军训的作文-研修总结与反思

还原问题

知识结构
一、还原问题
已知一个数，经过某 些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是
以新数为基础，按运算顺 序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推 运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意
的叙述顺序由后向前逆推 计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后 结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，
变减为加，变乘为 除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

重难点
（1） 还原法的知识点
（2） 画图在解题过程中的应用

例题精讲
【例 1】 从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位
老人 突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天
柴，累的要 死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气
就能得到钱吧！”老人 指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走
一个来回，口袋里的钱都会增长 一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴
的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里 的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然
后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱 交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都
没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然 而去，并留下一句话：“年轻人，不
劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原 来有多少钱呢？

【考点】单个变量的还原问题
【关键词】可逆思想方法
【解析】 这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长1倍，樵夫第三次
Page 1 of 16
【难度】3星 【题型】解答

回来，交 付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着
想，最后樵夫从桥 上回来后，口袋里面只有24个钱，第二次交给神仙后有
24212
（个）钱，
从 桥上回来后有：
122436
（个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩：
362 18
（个）钱，
第一次从桥上回来后有：
182442
（个）钱，所以 樵夫一开始有：
42221
（个）钱．
【答案】
21
个


【巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人 ，老人对他说：“你只要
走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要 给我32个铜板．”
财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他 很高兴地给
了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没 剩下．问：
财迷身上原有多少个铜板？

【考点】单个变量的还原问题
【关键词】可逆思想方法
【解析】 第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有16个铜 板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），
又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板） ……依次类推即可．推算过程可列
表如下：
【难度】3星 【题型】解答

所以原来有
31
个铜板．
【答案】
31
个


【例 2】 货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨 ，第三次又运出现有煤
的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？

【考点】单个变量的还原问题
【关键词】可逆思想方法
【解析】 这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。
【难度】4星 【题型】解答
Page 2 of 16

< br>结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了
然。根 据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一
半又50吨” 和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；
用现有煤的吨数减去第 二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原
有煤多少吨。
（1）剩余煤的吨数是：
12002600
（吨）
（2）现有煤的一半是：
60050650
（吨）
（3）现有煤的吨数是：
65021300
（吨）
（4）原有煤的一半是：
1300450850
（吨）
（5）原有煤的吨数是：
85021700
（吨）
答：货场原来有煤1700吨。
【答案】
1700
吨


【巩固】 工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多
6
米，第二天修了余下的一 半少
20
米，第三天修
了
30
米，此时还剩下
14
米没有修，则这条小路长 米。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，2008年，陈省身杯
【解析】 如图
1
所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：

。
< br>
143020

26


2108< br>（米）

【答案】
108
米

Page 3 of 16

【例 3】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼 篓中，就在原地躺下休息，结果都睡
着了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就 将多的这条鱼扔回河中，
拿着其中的一份鱼回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发 现还多一条，
也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均 分
成3份，这时也多一条鱼。这三个人至少钓到__________条鱼。

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第12题
【解析】 根据题意画图分析如下：

当
a1
时，
b2⇒3b17
，无法被2整除
当
a2
时，
3a17
，无法被2整除
当
a3时，
b

3a1

25
，
c

3b1

28
∴ 三人至少钓得
38125

条


【答案】
25
条


【巩固】 有一堆棋子，把它四等分 后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份
又一枚；剩下的再四等分又剩一枚 .问：原来至少有多少枚棋子？

【考点】单个变量的还原问题
【关键词】可逆思想方法
【解析】 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆 推，得到第三次分之前有
1415
(枚)，
第二次分之前有
54+1 21
(枚)，第一次分之前有
214+1=85
(枚).所以原来至少有85枚棋 子.
【答案】
85
枚


【例 4】 刚打完篮球，冬 冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第
1
111
二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此
456
3
【难度】4星 【题型】解答
时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

【考点】单个变量的还原问题
Page 4 of 16
【难度】4星 【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1

