商业合作合同范本-纪律教育月心得体会

余数性质（二）


教学目标

1. 学习余数的三大定理及综合运用
2. 理解弃9法，并运用其解题


知识点拨

一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如 ：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5 的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4 ，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5 的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
乘方：如果a与 b除以m的余数相同，那么
a
n
与
b
n
除以m的余数也相同 ．
二、弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算 术》，他们在计算时通常是在一
个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法 运算是否正确，他们的检验方式是
这样进行的：
例如：检验算式
12341898 18922678967178902889923

1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就 是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几
个加数除以9的余数的和再除 以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不 用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的
各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往 往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被
称作“弃九法”。

1

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一 个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数
即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
但是 反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往
可以帮 助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

例题精讲

模块一、余数性质的综合运用

【例 1】
2
2003
与
2003
2
的和除以7的余数是________．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】南京市，少年数学智力冬令营
【解析】 找规律．用7除2，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2
的 个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个
数是3 的倍数多2时，用7除的余数为4．因为
2
2003
2
36672，所以
2
2003
除以7余4．又两个数的
积除以7的余数，与两个数分 别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以
2003
2
除以7
余1．故
2
2003
与
2003
2
的和除以7的余数是415
．
【答案】
5


2
2008
2008
2
除以7的余数是多少？ 【巩固】
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
2
3
 8
除以7的余数为1，
200836691
，所以
2
2008
2
3669＋1
(2
3
)
669
2
，其除以7的余数为：【解析】
1
669
22
；2008除以7的余 数为6，则
2008
2
除以7的余数等于
6
2
除以7的余数 ，为1；所以
2
2008
2008
2
除以7的余数为：
2 13
．
【答案】
3



【巩固】
31
30
30
31
被
13
除所得的余数是多少？
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 31被13除 所得的余数为5，当n取1，2，3，时
5
n
被13除所得余数分别是5，12，8， 1，5，12，
8，1以4为周期循环出现，所以
5
30
被13除的余数与< br>5
2
被13除的余数相同，余12，则
31
30
除以
13的余数为12；
30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，
10，1，4，3， 12，9，10，
所得的余数，即4，故
30
31
除以13的余数为4； < br>所以
31
30
30
31
被13除所得的余数是
12 4133
．
【答案】
3


【例 2】
M
、
N
为非零自然数，且
2007
M
2008
N
被
7
整除。
MN
的最小值为 。
【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分
时，
4
n
被1 3除所得的余数分别是4，3，12，9，
以6为周期循环出现，所以
4
31
被13除所得的余数等于
4
1
被13除


2007< br>除以
7
的余数是
5
，
2008
除以
7
的余数是
6
，所以
5
M
6
N
能被
7< br>整除，经试算，
MN
最小
【解析】
值为
325

【答案】
5



2

【例 3】
1
1
2
2< br>3
3
4
4
2005
2005
除以10所得的 余数为多少？
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而
对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20
是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算
1
12
2
3
3
4
4
20
20
的 个位数字，
为
147656369016365674 9094
的个位数字，为4，
由于2005个加数共可分成100组另5个数，100 组的个位数字和是
4100400
的个位数即0，另外
5个数为
2001
2001
、
2002
2002
、
2003
2003
、
2004
2004
、
2005
2005
，它们和 的个位数字是
1476523
的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．
【答案】
3


【例 4】 已知n是正整数，规定
n!12n
，
令
m 1!12!23!32007!2007
，则整数m除以2008的余数为多少？
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】清华附中
【解析】
m1!12!23!32007!2007


1!（21）2!（31）3!（41）2007!（20081）
2!1!3!2!4!3!2008!2007!

2008!1

2008能够整除
2008!
，所以
2 008!1
的余数是2007．
【答案】
2007


【例 5】 设n为正整数，
k2004
n
，k被7除余数为2，k被11 除余数为3，求n的最小值．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以
2
n
被7除 余数为2，被11除余数为3．由于
2
1
2
被
7除余2，而
2
3
8
被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于
2
8
256
被11除余3，
2
10
1024
被
11除余1 ，所以n除以10的余数为8．可见
n2
是3和10的公倍数，最小为

3 ,10

30
，所以n
的最小值为28．
【答案】
28


【例 6】 试求不大于100，且使
3
n
7
n
4
能被11整除的所有自然数n的和．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 通过逐次计算 ，可以求出
3
n
被11除的余数，依次为：
3
1
为3，3
2
为9，
3
3
为5，
3
4
为4，< br>3
5
为1，…，
因而
3
n
被11除的余数5个构成一 个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求
出
7
n< br>被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是
3
n
7
n
4
被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7， 0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一
个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足 题意，即
n3,4,6,13,14,16,......,93,94,96
时
3
n
7
n
4
能
被11整除，所以，所有满足条件的自然数 n的和为：
346131416...9394961343...28 31480
．
【答案】
1480


【例 7】 对任 意的自然数n，证明
A2903
n
803
n
464
n
261
n
能被1897整除．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】7与271互质，因为
2 9035(mod7)
，
8035(mod7)
，
4642(mod7 )
，
2612(mod7)
，
18977271
，
n n
38034
n
64261
n
5
n
5
n
2
n
20(
，
m
故
A
能被 7整除．又因为所以，
A290
n
2903193(mod271)
，< br>803261(mod271)
，
464193(mod271)
，所以
A2903
n
803
n
464
n
261< br>n
193
n
261
n
193
n
26 1
n
0(mod271)
，故
A
能被271整除．因为7与
271互质，所以
A
能被1897整除．

