证券从业人员资格考试成绩查询-教师资格证考试试卷

5-8-2.进制的应用

教学目标

1. 了解进制；
2. 会对进制进行相应的转换；
3. 能够运用进制进行解题


知识点拨


一、数的进制

1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计 数法外，还有其他的大于1
的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用 两个数字0和1。二进制的
计数单位分别是1、2
1
、2
2
、23
、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：
(1 00110)
2
=1×2
5
+0×2
4
+0×2
3
+1×2
2
+1×2
1
+0×2
0
。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一 得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n
0
=1。

3.
k
进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，
L
，共k个数码组成，且“逢k进一”．
（（k1）kk1）
进位制计数单位是k
0
，
k
1
，
k
2
，
L．如二进位制的计数单位是
2
0
，
2
1
，
2< br>2
，
L
，八进位制的计数单位
是
8
0
，8
1
，
8
2
，
L
．

4.
k
进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
nn1
（ a
n
a
n1
La
1
a
0
）La1
ka
0

k
a
n
ka
n 1
k
十进制表示形式：
Na
n
10
n
a< br>n1
10
n1
La
0
10
0
； < br>二进制表示形式：
Na
n
2
n
a
n1
2
n1
La
0
2
0
；
为了区别各进位制中 的数，在给出数的右下方写上
k
，表示是
k
进位制的数
（352） （1010）（3145）
如：
8
，
2
，
12
,分 别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．

5.
k
进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为
k
进制数的方法是：除以k
取余数，一直除到被除数小于
k
为止，余数由下到上
按从左到右顺序排 列即为
k
进制数．反过来，
k
进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k
进制数按
k
的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:

八进制

十进制 二进制
十六进制

例题精讲


模块一、进制在生活中的运用

【例 1】 有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不 想付。可是不付
又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环。对长工说：“我不是要拖欠工资， 只是想连这
一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本 人说话，
从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总 是分
文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的< br>一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提
到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”
当 长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，
顺利地拿 到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 断开第三环，从而得到1，2，4环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以 一换二，第三个月取一
环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一 环。
【答案】
1
，
2
，
4


【巩固】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因为砝码的 克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，
2 3=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数
是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)1 0，这就是说1
至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。
【答案】
31


【例 2】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快
满足顾 客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把
茶叶先称出若 干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼
里，立即学习，可是 柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。
于是有员工去取经，发现 最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256。你能
解释一下其中 的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】由于
1(1)
2
,2(10)
2
,4(100)
2
8(1000)
2
,16(10000)
2
,32(100000)
2
LL观察一下你会发现最佳员
工：所取的数字与二进制中的
(1)
2
,(10 )
2
,(100)
2
,(1000)
2
,(10000)< br>2
,(100000)
2
LL
对应，而我们所要的3，
5，6 ，7，9，
LL
等等数字都可以用这些二进制相加得来，老师可以在黑板上给学生列竖式演示此
道理，说明取1，2，4，8，16，32，64，128，256的道理。

【巩固】 如果只考虑100克以内的重量，至少需要多少包？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 至少需要1，2，4，8，16，32，64（7包）
【答案】至少需要1，2，4，8，16，32，64（7包）

【巩固】 如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可。
【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可

【巩固】 古代英国的一位商人有一个
15
磅的砝码，由于跌落在地碎成
4< br>块，后来，称得每块碎片的重量都是
整磅数，而且可以用这
4
块来称从
1
至
15
磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。
那么这< br>4
块砝码碎片各重 ， ， ，
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第15题
【解析】 因为二进制数可以表达所有的自然数，而且表达形式是唯一的，例如：
9=1+8< br>，
31=1+2+4+8+16
……
所以只要准备质量为1,2,4,8的二进 制数砝码即可。
【答案】1,2,4,8

【例 3】 有10箱钢珠，每个钢珠 重10克，每箱600个.如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9
克，那么，要找出这箱次 品最少要称几次?
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将10箱钢珠分别编为1～10号， 然后从1号箱中取1个钢珠，从2
号箱中取2个钢珠……，这样共取了
123456 78910=55
（个）钢珠，重量是：
，如果轻了n(1≤n≤10)克，那么第几 号箱就是次品.在这个方法中，第10号箱也可
5510=550
（克）
不取，这样 共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品.
总结：不同 的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，
反之，也是。

【例 4】 小马虎将一些零件装箱，每个零件10g，装了10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次
品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？
【考点】进制在生活中的运用 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从 2
号箱中取2个钢珠，从3号箱中取4个钢珠，从4号箱中取8个钢珠……从10号箱中取512个钢珠 ，
共取出1+2+4+8+…+512=1023个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重1023 0克，如果轻了
n(1≤n≤10)克，就看n是由1，2，4，8，16，…512中的那些数字组成 ，则数字对应的那些号箱就是
次品.在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出511个钢珠，如 果重500克，那么1，2，4
号箱是次品。

