酒精灯使用注意事项-建队日

操作找规律


知识点拨
知识点说明
在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。有一些对小学生来说很难证明的，< br>但与证明相比，发现却是比较容易的。这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种先猜
后证的解题方法。这类题主要考查孩子们的发现能力。

例题精讲
模块一，周期规律

【例 1】 四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子 ，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐
在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换 ．第二次 是在第一次交换后再左右两排
交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样 一直换下去．问：第十次交换位子
后，小兔坐在第几号位子上？（参看 下图）

【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 根据题意将小兔座位变化的规律找出来．
< br>可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每4次交换座位，小兔的座位又
转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后，小兔的座位应该是第2号位子。
【答案】第2号

【例 2】 在1989后面写一串数字。从第5个数字开始 ，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。
这样得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2 ……那么这串数字中，前2005个数字的
和是____________。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初试
【解析】 由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后 面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后
面的数字将会循环出现。
1989
︱
286884
︱
28
……由上图知，从第
5
个数字开始，按
2,8,6,8,8,4
循
环出现。

20054
63333
，前
2005
个数字和是

1989



286884

333
< br>286

27119881612031
。
8-6.操作找规律.题库 教师版 page 1 of 9

【答案】
12031


【例 3】 先写出一个两位数62，接着 在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的
和10，得到62810，用上 述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和
是 。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第
5
题，
10
分

【解析】 该整数位
6281123581347…
从第
6
位开始，
10
个一循环，
(2006-5)÷ 10=200…1
，所以，
整 个整数的数字之和为：
6+2+8+1+0+200×
（
1+1+2+3+5+8+1 +3+4+7
）
+1=7018
。

【答案】
7018


【例 4】 有一串数1，1，2，3，5， 8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009
个数中，有________ _个是5的倍数。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余 数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，
0，1 ，1，2，3，0，……
可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．
由于
200954014
，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
【答案】401个

【例 5】 小明按1~5循环报数，小花按1~6循环报数， 当两个人都报了600个数时，小花报的数字之和比
小明报的数字之和多______________ __。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第
4
题

【解析】 小花一个循环报的数字之和为：
12345621
，小明一个 循环报的数字之和为：
，小明一共报了
6005120
（组），小花一共报了6006100
（组），所以小花
1234515
报的数字之和比 小明报的数字之和多：
100211201521001800300
。
【答案】
300


【例 6】 已知一列数：5，4，7，1，2 ，5，4，3，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，，3，……，由此
可推出第2008个 数是____________。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第
8
题

【解析】 观察数列发现，除前两个数字之外，
7
，
1
，
2
，
5
，
4
，
3
六个数字周期出现，因为
( 20082)63342
，所以第
2008
个数是
1
。
【答案】
1


【例 7】 50名同学围成一圈做游戏：从某一个 同学开始顺时针从1开始依次连续报数，报含有数字7的数
（如7，17，71等）或7的倍数的同学击 1次掌. 如此进行下去，当报到100时，所有同学共击掌
___________次.
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛
【解析】 含有数字
7
或
7的倍数的数有
3
类：个位为
7
的，有
7
，
17
，…，
97
；十位为
7
的，有
70
，
71
，…，
79
；
7
的倍数有
7
，
14
，…，
98
.其中有包含排除关系，根据容斥原理，
1
～
100< br>中共有
(
102
)+(
102
)
1430< br>个，所以共击掌
30
次.
【答案】
30


8-6.操作找规律.题库 教师版 page 2 of 9

【例 8】 某班43名同学围成一圈。由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目 ；然后再
由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个表演节目的是小明，第二个演节目的是小强。那么 小
明和小强之间有________名同学。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初赛
【解析】 有两种情况为：
12
或
29
.
100432 14
。小明和小强之间有同学
14212
（名）或
431429< br>。
【答案】
12
或
29


