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定义新运算


教学目标

定义新运算这类题目是 在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，
要求我们要严格按照 题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，
表示特定的意义 ，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定
义的新运算 转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思 路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过
程、规 律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝52×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际 是对应法则不同.可见一种运算实际就是
两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算 .当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通
过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合 这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我
们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的 “＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型

【例 1】
若
A*B
表示

A3B



AB

，求
5*7
的值。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
312

【巩固】
定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
所求算式是两 重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4
＝4÷ 4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
7

【巩固】
设
a
△
baa2b
，那 么，5△
6
______，(5△2)△
3
_____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
5△6552613

5△2552221
,
1△321216435

【答案】
435

PQ
，求3
*
(6
*
8)
2
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
6837
【解析】
3*(6*8)3*()3*75

22
【答案】
5

【巩固】
已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,
abab2
,那么
4

(68)(35)


.
【巩固】
P
、
Q
表示数，
P*Q
表示
【考点】定义新运算之 直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式
4[(681)(3 52)]4[1313]4[13131]425
425298

【答案】
98

【巩固】
MN
表示
(M N)2,(20082010)2009
____

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛
【解析】
原式




20082010

2

< br>*20092009*2009

20092009

22 009

【答案】
2009

【巩固】
规定运算“☆”为 ：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试
【解析】
19
【答案】
19

【例 2】
“△”是一种新运算，规定：a△b＝ a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，
2△3＝8，那 么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试
【解析】
1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，
【解析】
可得c=1,d=2
【解析】
6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】
2006

【巩固】
对于非零自然数a和b，规定符号< br>
的含义是：a

b＝
1

4＝2

3，那么3

4等于________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试
mab
（m是一个确定的整数）。如果
2ab
【解析】
根 据1

4=2

3，得到
【答案】
m14m236 3411

。 ，解出m=6。所以，
34
214223 23412
6xy
,求2△9。
x2y
11

12
【例 3】
对于任意的整数x与y定义新运算“△”：
xy=
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】北京市，迎春杯
【解析】
根据定义
xy=
【答案】
5
6xy
6292
于是有
295

x2y
2295
2

5

【巩固】
“*”表示一种运算符号，它的含义是：
xy
11

，已知
xy

x1

yA


21
112

，求
19981999
。
21

21

1A

3
12111
,,

21

1A

6,A1
，所以

21

1A

32

2 1

1A

6
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【 题型】计算
【解析】
根据题意得
【答案】
1

1998000
【例 4】
[A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
【例 5】
([18][22])[7]
=.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
因为
1823
2
有
(11)(21)6
个约数,所以[18]=6, 同样可知[22]=4,[7]=2.
原式
(64)25
.
【答案】
5

【巩固】
x为正数,表示不超过x的质数的个 数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么
<<19>+<93>+<4 >×<1>×<8>>的值是.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个 .<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，
原式=<<19>+<93>>=<8 +24>=<32>=11.
【答案】
11

【巩固】
定义运算 “△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例
如:4△6= (4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.
【答案】
42

【例 6】
我们规定：符号

表 示选择两数中较大数的运算，例如：5

3=3

5=5，符号△表示选择两 数中较
•
1523
(0.6)(0.625)
2335
的结果 是多少？ 小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：
•
3411
(0.3) (2.25)
996
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
•
152325
31
(0.6)(0.625)
233538

24

1

【解析】
•

3411 1931
2
(0.3)(2.25)
9963412
1
【答 案】
2
【巩固】
规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数 中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）
&5]×[5◎（3&7）]
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）&5]×[5◎（3&9）]＝[6&5]×[5◎9]＝6×5＝30
【答案】
30

【巩固】
我们规定：A
○
B表示 A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则

10△86△5



11○13+15△20

=

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛


10△8 6○5



11○13+15△20

=
< br>86



1315

=228=56

【解析】
根据题目要求计算如下：
【答案】
56

【例 7】
如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【解析】
【答案】
218

【巩固】
若用G（a）表示自然数a的约数的个 数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）
=4，则G(36)+G(42)= ????????。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试
【解析】
36的约数有： 1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有
G（36）G（42）9817
。
【答案】
17

【巩固】
如果
a&bab10
,那么
2&5
。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试
【解析】
2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
2.5

