11121
成工作的总时间为
2()
小时．
67144
在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过． 121771113
甲完成的工作量是

，所以丙帮甲搬了
1的货物，丙帮甲做的时间为
1
小时，
648888144
那么丙帮乙 做的时间为
2131
13
小时．
442
1
【答案】
3
小时
2

【例 8】 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.
现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天 ；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要
多做48-28=20（天） ，由此得出乙的工作效率是甲的
（天），相当于乙要做
21
3
，甲先单独做 42天，比63天少做了63-42=21
4
4
，乙还需要做 56天.
28
天因此，乙还要做28+28= 56 （天）
3
【答案】56天

【例 9】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两 队合作，又需20天
可完成。如果乙队单独完成此工程，则需______天。
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
120111
【解析】 甲每天完成，甲乙合作中 ，甲一共完成

，所以乙也一共完成，乙每天完成，乙单独
40402260
做要60天.
【答案】60天

【例 10】 一项工程，甲、乙合作需要
20
天完成，乙、丙合作需要
15
天完成，由乙单独做需要
30
天 完成，那
么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11
【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲

乙

， 乙

丙

， 乙
2 015
1111111
因此不难得到丙的工作效率为

，因此三个人的工作效 率之和为

，也就
32
是说，三个人合作需要12天可以完成。
本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是
这样 做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．
【答案】12天

【巩固】 一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要
12
天，由丙单独做 需要
36
天完成，那么如
果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
111
【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲

乙

， 乙

丙

， 丙

不难求得，乙的工作效率为
91 236

111111111

，因此甲的工作效率为

，从而甲丙合作的工作效率为

，
361812

即甲丙合作12天能完成。
法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲
+丙”的值呢？
不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：

甲 乙丙2



乙丙

甲丙
，也就是< br>说：
甲丙
1111
2
，所以甲丙合作
12
天能完成。
9361212
【答案】
12
天

【巩固】 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60 天完成.
问甲一人独做需要多少天完成？
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11
【解析】 设这件工作的工作量是1 。甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作
3660
每天完成
1 11161
，甲、乙、丙三人合作每天完成
(
减去乙、丙两人每天完成
) 2
4536456018030
1111
，甲独做需要
190天 答：甲一人独做需要90天完成.

30459090
的工作量，甲每天完成
【答案】90天

【巩固】 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成 ．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1
1
113
【解析】 方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=为两倍乙的工作
8< br>9
1872
1
1313
．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那 么丙的工作效率为－
144
9
144
11
＝那么丙一个人来做，完成 这项工作需1÷=48天。
4848
效率，所以乙的工作效率为
1
2121
＝，所以(甲，乙，丙)=÷2
72
18
72
2121211
1
＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，
14414 41448
48
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
【答案】48天

【例 11】 一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天
可以完 成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1
11
【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、 、.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，
8
612
丙)=(甲，丁)．即 +
1
8
1
9
1
1
111
－=，甲、丁合作 的工作效率为．所以，甲、丁两人合作24天可
8
12
62424
以完成这件 工程．
【答案】24天

【巩固】 修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90 天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，
180天可完工，若甲、乙合作36天 后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？

【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯
11
【解析】 设这项工程为单位“1”。则甲+乙+丙的工作效 率为，甲+乙+丁的工作效率为。丙+丁的工作效率为
90120
11111111
。 那么甲+乙的工作效率为
(
，甲+乙+丙+丁的工作效率为因
)2
。
1818014480
此剩下的工程还需要
(1
11
36) 60
天。
14480
【答案】
60
天

【例 12】 一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要 20天才能
完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天．
【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2007年，人大附中
【解析】 设1个人做1天的量为1，设原来有
x
人在做这项工程，得：解得：如
x8
．

x16
10

x4

20
，
果调走2人，需要

816

10

82

40
(天)．
【答案】
40
天

【例 13】 甲、乙两辆清洁车 执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15
小时，两车同时从东、 西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多
少千米？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：
11
先求出甲、乙相遇的时间：
1()6
小时；
1015< br>1312

32

甲清扫全长的
6
，乙清扫了全 部的
6
；所以东、西两城相距
12



 60
千米．
105155

55

法二：
因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是
甲行了全程的< br>11
:3:2
，
1015
33

32

，乙行了全程的，全程就是
12



60
千 米．
3232

55

【答案】
60
千米

【例 14】 一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间 甲因病休息了若干天，
所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】十三分，入学测试
19
【解析】 法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的
27
，还有
6020
1
911111
是甲做的，所以 甲干了，休息了
27225
（天）．
22
（天）
202 02040
119
)27
，超过了单位
40608
法二：假设 中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的
(
9111
“1”的
1
，则甲休息了