【例 9】 二十多位小朋友围成一圈做游戏．他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带
有数字7 的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学
报90时他错报 了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有 人．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】 a .“跳过去不报”指一个小朋友报了6，下 一个小朋友不报数而是拍手，再下一个小朋友报8。此时，
每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出 来或者拍手跳过）之间的差等于总人数。小明本次应
当拍手，而不是报出91。所以，总人数是91-1 9=72的约数，有72，36，24，18，……，其中是“二
十多”的只有24。
b. “跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8。此时，把所有7的倍数和带有数字7
的数 去掉之后，剩余的数字排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置
号之差等于 总人数。从19到90这72个数中，含有数字7的有27，37，47，57，67，70到79，87，共16个，是7的倍数且不含有数字7的有21，28，35，42，49，56，63，84共8个，所以 排除掉
之后剩下48个，总人数应当是48的约数，有48，24，16，……，其中是“二十多”的也 只有24。
这道题目存在两种不同的理解方式，但是答案却恰好相同，这确实是巧合。
【答案】
24


【例 10】 50位同学围成一圈，从某同学开 始顺时针报数．第一位同学报l，跳过一人第三位同学报2，跳过
两人第六位同学报3，……这样下去， 报到2008为止．报2008的同学第一次报的是______
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯,初赛,六年级
【解析】 将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个 人的编号不唯一，例
,
2
报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为 36，我们知道36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以报2008
的同学第一次报8.
【答案】
8


【例 11】 如果一个自然数的各位数字中有偶数 个偶数，则称之为“希望数”。例如，26,201,533是希望数，
8,36,208不是希望数， 那么，把所有的希望树从小到大排列，第2010个希望数是____。
【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，
5
年级，复赛，第
8
题

【解析】 在不进位的情况下：希望数+1=非希望数，且非希望数+1=希望数，即希望数与非希望数 交替出现，
因此从0~9开始，每10个数中有5个希望数，因此第2010个希望数为
201 0214019
。
【答案】
4019


如编号为 2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为
n
n1

模块二，递推规律

【例 12】 有依次排列的3 个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写
在这两个数之间，可 产生一个新数串：2，
2
，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后
8 -6.操作找规律.题库 教师版 page 3 of 9

也可产生一个新数串：2，
4
，
2
，2，0，5，5，0，5． 继续依次操作下去．问：从新数串2，0，
5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是 多少？
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 观察
操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 …
总 和： 7 10 13 16 …
易 发现每操作一次总和增加3．因此操作100次后产生的新数串所有数之和为
73100307< br>．
【答案】
307


【例 13】 对任意两个不同的自 然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这
样的连续变换：18，42 →18,24→18,6→12,6→6,6
直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853 →1234，619→615，619→615，
4→…→7
，4→3，
前一数每次减 少4
4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即1 234与
4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．
【答案】1

【巩固】 将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42 可连续进行这样的
操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为 止．试给出和最小的两个四位
数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．
【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．
例如：136，63→…→1，1
36，27→…→9，9
84，36→…→12，12
考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公 约数，因此我们只需找到
两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．
【答案】1005和1020

【例 14】 如图，将正方形纸片由下往上对折， 再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次
操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问： 当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛
【解析】 一次操 作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方
形的中心．连 续两次操作后，折纸层数为
4
2
，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有
4
21
4
1
4
(个)小洞孔．连续三次操作后，折纸 层数为
4
3
，剪去所得小正方形左下角，展开后大正
方形留有
431
4
2
16
(个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作 后，折纸层数为
4
5
，剪去所
得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留 有
4
51
4
4
256
(个)小洞孔．
【答案】
256



【例 15】 如右图，一把密码锁 上有25个按钮，必须将所有的按钮都按一遍才能将锁打开；而当我们按一个
按钮后，只能按照这个按钮 上的提示按下一个按钮。比如，当我们按第一行的第二个按钮“下2”后，
8-6.操作找规律.题库 教师版 page 4 of 9

