崇左人事考试网-安徒生童话读后感

5-1-3-3.数阵图

教学目标

1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

知识点拨

.
一、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻 方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵 图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关
键点上所填数的范围 ；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方
法的综合运用．
例题精讲
数阵图与数论

【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差
数列的 各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．
【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题
【解析】 设 顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A 、B、C、D、
E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10= 35.设所形成的等差数
列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55， 得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，
且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分 别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情
况，公差分别为2、1、0.
【答案】
2
种可能

【例 2】 将
1~9
填入 下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是
3
，
5
，
7
的倍数．

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据题意可知
1
的两边只能是
3
与< br>7
；
2
的两边只能是
6
与
9
；3的两边只能 是1、5或8；4的两边只
能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4 的后面只能是9，9的后面只
能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还 剩下5和8两个数．由于
6814
是
7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得： 3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法
符合题意．
【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3

【例 3】 在下面8个圆圈 中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下
一个圆圈， 这个圆圈中若填n(n≤8)。则从这个圆
圈开始顺时针走
n
步进入另一个圆圈．依此 下
去，走
7
次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写
8
．请给出两种填法．

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分
【解析】 按顺时针方向：1,2，5 ,3，8，7,4，6或1,5,2，4，8，6，7,3或1,6,2,3，8，5，7，4或1,6，4，2 ，8，
7，5，3 (答对任一种给6分，总得分不超过12)由于无论如何填8都是最后一个填写，而 填之前，已
经走过了28步，因为 28÷8=3余4，即8永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算， 从1到8顺序
填写发现可以，此时从1顺时针为1、2、5、3、8、7、4、6；逆推：8前面的一个 填有2、3、5、6、
7共5种可能。假设为2，如上图，再往前一个数有3、4、5、7共4种可能 ，设为3，再前推一个
数可能是4或6，设为4，…依次类并排除错误的选择，可得1、5、2、 4、 8、6、7、3。
【答案】1、5、2、 4、 8、6、7、3。

【例 4】 在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、
6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第4题
【解析】 共6种

【答案】

【例 5】 图中是一个边长为1的正六边形，它被分 成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填
入7个圆圈之中．相邻的两个小正三 角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，
填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位 置上（例如：
abgfA
）．已知A、B、C、D、E、
F依次分别能被2、 3、4、5、6、7整除，那么
agd
___________．

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第12题
【解析】 先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数 ，7个数被3除的余数分别为1、0、2、1、0、2、1，可以得到
中间数g8或14，同样分析5 的倍数，7的倍数，得到具体的填法（如图），agd4810320
评注：采用余数分析 法，找到关键数的填法。
1
3
2
6
11
20
14
F
E
0
4
A
8
D
10
B
C
6
12

【答案】
320


【例 6】 在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。请问这
样 的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。

16


4
【考点】数阵图与数论【难度】星【题型 】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第18题，10分
【解析】 图中共有4个不同的 数，每个数除以3的余数只可能有0、1、2三种，根据抽屉原理可知，这4个
数中必然至少存在一对同 余的数，那么这两个数的差必然为3的倍数，故不存在这样的填法。
【答案】不存在这样的填法


【例 7】 如图
ABC
被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：(1)任
23
何 两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如：和是互为倒数)；(2)四个小三角形里的数字的
32< br>乘积等于225。
则中问小三角形里的数是

A
B
C
【考点】数阵图与数论

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，初赛，第
3
题，
6
分

【解析】 四个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是 1,但
1
其中中间的数被乘了3次,如果只乘1次那么积为225，所以中间的数是.
15
1
【答案】

15

【例 8】 （2010 年第8届走美杯3年级初赛第8题）
2010
年是虎年，请把
1~11
这11
个数不重复的填入虎
额上的“王”字中，使三行，一列的和都等于
18


【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 三个答案均可
8
1
5
62
7
4
3
115
10
7
9
6
1
4
2
8
3
10
9
11

7
1
4
10
52
8
11
639

三个交叉点数的和是：

12L11

4186
，只能是
6123
。剩下通过整数分拆即可得到如图
的三种实质不同的答案
【答案】
8
1
5
62
7
4
3
1 15
10
7
9
6
1
4
2
8
310
6
95
11
7
1
4
2
8
39
11
10

【例 9】 将1～9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使 得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可
得到12个不同的和）。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第4题，8分

【解析】 答案不唯一。例如：
【答案】


【例 10】 在 棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。右图中A有3个相邻的方格，而B有8个相
邻的方格。 图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如3表示相邻的方格中有3个
偶数），每个偶数表 示与它相邻的方格中，奇数的个数（如4表示相邻的方格中有4个奇数）。请
在下面的4×4的棋盘中填 数（至少有一个奇数），满足上面的要求。

A
B
3
【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第12题，12分
【解析】 如右图
2
3
3
2
3
4
4
3
3
4
4
3
2
3
3
2
2
4
3
2
3
3
3
4
4
3
3
3
2
3
4
2
4


【答案】答案不唯一
2
3
3
2
3
4
4
3
3
4
4
3
2
3
3
2
2
4
3
2
3
3
3
4
4
3
3
3
2
3
4
2

【例 11】 在右图所示的5

5方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每 列、每条对角线上的数的和
都是30。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的2倍。
6
5
6
14
513
17
1

