宁德师专-党建标语

分数裂项计算



本讲知识点属于计算大板块内容，其实分 数裂项很大程度上是发现规律、
利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项 的方
式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简
单明了。 < br>本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分
的，所以先找通项是裂项 的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
教学目标
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项 计算称为裂项
法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个
数 字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，
找出每项分子分母之间具有的 相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复
杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找 到相邻两项的相似部
分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的 分数，即
的数写在前面，即
ab
，那么有
1111
()

abbaab
1
形式的，这里我们把较小
ab
(2)对于 分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有： < br>n(n1)(n2)(n3)
n(n1)(n2)

裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任
意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数
“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目
不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目
的。
例题精讲
【例 1】
11111

。
1223344556

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
1 1

11

11

115

L

【解析】
原式








12

23

56

166
提醒 学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：
算过程就要变为：
1111

11

1





．
13355779

19

2
【答案】
5

6
1111
，计

13355779
【考点】 分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 < br>原式
(
1

1
)(
1

1)......(
1

1
)
1

1
1

106012
【答案】
1

12
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
11111111


11

7
2

L

【解析】
原式
2






< br>4534


310

15

91089< /p>

【答案】
7

15
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差 数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找 规律。从第
2
一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
1
(1
1
，

1)1
112
2
112，……，

12
(12)2
23
2
原式

2

2

2

LL

2
2(1
1
)
200
1
99

1223341001
【答案】
1
99

101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【答案】
50

101
1111


L

【巩固】
计算：
25




2325

133557
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
11111

1

1

2524
1 
L
251
【解析】
原式
25
1


12

< br>
2

3352325

2

25

225
【答案】
12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】
原式
251

11111




L



16

122334500501501502

【答案】
15
21

32
【巩固】
计算：
3245671


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2557722929
2
【答案】
1

2
11111111
【例 2】
计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
1111
【解析】
原式

（

L

）
128

2446681618
【答案】
28
4

9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】
根据裂项性质进行拆分为：
【答案】
2

5
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式
1
1111


L

12 12312341234567
【答案】
7

4
【巩固】
计算：
111111111

＝
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式

111111111
()

223344556677889910
1

10
11111
【巩固】

。
1
【答案】
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

1
< br>1

1

1

255881111141417
【答案】
5

34
1111


L

135357 579200120032005
【例 3】
计算：
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式

1

11

11

11


L




4

133535572001200320032005


【答案】
1004003

12048045
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校
79161

111

1
18
【解析】
原式

1
290





13355779

1331.2540.8
3
【答案】
23

36
11111
【例 4】
计算：
1234L20

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第五届，小数报，初赛
11111


L

【解析】
原式


123
L
20





420

261220

【答案】
210
20

21
【巩固】
计算：
2008
11111
= 。
2009201020112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试
【解析】
原式
20082009201020112012
11111


366991212151518
【答案】
10050< br>5

54
【巩固】
计算：
1

1

2

2

4

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2009年，学而思杯，6年级
【解析】原式

11
1325375117


26153577
【答案】
10

【巩固】 计算：
1

1

1

1

1

1

1

3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
分析这个算式各项的分母， 可以发现它们可以表示为：
32
2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
所以原式

1

1

1

1

1

1

1

1335577991111131315
【答案】
7

15
19899
L
．
26122
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2008年，四中
1
1

1

1

【解析】
原 式



1



1


1


L


1


26129900

【答案】
98
1

100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


n1



n1
11

11



【解析】
首先分析出


n1nnn1

n1

n

n1

2

n1

n

n1

2



< br>
原式

1




11

11

1

11



1

L




2


1223

2334

6778< br>
7889


【答案】
35

144
【巩固】
计算：
111


L

1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1
(
1

1

1

1

1

1

1
)

21223233 434989999100

【答案】
4949

19800
1111


L

1352 46357202224
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
【解析】
原式＝
1
＋
1
＋…++
1
+…+
35 7
135192123
246
＝
1
(
1－
1
)＋
1
(
1
－
1
)
2 224
41321234
24
＝
40
＋
65
＝
28160
＋
10465

483
211234
＝
38625

340032
【答案】
38625

340032
202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【答案】
3200

9603
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
99
【解析】
＝
1001
＝
100
－
1
＝
100
－
1

2323
123123123123

98
＝
1002
＝
100
－
2
＝
100
－< br>1

23423423423423434

97
＝
1003
＝
100
－
3
＝
10 0
－
1
……
34534534534534545
110099100
＝
10099
＝－＝－
1

9910010199100101991001019910010199100101
100101
100111
原式

100

10 0

100
...(...)