【例 8】 < br>“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯 赛”的编码取为，如
果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如： 0变9，1变8
等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛
【解析】
偶数位自左至 右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，
所以“ 华杯赛”新的编码是：
【答案】
254948903981

【例 9】
羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是
狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符
号 ☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还
是羊 ，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼 ，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结
果或是羊，或 是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【关键词】第五届，华杯赛，复赛
【解析】
因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步 羊△狼或者狼△狼总
等于狼，所以原式=狼
【答案】狼
【例 10】
一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗
规定：警察小偷

警察，警察小偷

小偷．

那么：（猎人小兔）（山羊白菜）

．

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，学而思杯，4年级
【解析】
谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜
【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例 11】
如果a△b表示
(a2)b
,例如3△4
(3 2)44
,那么,当a△5=30时,a=.
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】
依题意,得
(a2)530
,解得
a8
.
【答案】
8

【巩固】
规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算

【解析】 因为4※1=
342110
,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3 x-20=7,解得x=9.
【答案】
9

【巩固】
如果a⊙b 表示
3a2b
,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】
根据题意x ⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.
【答案】
6

【巩固】
对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x>＝7，求x的值。
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】
根据新定义 的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－
5＋x ＝1＋x，又根据已知<1、3、5、x>＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】
6

a1
，⑴求
2e(3e4)
的值； ⑵若
xe41.35
则x的值为多少？
b
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
3121
【解析】
⑴因为
3e41
，所以
2e(3e4)2e13

41
x1
⑵
xe41.35
，
x141.355. 4,x4.4
，所以x的值为4.4.
4
【答案】⑴
3
⑵
4.4

【巩固】
对 于任意的两个自然数
a
和
b
，规定新运算

：
a ba(a1)(a2)L(ab1)
，其中
a
、
b
表示自
然数.如果
(x3)23660
，那么
x
等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【解析】
方法一：由 题中所给定义可知，
b
为多少，则就有多少个乘数．
36606061
， 即：60

2
3660
，
则
x360
；60345
，即3

3
60
,所以
x3．
方法二：可以先将（x

3）看作一个整体
y
，那么就是< br>y

2
3660
，
y

2
y( y1)36606061
,
所以
y60
，那么也就有x

3
60
，
60345
，即3

3
60
，所以
x
3
．
【答案】
3

【例 13】
定义
ab
为
a
与
b
之间 （包含
a
、
b
）所有与
a
奇偶性相同的自然数的平均数，例 如：
【例 12】
定义新运算为
aeb
714=(7+9+11+13 )4=10
，
1810=(18+16+14+12+10)5=14
．在算 术
(1999)=80
的方格中
填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数 是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【解析】
1999=(19+99)2=59
，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只 能是
80259101
；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所 以只能是
80260100
．因此所填的数可能是100和101．
【答案】
100
和
101

【巩固】
如有
a
#
b
新运算，
a
#
b
表示
a
、
b
中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，
21#2=1.如（21#（21#
x
））=5，则
x
可以是______ __（
x
小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【关键词】101中学，入学测试
【解析】
这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.
第一步先把（21#
x
）看成一个整体
y
.对于21#
y< br>
5，这个式子，一方面可把21作被除数，则
y
等
于（21-5）< br>
16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求 的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由
y
所
代表的式子（21#
x
）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的 ，也就是余数必须
比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些
y
的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#
x
）

8与（21#
x
）
16.对于（21#
x
）

8可分别解得，把21作被除数时 ：
x

13，
把21作除数时为：
x

29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）. < br>对于（21#
x
）

16，把21作被除数无解，21作除数时同理可 得：
x

37，58……所有形如21N+16
这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例 14】
已知
x
、
y
满足
x[y]2009
，
{y}y20.09
；其中
[x]
表示不大于
x
的最大整数，
{x}
表示
x
的
小数部分，即
{x}x[x]
，那么
x
。

【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第3题

【解析】
根据 题意，
[y]
是整数，所以
x2009[y]
也是整数，那么
{ x}x[x]0
，由此可得
y20.09{x}20.09020.09，所以
[y]20
，
x2009[y]2009201989
。
【答案】
1989

【例 15】
规定：A○B表示A、B 中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+A△3）
＝96，且A 、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
【解析】
分类讨论，由于 题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不
同的范围，A小于3 ，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9
种不同的组合， 我们分别讨论。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当A≥5，3≤B＜5 ，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36
两种 ；
7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；
8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；
9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例 16】
如果1※2＝1＋11


2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算（3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】
通过观察发现： a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依
次增加到b个数位 。（5※3）×5＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】
3075

【巩固】
规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】
86415

【例 17】
有一个数学运算符号

，使下列算式成立：
248
，
5313
，
3511
，
9725
，求
73 ?

