
等 于（21-5）

16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数， 这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y
所 代表的式子（21#
x
）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每 一个数的，也就是余数必

须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些
y
的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#
x
）

8与（21#
x
）
16.对于（21#
x
）

8可分别解得，把21作被除数时 ：
x

13，


把21作除数时为：
x
29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.
对于（21#
x
）

16 ，把21作被除数无解，21作除数时同 理可得：
x

37，58……所有形如21N+16
这样的整数.（N是正整 数）. 所以符合条件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．

{y}y20.09
；
{x}
表示
x
的【例 13】 已知
x
、
y
满足
x[y]2009
，其中
[x ]
表示不大于
x
的最大整数，
小数部分，即
{x}x[x]，那么
x
。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，第3题
【解析】 根据题意，
[y]
是整数，所以
x2009[y]
也 是整数，那么
{x}x[x]0
，由此可得
y20.09x{}20. 09020
[y]20
，
x2009[y]2009201989。 ，所以
【答案】
1989


【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+
A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值
为 ．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 分类讨论，由于题目中所要求 的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3
类不同的范围，A小于3，A大于等于 3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来
共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论 。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当A≥5，3≤B＜5 ，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与
36两种 ；
7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；

8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；

9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45

模块三、观察规律型
【例 15】 如果 1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由 a组成，都由一个数位，
依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】
3075


【巩固】 规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】
86415


【例 16】 有一个数学运算符号

，使下列算式成立：
3351
，
1972
，求
573?

248
，
531
，
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 通过对
248
，
5313
，
3511
，
9725
这几个算式的 观察，找到规律：
，因此
【答案】
17


【巩固】 规定
a
△
b
a(a2)(a1)b
, 计算：（2△1）



（11△10）

______.
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要 求
的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1
代入原定义．
a△b
a(a2)(a1)b
就变成了a△b< br>a(a2)(a1)(a1)
a
2
．所以2△1
2
2
，
111223
3△2
3
2
，……，3△ 2
11
2
，则原式
2
2
＋
3
2
＋
4
2
＋…＋
11
2
1505
．
6
n(n1)(2n1)
这里需要补充一个公式：
1
2
2
2
3
2
4
2

．
n
2

6

【答案】
505


【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为
S

n

，为偶数的那些数字的和记为
E

n

，例如
S

134

134
，
E

134

4
．
S

1

S

2

S(100)
；
E(1)E(2)E

100

＝ ．
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次， 在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出 现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
400


模块四、综合型题目
【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，
31
△

1
，根据这几个算式找规律，如果
44
5
△
x
=1，那么
x
= .
8
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以
51

5

△x=
< br>x


2

1
，即
x

88

8

1
【答案】

8

【例 19】 如果
a
、
b
、
c
是3个整数，则它 们满足加法交换律和结合律，即
⑴
abba
；⑵
(ab)ca(bc)
。
现在规定一种运算，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：
(a,b)*(c,d)(acbd,acbd)
。
例：
( 4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)

请你举例说明，运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)
(2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)
所以“*”不满足结合律

【答案】 “*”满足交换律
“*”不满足结合律

【例 20】 用

a

表示a
的小数部分，

a

表示不超过
a
的最大整 数。例如：
记

0.3

0.3,

0.3
0;

4.5

0.5,

4.5
4


f


1




,

f

3



1




;

f
1


,


f

1


的值。
3


f(x)
x22x1
，请计算
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1

【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连
的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每
一个圆圈中 的数据(或运算)都是按中→左→右的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2
－1。图C中表示的式子的运算结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试

【解析】 “教研龙”认为 第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个
圈为2，第四个圈为4 2+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
2


6422 2
222
表示成
f

64

6
;
24333333
表示成
g

243

5
. 【例 22】
试求下列的值:
(1)
f

128



(2)
f(16)g()

)g(27)6
; (3)
f(
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:
f(xy)f(x)f(y)
.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)
f(128)f2
7
7
;
44
(2)
f(16)f