．
5
（天）
88840

【答案】
5
天

【巩固】 一项工程，甲单独做
20天完成，乙单独做
30
天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续
做，从 开工到完成任务共用了
16
天．乙请假多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
1441
【解析】 法一：甲一共干了< br>16
天，完成了全部工程的
16
，还有
1
是乙做的， 所以乙干了
20555
11
6
(天)，休息了
16610< br>(天)，请假天数为：
16610
(天)．
530
法二：假设 乙没有请假，则两人合作
16
天，应完成全部工程的
(
的
114)16
，超过了单位“1”
20303
4111
1
， 则乙请假
10
(天)．
33330
【答案】
10
天

【巩固】 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让 3个队合修，但中
途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两 队又共同合
修了多少天才完成?
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
111111
【解析】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为

6天完成的工程量为
61
，而实际6天
101215442
完成了的工程量为1，即甲队少做了
1
11 1
，甲队完成超过单位“1”
11
，甲没有干的天数：，
222
2
11
5
(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天．
210
【答案】5天

【例 15】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时 灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，
还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满． 乙单独开几小时可以灌满？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时 ，还需甲、丙两管同时开
2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同 时开，第二个2小时
和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙 同时开2小时，
111
乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为< br>122
，所以乙
5410
的工作效率为：
111
， 所以整池水由乙管单独灌水，需要
1
．
(622)20
（小时 ）
102020
【答案】
20
小时

【例 16】 某水 池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求
10小时注 满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小
时．
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小 ．所以，
1

1
4
(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时． 乙开放的时间为

110



12

24
【答案】4小时

【例 17】 一个蓄水池，每 分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8
个水龙头，1小时半 就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水
龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有
水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，
其余 将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开1 3个龙头，
放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解 本题的
关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
【答案】54分钟

【例 18】 有10根大小相同的进水管给
A
、
B
两个 水池注水，原计划用4根进水管给
A
水池注水，其余6根
给
B
水池注 水，那么5小时可同时注满．因为发现
A
水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根
进 水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的
A
水池注水，需要多 少分
钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，
A
水池仍然漏水，并且要求在注水过 程中每个水池的进水
管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个 位)
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当 用5根进水管给B池
灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所 以漏了30—20=10，
5
因此漏水的工效为
106.
(1)用10根 进水管给漏水的A池灌水，那么需
3
55
那么B池需14
x
根，有
(x):(14x)2:3,20(10)2.4小时＝144分钟.
(2 )设A池需
x
根，
33
所以有
282x3x5,
化简 解得
x6.6.
所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：
53
①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间
20(7)3
小时=225分 钟；B：7根水管，需
34
时间
307
30
小时
257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；
7
560
②当A池用 6根进水管时：A：6根水管，需时间
20(6)
小时

277分钟； B：8根水管，需
313
15
小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要27 7分钟．所以，要把两个水管都注
4
满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池 ．
【答案】257分钟

【例 19】 有一项工程，甲单独做需要36天完成， 乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在
由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休 息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成
这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天．
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
1

1

1
y1
，【解析】 设甲、乙工作了< br>x
天，丙工作了
y
天，则有：



x< br>化简得
44x15y720
．由于
15y
48

3630

和720都是15的倍数，所以
x
也是15的倍数，而
x 7204417
，所以
x15
，
y4
，所以丙休
时间30÷8=
息了
15411
天．
【答案】
11
天

【例 20】 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由 甲先做了若干天，然后由
乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做 的天数的2倍，

终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的
作量的
1
，乙就完成工
12
1111111
3
，丙就完 成工作量的
6
。共完成
36
。
12
天说明 甲做了2
2
天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天.
解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可 设全
部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
72
136

20
天。
614336
【答案】
20
天

【例 21】 有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作 时间长短来付费的，
甲、乙两队合作，
10
天可以全部完工，共需要支付
18 000
元，由乙、丙两队合作，
20
天可以完工，
共需要支付
120 00
元，由甲、丙两队合作，
12
天可以完成，共需要支付
15000
，如果该工程只需要
一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工__ __天.需要支付速
度最快的队伍____元.
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，5年级
1

7
711711

11
【解析】 甲乙丙的工 效和为



2
，所以甲的工效为

乙的工 效为

，

，
60
6

101220< br>
711
丙的工效为

，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早 完工
601545
天，同样的道
601060
180
理，甲乙丙 的每日工资之和是
(
，所以甲的每日费用为
)21825
（元）< br>102012
，乙的费用为
18251250575
（元），丙的费用为< br>1825180025
（元），所
18256001225
（元）以需要支付速度最快的队伍
12251518375
（元）

【解析】