【例 5】 计算机存储容量的基本 单位是字节，用B表示，一般用KB、MB、GB作为存储容量的单位，它们
之间的关系是1KB=2
10
B，1MB=
2
10
KB，1GB=
2
10
MB。小明新买了一个MP3播放器，存储容量为
256MB，它相当于_____B。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 256MB=256 ×
2
10
=
2
18
KB=
2
28
B
【答案】
2
28
B


【例 6】 向电脑输 入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字。现在页面中有1个五号字，将它复制后粘
贴到该页面， 就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴
为1次操作，要使整 个页面都排满五号字，至少需要操作 次。
【考点】进制在生活中的运用

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，复赛，第
7
题，
4
分

【解析】 2的10次方为1024，2的11次方为2048，所以需要操作11次。
【答案】
11
次


【例 7】 成语“愚公移山”比喻做 事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿
子，他的两个儿子又分别有两 个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头。如
果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完。（已知10个2连乘之积等于1024）
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 设到了第n代，这座大山可以搬完
2
0
+2
1
+2
2
+……+2
n
-1
≥800000÷100
2
n
-1≥8000
2
n
≥8001
2
12
=4096，2
13
=8192
答：到了第13代，这座大山可以搬完。
【答案】
13
代

【例 8】 4567890……1234567890,共10000个数字。第一轮去掉在奇数位置 （从
左数起）上的数字，剩下5000个数字;第二轮再去掉这5000个数字中奇数位置上的数字，剩 下2500
个;第三轮，……;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是__ ,这时已经操作了 轮。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，12题
n13
【解析】 最后剩下的数是接近1 0000的2。已知2=8192，
8192108192
，第二个数正好就是2。另外 ，
n
根据操作规律，每2个数，操作n次剩下最后一个数，所以，操作13次。
【答案】
2
，操作
13
次

【例 9】 10个 砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为
_______ __克。
【考点】进制在生活中的运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第7题
【解析】 由于无论怎样放都不能使天平平衡，首 先可以知道这10个砝码的重量各不相同。最轻的那个砝码至
少为1克，次轻的至少为2克，由于
123
，接下来的至少为4克，……由此想到我们熟悉的2
的次幂，当10个砝码的重量 分别为1克，2克，4克，8克，16克，……，512克时满足题意，所
以这堆砝码的总重量至少为< br>1248L5121023
克。
【答案】
1023
克

【例 10】 将6个灯泡排成一行，用
○
和
●
表示灯亮 和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个
数字：1，2，3，4，5。那么
●○○ ●○●
表示的数是 。
●●●●●○
●●●●○●
● ●●●○○
●●●○
●●
●●●○●
○
1
2
34
5
【考点】进制在生活中的运用

【难度】
5
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛，第
16
题，
5
分

【解析】 从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯 亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示
4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯 亮表示32。因此问题当中的表示16+8+2=26。
【答案】
26


模块二、巧求余数问题

【例 11】 已知正整数
N
的八进制表 示为
N()
8
，那么在十进制下，
N
除以7的余数与
N< br>除以9
的余数之和是多少？
【考点】巧求余数问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2009年，清华附中，入学测试题
【解析】 与十进制相类似，有：
()
8
(111111)
8
2
．
根据8进制的弃7法，
(111111)
8
被7除的余数等于其各位数字之和 ，为6，而
6
2
36
除以7的余数
为1，所以
(1111 11)
8
的平方被7除余1，即
()
8
除以7的余数为1；
另外，
9(11)
8
，显然
(111111)
8
能被< br>(11)
8
整除，所以其平方也能被
(11)
8
整除，即()
8
除
以9的余数为0．
因此两个余数之和为
101
．
【答案】
1


【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
【考点】巧求余数问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】人大附中，分班考试
【解析】 类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃 7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这
个数的各位数字之和除以7的余数．
本 题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余
数也 为5．
【答案】
5