2

4g

3

g(81)
;
(3)因为
6g(27)6g

3

633f

2

f(8 )
,所以
f(8)g(27)6
;
33
(4)略
【答案】(1)
7
(2)81 (3)
8

(4) 令
x2
m
,y2
n
,
则
f(x)m,f(y)n
.
mnm

f(xy)f2 2f

2

n
mnf()x
.
f()y

【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x ※y=
axbycxy
,其中的
a,b,c
表示已知数,等式
右 边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算
m0
【解析】 由题设的等式x※y=
axbycxy
及x※m=x(m≠0),得
a0bmc0
, 所以bm=0,又m≠0,

a2c3
故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得


2a6c4

解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.
【答案】
4


【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，
根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，
l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此
要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，
通过（2*3）△4=64求出 k的值.
因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以 有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

m2

m1


m3


，


2
（舍去）

n2n1n


3

①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
77
有36k=64，解出
k1
，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，
k1
这组值应舍去。
99
所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】
10


【例 24】 对于任意的两个自然数
a
和
b
，规定新运算

：
a

b
a(a1)(a2)(ab1)
，其
中< br>a
、
b
表示自然数.⑴求1

100的值；⑵已知
x

10

75，求
x
为多少？⑶如果（
x
3）

2

121，
那么
x
等于几？
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⑴1

100

1234(11001)5050

(x101)10x45
75,解得x

3 ⑵x
< br>10

x(x1)(x2)(x3)

⑶方法一： 由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．
1216061
，即：60

2

121，
则x

3

60；
60192021
，即19

3

60,所以x

19．
方法二：可以先将（x

3）看作一个整体y，那么就是y

2

121，y

2
y(y1)121
,
1216061

所以y

60，那么也就有x
< br>3

60，
60192021
，即19

3< br>
60，所以x

19．
【答案】
19


【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉ 25=4,6☉8=2. （8
级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注 意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1) x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26
x1927
=45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表 明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45.
【答案】(1)
9
；
3
；
1
(2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45.

ab
【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※b

.
ba
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
23133425
【解析】 (1)按照定义有2※3

,3※4

.于是
3264312
13
25
41324745252< br>12
24251201
13
(2※3)※4

※4=
6

.2※(3※4)=2※.

4
13
241331212
25
22524600
6
612
a3
( 2)由已知得
2
①
3a
aa3
若a≥6,则
≥2,从 而
2
与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中 检
33a

查知,只有a=3符合要求.
7451201
【答案】(1) (2※3)※4

；2※(3※4)

.
312600
(2) a=3

【巩固】 定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)略
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为
6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x
.
所以
x15
.
【答案】(1)
81
；
10

(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最
小
公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,
整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.
(3)
x15


【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知 ：2⊙3

234
；7⊙2

78
：3⊙5

34567
，……
按此规则，如果n⊙8

68，那么， n

____.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则： ⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，
(2)
⊙后面的数表示加数的个 数，于是
n(n1)n
n5

(n3)n(4)
.
6
n(
，
7
即
6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
【答案】
n5


【例 26】 喜羊羊喜欢研究数学，它用计算 器求
3
个正整数

ab

c的值。当它依次按了
a,,b,,c,,
得
到数字
5
。而当它依次按
b,,a ,,c,
时，惊讶地发现得到的数值却是
7
。这时喜羊羊才明白计
算器先 做除法再做加法。于是，她依次按

,a,,b,

,,c,
，得到了正确的结果为 。
（填出所有可能情况）
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题
【解析】
a
ba

5
，
b7
，则
acb5c
，
bca 7c
，则

ab

1c

12c
，

ba

c1

2c

cc< /p>

ab12ab1212
，

c1

|2
，
c2
或
3
，
4
或
3

c1cc34
【答案】
4
或
3

则

【例 27】 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、 出版社和
书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：< br>某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
1961117
1192
。
9
；
所以该书号的核检码是2.
【答案】
2


【例 28】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1
中的路线对 应下面的算式：
121221216
.请在图2中用粗线画出对应于算式：< br>21222111
的路线．
B
BB
A
AA

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2003年，希望杯
【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格 要
减去2，向右前进一格要加上2.
【答案】