1

1

1

1


【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：
0.5


1



1



1


1



1


3
（升）．


2

3

4

5

6


【答案】
3
升


【巩固】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，2006年，第四届，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有
x
斗酒，则三次经过店和花之后变为
0

2[2(2x1)1]10

8x70

x
7
8

7
斗酒.
8
即壶中原有
【答案】


7
斗
8
【例 5】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次 从甲堆中拿出
和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆； 第
三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子
数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们从最后一步倒着 分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都
是32个，因此，在未进行第 三次移动之前，乙堆只有
32216
(个)棋子，而甲堆的棋子数是
这样再逆推下 去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所
321648
(个)，
以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．
Page 5 of 16

采用列表法非常清楚．

【答案】甲乙两堆棋子原来各有
44
个和
20
个


【巩固】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二 棵树上飞到第
三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每 棵树
上各有几只鸟?

【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟 同样多，那每棵数上就是
36312
（只），第一棵树上
的鸟，先是飞了4只到第 二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，
这样比较就能求出第一棵树上小鸟 的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了
8只，现在和原来比少了4只，这样比较就 能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先
是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比 少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小
鸟的只数．列式：现在一样多的：
36312< br>（只），第一棵树上的小鸟只数：
121046
（只）
或
1 2(104)6
（只），第二棵树上的小鸟只数：
128416
（只）或
12(84)16
（只），
第三棵树上的小鸟只数：
12108 14
（只）或
12(108)14
（只）原来第一棵树上有6只
小鸟， 第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟


Page 6 of 16

【例 6】 解放军某部参加抗震救灾 ，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩
下的一半支援第四队，后来又调进 8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由条件“后来又调进
8
人”和“这时第一队还有
30
人”，可知不调进
8
人有< br>30822
(人)．由“又抽
调剩下的一半支援第四队”后还有
22
人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有
22244
(人)；
由“抽调35
人支援第三队”后还有
44
人，可知之前有
443579
(人)；由“从第一队抽调一半人支
援第二队”后还有
79
人，可知第一队原有792158
(人)．
列式为：
[(308)235]2792158
(人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
【答案】
158
人


【巩固】 科学课上，老师说：“ 土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，
水星直径加上2000千 米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径
是3000千米.”请你算一 算，地球的直径是多少？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先求土星直径：
[(3000500)22000]24120000
(千米) < br>再求地球直径：
(1200004800)912800
(千米)，即：地球的直 径是12800千米.
【答案】
12800
千米


【例 7】 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬 得太
多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半
少2块，从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问
最初 弟弟准备搬多少块?

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸 爸给弟弟
3
块，那么3个人搬的砖数就
一样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥 搬了
1836
(块)，弟弟搬了
633
(块)，爸爸
搬了< br>639
(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是< br>Page 7 of 16

（32）210
(块)，哥哥的砖数 是
18108
(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩
下的砖数一 样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是
8216
(块)，那时，弟弟的砖数是
18162
(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数 一样，是2块．所
以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是
224
(块)，那时 ，哥哥的砖数是
18414
(块)．所
以，最初，弟弟准备搬4块砖．即： ⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：
1836
(块)，爸爸：
639
(块)，弟弟：
633
(块)
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之 前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：
（62）28
(块)，
弟弟：
（32）210
(块)
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各 有多少块：哥哥：
8216
(块)，弟弟：
18162
(块) ⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：
224
(块)，哥哥：
18414
(块)
【答案】
4
块


【巩固】 有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太 多，
就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先算出最后各挑几块 ：（和差问题）哥哥是，弟弟是
261412
（块），然
（262）214
（块）
后来还原：⑴ 哥哥还给弟弟5块：哥哥是
1459
（块），弟弟 是
12517
（块）；⑵ 弟弟把
抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的 就是另一半，所以哥哥就应该是
9918
（块），
弟弟是
1798< br>（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是
8816
（块）．
【答案】
16
块


【例 8】 口渴的三个和尚分别捧 着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，
老和尚把自己的水全部平均分给了 大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给
了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的 水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人
轮流谦让了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有1 0升水，小和尚的水罐则装着20升水．请
问：最初大和尚的水罐里有多少升水？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
Page 8 of 16