按照提示“下2”，向下2格，只能按第三行的第二个按钮“左1”，接着只能按第三行的第一个按钮“ 下
l”……为了打开这个密码锁，请你选择第一个按钮，并将这个按钮涂上阴影。

【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5年级
【解析】 右2
【答案】右2

【例 16】 如左图所示，机器人从5×5方格图左上角阴影格子的中心出发，每一步都是走向与机器 人所在方
格有公共边的方格的中心，最终回到出发点。除去出发的方格外，机器人最多到过其它方格一次 ，
图中的折线就是机器人走过的路径。然后我们在机器人没有到过的方格内填上数，这个数表示该方格周围的8个格子中有几个是机器人在格子内拐弯的。现在，已知在右下图所示的7×7方格图中机
器人未到过的方格填上的数，请你在图中画出机器人行走的路径。

【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5年级
【解析】

【答案】

【例 17】 黑板上写着一个形如7 77…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才
擦掉的数字．对所得的新数 继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 略．
【答案】黑板上起初 数是777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为
b
，前面的数为a
，
所以就是形为
10ab
的数．每次操作后，黑板上就成为
3ab
，它比原数少了
7a
．由此可知：⑴每
次操作将使原数逐步变小；⑵ 如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被7整除．所以黑板上最后
必将变成7，例如当原数为777时 ，就有777→238→77→28→14→7

8-6.操作找规律.题库 教师版 page 5 of 9

【例 18】 有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑 克牌数目
相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过13张，则放回其中的13张，称为一次操作。进行了7 77次
操作后，手里有7张牌，则一开始手里有多少张？
【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 根据倒退法知道第
777< br>次操作后是
7
，那么第776次操作就是：

713
2=10
，第775次操作就是
102=5
，找到规律是遇见奇数就是加13
后除以2，遇见偶数就是直接除以
2
，所以操作后得到这样
一串数为 ：
7
、
10
、
5
、
9
、
11、
12
、
6
、
3
、
8
、
4< br>、
2
、
1
、
7
、
10
，观察发现是
12
个一周
期，所以
77712=649
，所以第一次手里的数是
8
，一开始手里的数是
4
张扑克。
【答案】
4


【例 19】 有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一 堆，称为一次操作．经过
不足20次操作后，某一堆中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2 100之间．这一堆石子有
粒．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】 根据题意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，则数量减少1，如果被放入一次，则数量增 加19。
考虑有1990粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多19次被取，最后石子数肯定不少 于原来
的2006粒。则该石子一次也没被放入过，则总共操作了16次。由于另一堆石子数在2008 与2100
之间，则只被放入过5次，被取11次，剩下石子19×5-11+2006=2090粒。
【答案】2090粒

【例 20】 若干个硬币排成下图。每个硬币所在行的硬币 数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数或小数），
如对于a，差为7-5=2。所有差的总和为（ ）。

【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 找规律得102
【答案】102

【例 21】 将一个两位数的数字相乘，称为一次“操作”．如 果积仍是二个两位数，重复以上操作，直到得到
一个一位数．例如：
2929181 88
(停止)共经历两次操作．一个两位数经过3次如上操
作，最终得到一位数．这个两位数 最小是（ ）．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 这个两位数最小是39，
3939272714144
。
【答案】
39

8-6.操作找规律.题库 教师版 page 6 of 9

【例 22】 一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入删除”键(按它一 下可输入一个数，
再按它一下则将显示屏上的数删除)．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍 ；每按一下黄
键，则显示屏上的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入21．
请你设计一个操 作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后
输出的数是3．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】小学生数学报
【解析】 略
【答案】需按4次红键2次黄键，有如下操作方式：
红红红红黄黄
2142 84168336333