【例 12】 试求
2
2006
1

10
除以992的余数是多少?
【考点】巧求余数问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：


2006
9921111100000
一定能被
111L1

我们知道在2进制中

111...10000...0
10

2
，
21
10

< br>3


123


1231424


2006个1

2

5个15个或以上0

2


(1111100000)2整除，所以

111L1

=

111...1000...0111111

， 因为

111...1000...0

能被

123< br>

123123

123123


2 006个1

2

2000个16个0

2
2000个16个0

2

(1111100000)2整除，所以余 数为

111111

2
=2
5
2
4< br>2
3
2
2
2
1
2
0
=63
，所以原式的余数为63。
【答案】
63


【例 13】 计算
(2
2003
1)
除以7的余数．
【考点】巧求余数问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由于
2< br>3
8
除以7余1，而
20033667L2
，所以
2< br>2003
1
除以7的余数为
2
2
13
． 本题也可以转化为2进制进行计算：
2
2003
1(111
12L
3
1)
2
，
7(111)
2
，
2003个1
所以
(2
2003
1)7(111
12
L
3
1)
2
(111)
2
．
2003个1而
20033667……2
，所以
(111
12
L
3
1)
2
(111)
2
余
(11)
2
 3
．
2003个1
所以
(2
2003
1)
除以7的余数为3．
【答案】
3

【例 14】 计算
(3
2003
1)
除以26的余数．
【考点】巧求余数问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成3进制下的数再进行计算．
3
2003
1(1000...
142
L
43
2)
3
，而26(222)
3
，
14243
0)
3
(1)< br>3
(222
2003个0
2003个2
所以，
(3
2003
1)26(222
142
L
43
2)
3(222)
3
．
2003个2
由于
(222)
3< br>整除
(222)
3
，
20033667L2
，所以
(222
142
L
43
2)
3
(222)
3< br>余
(22)
3
8
．
2003个2
所以
( 3
2003
1)
除以26的余数为8．
【答案】
8


模块三、进制与位值的综合运用

【例 15】 在美洲的一个小镇中， 对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进制中的147在20
进制中的读音是“sey th ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，
那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第12题
【解析】
147）（（77）（4 9）（29）
10

20
，
10

20
， 所以ha代表十位，ugens代表个位，dew代表9，naw代表2。
（92）
20
=（182）
10
，所以答案是182.
【答案】
182


【例 16】 一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是 ，最大是 。
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第9题
【解析】 最大为2007×3=6021，最小为2007.
【答案】最小
2007
，最大
6021


【例 17】 在6进制中有三位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在 十进制中为多少?
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
abc

6
a6
2
b6< br>1
c6
0
36a6bc
；
cba
9
c9
2
b9
1
a9
0
81c 9ba
；
所以
36a6bc81c9ba
；于是
3 5a80c3b
；
因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，
又(3，5)=1．所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则7a=16c； (7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，
不可以有一个数字为 16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0 。所以c=2或者2+7k(k为整数)．因
为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2 ；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6 =(552)6
=5×62+5×6+2=212。这个三位数在十进制中为212。
【答案】
212


【例 18】 在7进制中有三位数
a bc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少？
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 首先还原为十进制：
(abc)
7
a7
2
b7c49 a7bc
；
(cba)
9
c9
2
b9a8 1c9ba
．
于是
49a7bc81c9ba
；得到
48a80c2b
，即
24a40cb
．
因为
24a< br>是8的倍数，
40c
也是8的倍数，所以
b
也应该是8的倍数，于是< br>b0
或8．
但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是
b0
，
24a40c
，则
3a5c
．
所以
a
为5的倍数，
c
为3的倍数．
所以，
a 0
或5，但是，首位不可以是0，于是
a5
，
c3
；
所以
(abc)
7
(503)
7
5493248
．

于是，这个三位数在十进制中为248．
【答案】
248


【例 19】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年
龄．
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 ①设这个 人为
a
岁，得
a
(10)
a0
(3)
，又
a0
(3)
a3
1
03
0
3a
(10 )
，解得
a0
，不合题意，所以这
个人的年龄不可能是一位数．
②设这个人是
ab
岁，由题意得：
ab
(10)
ab0
( 3)
．
因为
ab
(10)
10ab,ab0
(3)< br>a3
2
b3
1
03
0
9a3b，所以
10ab9a3b
，即
a2b
．又因为
ab0< br>是三进制数，
a
，
b
都小于3，所以
a2
，
b1
．所以，这个人为21岁．
③设这个人为
abc
岁，由题意有，< br>abc
(10)
abc0
(3)
，因为
abc
(1 0)
100a10bc
，
abc0
(3)
a3
3
b3
2
c327a9b3c
，所以
100a10b c27a9b3c
．即
73ab2c
．又
a
、
b
、
c
都小于3，所以上述等式不成立．所以这个人的年龄不可能是三位数．
综上可知这个人的年龄是21岁．
【答案】
21


【例 20】 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．
【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 设b是所 求的最小正整数，
7b
2
7b7x
4
xN

，因为质数7能整除
7b
2
7b7
，所以也能整
除x，不妨设
x7m
，m是大于0的自然数。则：
7b
2
7b7

7m

，化简得：
b
2
b17
3
m
4
，
易知，b的值随m的增大而增大，当m=1时，b=18。
【答案】
18









4