【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】
通 过对
248
，
5313
，
3511
，
9725
这几个算式的观察，找到规律：
因此
【答案】
17

【巩固】
规定
a
△
b
a(a2)(a1)b
,计算：（2△1）
L
（11△10）

______.
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】
这个题目直接套 用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10
项值有一个共同的 特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定
义．




，

a△b
a(a2)(a 1)b
就变成了a△b
a(a2)(a1)(a1)
a
2
．所以2△1
2
2
，
111223
1505．
6
n(n1)(2n1)
这里需要补充一个公式：
1
2
2
2
3
2
4
2
LLn
2

．
6
【答案】
505

【例 18】
一个 数n的数字中为奇数的那些数字的和记为
S

n

，为偶数的那些数 字的和记为
E

n

，例如
3△2
3
2
，……，3△2
11
2
，则原式
2
2
＋
3
2
＋
4
2
＋…＋
11
2

S

134

134
，
E

134< br>
4
．
S

1

S

2

LS(100)
；
E(1)E(2)LE
100

＝．
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【关键词】2007年，第5届，走美杯，5年级，决赛
【解析】
可以换个方向考 虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2
到9中的每一个 在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
400

模块四、综合型题目
【例 19】
已知：10△3=14，8△7=2，
【例 20】
△
x
=1，那么
x
=.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛
31
△

1
，根据这几个算式找规律，如果
44
5
8
【解析】
规律是a△b=(a－b)×2,所以
51

5

△x=

x


2

1
，即
x

88

8

1

8
【例 21】
如果
a
、
b
、
c
是3个整数，则它们满足加法交换律和结 合律，即
【例 22】
⑴
abba
；⑵
(ab)ca(bc)
。
【例 23】
现在规定一种运算，它对于整数a、b、c、d满足：
【例 24】
(a,b)*(c,d)(acbd,acbd)
。
【答案】
【例 25】
例：
(4,3)*(7,5)(4735, 4735)(43,13)

【例 26】
请你举例说明，运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试
【解析】
(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)*(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11, 5)*(4,3)=(89,47)
(2,1)*[(6,5)*(4,3)]=(2,1)*(39,9)=(87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】“*”满足交换律
“*”不满足结合律

【例 27】
用

a

表示
a< br>的小数部分，

a

表示不超过
a
的最大整数。例如 ：

0.3

0.3,

0.3

0 ;

4.5

0.5,

4.5

4
记
f(x)


f


1
< br>


,

f

3



1


的值。
f

1




;

f

1


,



3


x2
，请 计算
2x1
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，二试
【解析】
代入计算结果分别为：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1
【例 28】
在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连 的第二
分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中
的数据(或运算)都是按中→左→右的顺序。如：图A表示：2+3，B表示2+3×2－1。图C中表 示
的式子的运算结果是________。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】 计算
【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试
【解析】
“教研龙 ”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，
第四个 圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
2

【例 29】 64222
222
表示成
f

64
6
;
24333333
表示成
g

243

5
.
试求下列的值:
(1)
f

128



(2)
f(16)g()

(3)
f()g(27)6
;
(4)如果x,y分别表示若干个2的数 的乘积,试证明:
f(xy)f(x)f(y)
.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算

【解析】
(1)
f(128)f

2
7

7
;