红红红黄红黄
21428416816323

红黄红红红黄
21424816323

黄红红红红黄
2124816323


【例 23】 乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从
8
米的高度落下，
弹起后再落下，则弹起第 次时它的弹起高度不足1米。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 第一次
4
米， 第二次
2
米，第三次
1
米，第四次
0.5
米。四次时不足< br>1
米。
【答案】
4


【例 24】 三条直线最多可以将一个正方形分割为 部分。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 如图可知：

1条直线最多可以讲图形分成2部分
2条直线最多可以将图形分成
4=2+2
部分
3条直线最多可以将图形分成
7=2+2+3
部分
以此类推可以找到N条线分平面的规律为
S223N
部分。
【答案】
7


【例 25】 24枚棋子排成三行，第一行6枚， 第二行7枚，第三行11枚，每次可将一些棋子从一行移入另
一行，但移动的棋子数必须等于移入那一行 的棋子数，人移动三次，使每行都变成8个，把移动过
程写入下表中．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】走美杯，3年级，初赛

8-6.操作找规律.题库 教师版 page 7 of 9


6

6

12

8
< br>【解析】 三行棋子初始为：

7第一次操作

14第二次操作

8第三次操作

8


11

4
4

8


6

6

12

8

【答案】

7第一次操作
14第二次操作

8第三次操作

8

< br>11

4

4

8


【例 26】 如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二 次对留
下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了___ _____
个三角形. 去掉的所有三角形的边长之和是________.

【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第9题
1
【解析】 第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
2
1
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；
4
1
第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
8
1
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×；
16
所以，四次共去掉1＋3＋9＋27＝40（个）小三角形，
1113
1
去掉的所有三角形的边长之和是：3×＋9×＋27×＋81×＝12 < br>241616
8
3
【答案】去掉
40
个三角形，边长和是12

16

【例 27】 观察下列正方形数表：表1中的各数之和为 1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，…
（每个正方形数表比前一个正方形数表多一 层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外
层方格的数大1）．如果表
n
中 的各数之和等于15505，那么
n
等于_________．
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
3
3
3
表 1
表 2
3
2
2
2
3
3
2
1
2
3
表 3
3
2
22
3
3
3
3
3
3
…

【考点】操作找规律 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛
【解析】 表
n
比表
n1多
8

n1

个
n
，也就是表
n< br>的数字总和比表
n1
的数字总和大
8n

n1

．表
n
的数字
和是
18


122 3

n1

n


18

n1

n

n1

3
．
因为
18

n1

n

n1

315505
，
8-6.操作找规律.题库 教师版 page 8 of 9

所以

n1

n

n1

 19383191023171819
，所以
n18
．
【答案】
n18


【例 28】 从1999这个数里减去25 3以后，再加上244；然后再减去253，再加上244；……这样一直算下去，
当减去第_____ ____次时，得数恰好第一次等于0 。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初赛
【解析】 。

1999-253



253 -244

1195
（次）
【答案】
195


【例 29】 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限 次操作
后由左下表变为右下表，那么右下表中
A
处的数是 ．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛
【解析】 之后两两加1操作（除去左上角的数字5）即可使余下的格内数字均为2010.所以，A处的数字是5.
111

010
换成
010
换成
11 0
换成
121
换成
131

101111
1011 01101
3
换成
121
换成
121
换成
011< br>换成
111

111111
111111
【答案】5
628



【例 30】 如果一个自然数从右往左看和从左往右看都一样，则称这个数为“回文数”。 例如343，2002都是
回文数。现有一个十六位数2004，请你在这个数的两端或者各位数字加加 上一些数字，
使它变成回文数。新得到的回文数的数字和最小是 。
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛
【解析】 最小是26， 回文数中的数字是关于中心对称 的。这个16位数中有5个2，1，3，4各1个，以第3
个2为对称中心，再添上1，3，4各1个及 若干个0，这样得到的回文数的数字和最小，是
2×5+(1+3+4)×2=26。例如下面的回文数 ，其中箭头是对称中心，下划线上方的数字是添加的数字。

【答案】26

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