【解析】 首 先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水
了．于是太 阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升．列表分析如下：

回到最后的 状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初
老和尚水最多，所以 最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有10升水．
【答案】
10
升


【巩固】 兄弟三人分24个桔子， 每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子
的一半平分给老大与老二，接着 老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的
桔子的一半平分给老二与老三，这时每人 的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于总共有24个桔 子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有
2438
(个)桔子.由
此 列表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁.
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人
拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁


【例 9】 一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分 图书分给二班、三班，使
这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这 两个班的图书
各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍． 这
时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
Page 9 of 16

【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法 进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是
一个不变的数，由此，可从最后三个班的图 书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化
以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书 数目．依据题意可知，一班、二班的图书数
目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一 班、二班的图书数目各应减半，还给
三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：

【答案】三个班原来各有图书
78
本，
42
本，
24
本


【巩固】 3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味 就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，
使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了， 这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了
倍．第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果 ，这3位探险家每人都赢
了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋 里的钱发现他自
己输掉了100元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．

从开始到最后甲的份数少 了份，说明每份是
100（138）（138）20
元．
所以刚开始时，甲 有
1320260
(元)，乙有
42080
(元)，丙有
7 20140
(元)．
【答案】刚开始时甲有
260
元，乙有
8 0
元，丙有
140
元．


【例 10】 有一堆棋子， 把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一
枚，再拿去两份和另一枚 ，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚
棋子？
Page 10 of 16

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何 解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可
知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三 等份”后，每一份是几枚棋子?再根据提问“原来至少
有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份 ”后，每一份是一枚棋子．
采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．

【答案】
40
枚



【巩固】 有 一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩
2
个；然后再< br>取其中两份，将这两份三等分后还剩
2
个．问：这筐苹果至少有几个？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 方法一：如果增加
4
个苹果，那么第一 次恰好三等分(每份多出
2
个)；第二次取出其中
2
份(总共
多出< br>4
个)，也恰好三等分(每份又多出
2
个)；最后取
2
份(共 多出
4
个)，也恰好三等分．而且最后
一次分总数一定是偶数，因为是取
2< br>份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多
2
个，所以
现在每份至少是4
个．从而上一次每份为
4326
(个)，再上次每份为
63 29
(个)，那么
开始时共有
9327
(个)苹果，但是我们假设增 加了
4
个，所以这筐苹果至少有
27423
(个)．列
表法是还 原问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
方法二：从最后的状态往前还原，假设 最后一次三等分后，每一份的个数为
x
个，那么最后一次
三等分之前的苹果个数是3x2
个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数
是
3x2

2
个，同样的
3x2
个，这个数应该是一个整数 ；第二次三等分前，苹果的个数是
3
2
2
3

3x2< br>
4
4
这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为
整数 ；所以这筐苹果的总数为
3
3

3x2

4
4
个，这个数也应该是一个
2
个．显然
x
越小，这筐苹果的个数最 少，但是有
Page 11 of 16

3x2
3
3x2

4
和是整数的约束条件．满足这两个约束条件的
x
必须被4除余2，所以满足该
4
2
条件的
x
的最小值为2，代入得到 这筐苹果最少有23个．
【答案】
23
个


课堂检测
【随练1】 小巧、小亚、小红共有
90
个玻璃球，小巧给小亚
6
个 ，小亚给小红
5
个，小红给小巧
8
个，他
们的玻璃球个数正好相等． 小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由已知条件可知，小 巧比原来多了
2
个，小亚比原来多了
1
个，小红少了
3
个， 三人一样多时，都
是
90330
（个），所以小巧原来有
30228
（个），小亚原来有
30129
（个），小红原来
有
303 33
（个）．
【答案】所以小巧原来有
28
个，小亚原来有
29< br>个，小红原来有
33
个．