3

【例 8】 若
a
为自然数，证明
10(a
2005a
1949
)
．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】
1025
，由于
a2005
与
a
1949
的奇偶性相同，所以
2(a
20 05
a
1949
)
．
a
2005
a
1 949
a
1949
(a
56
1)
，如果
a 能被5整除，那么
5a
1949
(a
56
1)
；如 果
a
不能被5整除，那么
a
被5除的余数为1、2、3或者4，
a< br>4
被5除的余数为
1
4
、
2
4
、
3
4
、
4
4
被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数 ，而这四个
数除以5均余1，所以不管
a
为多少，
a
4
被5 除的余数为1，而
a
56
(a
4
)
14
，即14 个
a
4
相乘，所以
a
56
除以5均余1，则
a56
1
能被5整除，有
5a
1949
(a
56
1)
．所以
5(a
2005
a
1949
)
． 由于2与5互质，
所以
10(a
2005
a
1949
)< br>．

【例 9】 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2 ，3，……100，同时还向每位
观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么 他们拿到的喇叭就是不同颜
色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备 种颜色的喇叭．
【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题
【解析】 编号
1
、
3
、
6
、
8
这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观 众应该使用不同颜色的
喇叭．所以他最少应该准备
4
种不同颜色的喇叭，然后按编号被
4
除后的余数分派不同颜色喇叭．
【答案】
4
种

模块二、弃九法


【例 10】 将1至2008这2008个自然数，按 从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
08，试求这个多位数除以9的余数．
【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 以19992000这个八 位数为例，它被9除的余数等于

19992000

被9除 的余数，但是
由于1999与

1999

被9除的余数相同 ，2000与

2000

被9除的余数相同，所以19992000
就与

19992000

被9除的余数相同．由此可得，从1开 始的自然数08
被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这 个和为：

12008

2008
2017036
， 它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9
2
整除这个性质，将原多位 数分成123456789，161718，……，
7，2008等数，可见它被9除的余数与2008 被9除的余数
相同．因此，此数被9除的余数为1．
【答案】1

【巩固】 连续写出从
1
开始的自然数，写到
2009
时停止，得到 一个多位数：
1234567891
，请
说明：这个多位数除以
3
， 得到的余数是几？为什么？
【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯
【分析】 因为连续
3
个自然数可以被
3
整除，而且最后一个自然数都是
3
的倍数，因为
1998
是
3的倍数，所以
111998
是
3
的倍数，又因为
1234567891001998119982
，所以
1234567891
除以
3
，得到的余数是
0
．
【答案】0

【例 11】 将
111213......
依次写 到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数
是 ________．
【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空

4

【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 本题第一步是要求出第1 997个数字是什么，再对数字求和．
1～9
共有9个数字，
10～99
共有 90个
两位数，共有数字：
902180
(个),
100～999
共900个三位数，共有数字：
90032700
(个 ),
所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，
(19 979180)3602......2
，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的 百位和十位．从100
开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因 为连续9个自然数之和能
被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数 是：
702978
(组)，
依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为
9-27
．
【答案】7

【例 12】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积 的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第
二个数的各个位数字之和是8，求两个三位 数的和。
【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题条件仅给出 了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之
和已经给出，我们可以 采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，
所以一定可以满足弃九法的条 件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的
余数为8，那么□1031除以9的 余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况
可以满足是两个三位数的乘积 ，
即
31031311001143217

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360
【答案】360

【例 13】 设
2009
2009
的各位数字之和为
A
，
A
的各位数字之和为
B
，
B
的各位数字之和为
C< br>，
C
的各位数字
之和为
D
，那么
D

【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由于一个数除以9的余数与 它的各位数字之和除以9的余数相同，所以
2009
2009
与
A
、
B
、
C
、
D
除
以9都同余，而2009除以9的 余数为2，则
2009
2009
除以9的余数与
2
2009
除以9的余数相同，而
2
6
64
除以9的余数为1，所以
2
2009
2
63345
2
6

334
2
5
除以9的余数为
2
5
除以9的余数，即为5．
另一 方面，由于
2009
2009
10000
2009
10
8036
，所以
2009
2009
的位数不超过8036位，那么它的各位数
字之和不超过
9803672324
，即
A72324
；那么
A
的各位数字之和
B9545
，
B
的各位数字
之和
C9218
，那么
C
为5或14，即
D5
．
C
小于18且除以9的余数为5，
C
的各位数字之和为5，
【答案】 5

【例 14】 3个三位数乘积的算式
abcbcacab234235286
(其中
abc
)， 在校对时，发现右边的积的
数字顺序出现错误，但是知道最后 一位6是正确的，问原式中的
abc
是多少？
【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
于是
(abc)
3
8(m od9)
，从而(用
abc0,1,2,...,8(mod9)
代入上式检验 )
abc2,5,8(mod9)
…(1)，对
a
进行讨论： 如果
a9
，那么
bc2,5,8(mod9)
…(2)，又
c
所以
bc
的个位数字为4，
ab
的个位数字是6，
bc
可能为
41
、
72
、
83
、
64
，其中只有
(b,c)(4,1),(8,3)
符合(2)，经检验只有< br>983839398328245326
符合题意．
如果
a8，那么
bc3,6,0(mod9)
…(3)，又
bc
的个位数字 为2或7，则
bc
可能为
21
、
43
、
【解 析】 由于
2342352862342352868(mod9)
，< br>abcbcacab(abc)
3
(mod9)
，
62
、
76
、
71
，其中只有
(b,c) (2,1)
符合(3)，经检验，
abc821
不合题意．
如果
a7
，那么
bc4,7,1(mod9)
…(4)，则
bc
可能为
42
、
63
，其中没有符合(4)的
(b,c)
．
如果
a6
，那么
b5
，
c4
，
abcbcacab700600500210000000222334586
，因此 这时
abc
不可能符合题意．综上所述，
abc983
是本题唯一的解．
【答案】983

5

6