(3)因为
6g(27)6g

3

 633f

2

f(8)
,所以
f(8)g(2 7)6
;
(2)
f(16)f2
4
4g3
4g(81)
;
33

(4)略
【答案】(1)
7
(2)81(3)
8

(4)令
x2
m
,y2
n
,
则
f(x)m,f(y)n.
f(xy)f

2
m
2
n

f

2
mn

mnf(x)f(y)
.
【例 30】
对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=
ax bycxy
,其中的
a,b,c
表示已知数,等式右边
是通常的加、减、乘 运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。
【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算
【解析】
由题设的等式x ※y=
axbycxy
及x※m=x(m≠0),得
a0bmc0m 0
,所以bm=0,又m≠0,故b=0.
因此x※y=ax- cxy.由1※2=3,2※3=4,得


a2c3

2a 6c4

解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1, 故m=4.
【答案】
4

【巩固】
x、y表示两个数，规定新运 算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已
知1* 2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算

【解析】
x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均 为自然数，已
知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析我们采用 分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根
据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，
l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义 ：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要
计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，
通过（2*3）△4=64求出k的值.
因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

m2

m1


m3


，

（舍去）

2
n1
n2n



3

①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64， 解出
k1
，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，
k1
这组值应舍 去。
所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】
10

【例 31】
对于任 意的两个自然数
a
和
b
，规定新运算

：
a

b
a(a1)(a2)L(ab1)
，其中
a
、
b
表示自然数.⑴求1

100的值；⑵已知
x
10

75，求
x
为多少？⑶如果（
x
3）

2

121，那么
x
等于几？
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】
⑴1

100

1234L(11001)5050

⑵ x

10

x(x1)(x2)(x3)L(x101 )10x45
75,解得x

3
⑶方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数．
1216061
，即：60

2

121，则
x

3

60；
6019202 1
，即19

3

60,所以x

19．
方法二：可以先将（x

3）看作一个整体y，那么就是y

2

121，y

2
y(y1)121
,
12160 61
所以y

60，那么也就有x

3

60，
60192021
，即19

3

60，所以x
19．
【答案】
19

【巩固】
两个不等的自然 数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注 意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1)x<11,这时x除 11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2)x>11 ,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x =3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2 )x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26
x1 927
=45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14= 33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.
【答 案】(1)
9
；
3
；
1
(2)x=3,9,13.(3)x =12,26,33,45.
7
9
7
9

【例 32】
设a,b是两个非零的数,定义a※b

ab

.
ba
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
23133425
.于是< br>
,3※4

3264312
13
25
413 24745
252
12
24251201
13
(2※3)※4

※4=
6

.2※(3※4)=2※.

 
12
25
22524600
4
13
24133126
12
6
a3
(2)由已知得
2
①
3a
aa3
若a≥6,则
≥2,从而
2
与①矛盾.因此a≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,
33a
只有a=3符合要求.
7451201
【答案】(1)(2※3)※4

；2※(3※4)

.
312600
(2)a=3
【巩固】
定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】
(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
【解析】
因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)略
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为 6与x的
最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的倍数,可见
6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“ 两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到
3036x
.
所以
x15
.
【答案】(1)
81
；
10

(2)如果c整除a和b,那 么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小
公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,
整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以c整除b.
(3)
x15

【巩固】
“⊙”表示一种新的运算符号，已知： 2⊙3

234
；7⊙2

78
：3⊙5

34567
，……按
此规则，如果n⊙8

68，那么，n

____.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】
因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示 第一个加数，⊙
后面的数表示加数的个数，于是
n(n1)(n2)L(n7) 68
，即
(n3)(n4)684
.
n5

【答案】
n5

【例 33】
国际统一书号ISBN由10个数 字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，
最后一个数字则作为核检之用。核 检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号
是ISBN7-107-17543-2 ，它的核检码的计算顺序是：
【例 34】
?①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
【例 35】
②207÷11＝18……9；???
【例 36】
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
【例 37】
依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】
(1)按照定义 有2※3


【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试
【解析】
7×10＋3×9＋0×8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
【解析】
1961117L9
；
【解析】
1192
。
【解析】
所以该书号的核检码是2.
【答案】
2

【例 38】
如图2一只甲虫从画有方格的木板上的 A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的
路线对应下面的算式：
121 221216
.请在图2中用粗线画出对应于算式：
2122211 1
的路线．
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】2003年，希望杯
【解析】
如图3所示，通过图1分析知道向上前进 一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要减去2，
向右前进一格要加上2.
【答案】