【随练2】 张、王、李、赵 四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，
李给赵16本，赵给 张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 解这道题应该先明白 这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的
总数没有变化，仍然是2 00本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是
200450
(本)．
用 倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进
的本数减去 ，就得到各人原有课外读物的本数．
⑴张原有读物的本数：
5013261
(本)
⑵王原有读物的本数：
50181355
(本)
⑶李原有读物的本数：
50161848
(本)
⑷赵原有读物的本数：
5021636
(本)
【答案】张原有读物< br>61
本，王原有读物
55
本，李原有读物
48
本，赵原有读物
36
本。


【随练3】 甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙
Page 12 of 16

那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3人邮票数相同，甲、乙、
丙原来各有多少张？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲、乙、丙原共有1 92张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数
相同，即3人各有邮票：
192364
（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明
这次交换 前甲有邮票
64232
（张），丙有邮票：
643296
（张），依 此类推，就可以推出答
案了．最后相等时各有
192364
（张），列表倒推如下 ：

【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为
88
，
56
，
48
张


家庭作业
【作业1】 修建一条下水道，第 一周修了全长的一半多
12
米，第二周修了剩下的一半少
12
米，第三周修了
30
米，最后还剩
18
米，这条下水道长多少米？

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 如下图，从图中可知
30181236< br>是第一周修后余下的一半，
3621284
米是下水道全长
的一半．

列式为：所以，这条下水道长
168
米．画图法的关键：
（[30 1812）212]2842168
(米)，
标好有倍数关系的位置。
【答案】
168
米


【作业2】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下
Page 13 of 16

层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行 了一轮调整．若如此共进
行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________ 本书,下层书架原来摆放
________本书．

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2009年，学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法
【解析】 还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本
上层
56
本；下层
168
本
上层 140 本；下层 84 本
上层 70 本；下层 154 本
上层 147 本；下层 77 本
【答案】上层
147
本，下层
77
本



【作业3】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70 元，这
样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲：
2404020260
（元）； 乙：
240403070160
（元）；丙：
240302070300
．
【答案】甲
260
元， 乙
160
元，丙
300
元


【作业4】 有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多 的苹果放入乙堆；第二次再
从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下 的苹果数相同的
苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，
丙对有 个苹果．

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2010年，学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法
【解析】 如下表：
Page 14 of 16

【答案】甲
44
，乙
28
，丙
24



【作业5】 某工厂有
A
、
B
、
C
、< br>D
、
E
五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把
B
车间工 人的
1
调
2
1
11
入
A
车间，
C
车间工人的调入
B
车间，
D
车间工人的调入
C
车间 ，
E
车间工人的调入
D
46
3
车间．现在五个车间都是30 人．原来每个车间各有多少人？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 采用倒推法，列表如下
所以原来
A
、
B
、
C
、
D
、
E
车间分别有11、38、33、32、36个工人．解这种还原问题的关键
是从最后结果出发 ，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，
变减为加，变乘为除，变除 为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方
法是数学中常用的思维方法． 【答案】原来
A
、
B
、
C
、
D
、E
车间分别有11、38、33、32、36个工人


【作业6】 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平
均数，如此 做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和
为2008，且所 有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？

【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板 上最后留下的这三个数之和为159，所
以写到黑板上的最后一个数是
159(21)5 3
．
Page 15 of 16

假设剩下的两个数中靠前的一个 是
A
，靠后的一个是
106A
，那么可以依次推出：
第7个被擦掉的数是
2(106A)A2123A
，
第6个被擦掉的数是
2A(2123A)5A212
，
类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为
63611A
、
21A1060
、
233243A
、
85A4452
，
最先被擦掉的数是
2008(233243A)(85A4452)412842A，
由题意，以上这些数均为正整数．
由
233243A0
及A
为整数可以推出
A≤54
，
由
85A44520
及
A
为整数可以推出
A≥53
，
另一方面，如果
A5 3
，有
233243A85A445253
，与条件中最初三个整数不同这一 条件
矛盾，所以应该有
A54
．
此时最开始写在黑板上的第一个数为
412842A1860
．
【答案】
1860


教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议


家长签字：


Page 16 of 16