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第12题，12分
【解析】 提示：设填入的较小的数为
a
，则较大的数为2
a
。第一行要填的两数之和为16，最后一列要填的两< br>数之和为8，由此知第一行填入了两个较大的数，第一列填入了两个较小的数。较大的数为16÷2=8，
较小的数为8÷2

4。得到下图。
8
5
6
68 17
1
4
14
5134

其余数容易填入。

8
5
8
4
5
6
8
8
4
4
8
8
6
4
4
1
8
4
4
13
7
1
4
14
4

【答案】
8
5
8
4
5
6
8
8< br>4
4
8
8
6
4
4
1
8
4< br>4
13
7
1
4
14
4

【例 12】 请在右图所示4×4的正方形的每个格子中填入l或2或3，使得每个2×2的正方形中所填4个数的< br>和各不相同。

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第10题，12分
【解析】
1
1
2
1
1
1
3
2
1
2
3
3
1
2
3
3
1
1
2
2
1
1
3
3

1
2
3
3
2
1
2
3
【答案】答案不唯一
1
1
2
1
1< br>1
3
2
1
2
3
3
1
2
3< br>3
1
1
2
2
1
1
3
3
1< br>2
3
3
2
1
2
3


【例 13】
请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。


【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第12题，10分
【解析】 答案不唯一
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
3
1
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3


【答案】

1
1
1
1
1
1
1
2
1
11
1
1
1
2
3
1
1
1
11
2
3
3
1
1
1
1
2
33
3
1
1
1
1
3
3
3
31
1
1
3
3
3
3
3
1
13
3
3
3
3
3
1
3
3
33
3
3
3


【例 14】 在8×8 表格的每格中各填入一个数，使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数都大于3，而整
个8×8表 格中64个数的平均数都小于2．
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分
【解析】 如图所示，根据题意，在任 何一个任何一个5×5正方形中的总和应该大于75，而整个的数之和要小
于128，其中粗线格部分的 在所有的5×5的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边
的尽可能的小，则外面的60个 方格最小和为60，中间四个方格，应该小于68。在每一个5×5的正
方形内除去这4个，所有之和为 21，则中间四个数之和应该大于54，即只要中间四个数的和在54
到68之间即可。如14+14+ 14+14.其他方格里均填写1.

【答案】答案不唯一可以在粗线格里添
14
，其余方格添
1



【例 15】 将最小的
10
个合数填到图中所示表格的
10
个空格中，要求满足以下条件：
（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的 数大。那么，最后一行中
5
个数的和最小是

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 最小的
10
个合数分别是
4
，
6
，
8
，
9，
10
，
12
，
14
，
15
，
16
，
18
．这
10
个合数当中
10
和
15
一
定是在
5
的下面，其中15在最后一行；
4
、
8
、
14
、
16
一定是在
2
和
4
下面，其中14一定在2的下
面；剩下的
6
、
9
、
12< br>、
18
在
3
或
6
下面，其中
9
一定 在
3
的下面，对
2
和
4
所在的列和
3
和< br>6
所在
的列分别讨论．
4
、
8
、
14
、
16
，这四个数中最大的数
16
一定在最后一行，最小的数
4< br>一定在第二
行，所以
2
和
4
所在的列中最后一行的数的和最小 是
16824
，当
14
、
16
在
2
下 面，
4
和
8
在
4
下
面时成立；
6
、
9
、
12
、
18
，这四个数中最大的数
18一定在最后一行，最小的数
6
一定在第二行，
所以
3
和
6
所在的列中最后一行的数的和最小是
18927
，当
12
和< br>18
在
6
下面，
6
和
9
在
3
下面时
成立．所以最后一行的
5
个数的和最小是
24152766< br>。
【答案】
24152766

【例 16】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31． 如果有两位同学的编号的乘
积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至 少需要选出
人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．
【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，决赛，15题
k
2
【解析】 如果
a ，b

ab

两个编号的同学是“好朋友”，那么
abkak b
，则
ak
．
bk
b

有

3，6

；
k 2
时满足条件的

a，
b

有

4，1 2

；
k3
时满足条件的

a，
20

、

6，b

有

5，
12

；
k4
时满足条件的

a，
30

；
b

有

6，
k5
时满足条件的
a，
24

、

5，20

、
5，20

；
b

有

8，
k6
时满足条件的

a，
24

；
b
有

12，
k8
时满足条件的

a，
30< br>
；
b

有

15，
k10
时 满足条件的

a，
b

有

20，30

、

21，28

；
k12
时满足条件的
a，
则全部同学相互之间的关系网如图(其余
311516
名学生 未列)：
9
8
18
24
21
12
6
5< br>20
30
28
4
3
15
10

关系 网图可分为不关联的
3
部分，其中包含
11
个人的部分最多可以选出
6
名互不是“好朋友”的同学，
包含
2
个人的两个部分各可选出
1< br>人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以
31
人中最
多可以选 出
1661124
人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中 有两
位同学是“好朋友”，所以至少应该选出
25
人．
小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．
【答案】
25
人