123234 345991001012334100101
【答案】
24
51
101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111111


L

【解析】
原式

1




3

1232342343457898910

【答案】
1 19

2160
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
【解析】
原式
3[
1
(< br>1

1

1

1
...)]

3123234234345171819181920
【答案】< br>1139

6840
【例 5】
计算：
5719

L

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂 项的题
目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相
比较于2，4 ，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第
n
个数恰好为
n
的2倍)， 原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把
原式中每一项的分子都分成3与另一个的和 再进行计算．

原式

3234316


L

1232348910
2n323

n

n1



n2

n1< br>


n2

n

n1
< br>

n2

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分 子的通项公式
为
2n3
，所以
2

n1


n2

，再将每一项的
与
3
分别加在一 起进行裂项．后面的过程与前面
n

n1



n2

的方法相同．
【答案】
23

15
【巩固】
计算：
1155
（
571719


L

）
234345891091011< br>【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级
【解析】
本题的重点在于计算括号 内的算式：
5

7

L

17

19
234345891091011
．这
个算式不同于我们常见的 分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差
数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况 ．所以应当
对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
52 3
，
734
，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数
的和，所以
所以原式
1155
31
651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子< br>成等差数列，而等差数列的通项公式为
and
，其中
d
为公差．如果 能
把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一项都变成两个分 数，接
下来就可以裂项了．
112234131

，
422055
所以原式
1155
31
651
．
55
12220311
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
所以原式
1155
31
651
．
55
（法 四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先
找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就 是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，
就是上面的法一．
【答案】
651

34512
【巩固】
计算：


L

124523563467101113 14
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续 自
然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

32
4
2
5
2
12
2
原式
L

12345234563456710111213 14
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项
中分子、分母的对 称性，可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
……
3
2< br>4
2
5
2
12
2
原式

L< br>
1234523456345671011121314< br>【答案】
75

616

【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
49
【解析】
原式

1

2

3



L

223
【答案】
3628799

3628800
2342345234
L
10
【考点】分 数裂项 【难度】4星 【题型】计算
516171
【解析】
原式

1

31

41



12123123412345123456123 4567
【答案】
5039

5040
【巩固】
计算：
2399
L
.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，
题目就豁然开朗了．
399
原式

2



L
1231234
【答案】
1

1

2100!
123
L
100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
50
【解析】
原式＝
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋…＋
36
13610
＝（
1

1
）＋（
1

1
1
3
36
【答案】
1274
1275
12251275
）＋（
1

1
）＋（1

1
）＝
1274

6101225
12751275
1015
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
211
311
【解析】
，，……，


112
(12)(123)12 123
10011
，所以

(12L99)(12L 100)12L9912L100
1
原式
1

12L100
【答案】
5049

5050
1(12)
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【解析】
原式
1(
2

3

4

L

10
)

13366104555

1

55
111111
【例 6】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【答案】
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)( ab)
，
原式
(
【答案】
3

14
111111
)(1)(1)(1)L(1)(1)

2
2
3
2
4
2
5
2
48
2
49
2
111111
)()()()()()

24466881010121214
【巩固】
计算：
(1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11113
11124
【解析】
1
2
(1)(1)
，
1
2
(1)(1)
， ……所以，
2222
333
原式

1

3

2

4
L
48

50

1

50

25

22334949
24949
【答案】
25

49
【巩固】
计算：
2
3
2

2
5
2

2
7
2

L

2
15
2

12233478
2
33
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
27
2
【解析】
原式

22

22

22

L

22

12233478
【答案】
63

64
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】
计算：
2

2

2

L

．
22
3151711993119951
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

22

【解析】
原式



1
2



1
2


1
2


L


1



1


22
3151711993 119951

【答案】
997
997
1996
1
2
3
2
2
2
4
23
2
5
2
98
2
100
2
【巩固 】
计算：
2

2

2

L

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34【解析】
2
，
2

，……由于
10
24
，
20
2
4
，
34
2
4
，

，
2

2133184115
33
881515
可见原式
2
2
4
2
2
4
2
2
4

L
2
2
4

213141991
【答案】
198
4751

4 950
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩 固】
计算：

L

．
13355799101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中 的分母
根据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2< br>1
，
6
2
1
，……，
100
2
1
，可以发现如
果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．

1

2
2
4
2
6
2
100
2

原式
 

2

2

2

L

2


4

2141611001

【答 案】
12
63

101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【答案】
3

10
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
【解析】
原式=3

6

23

34

45< br>
56

67

3

6
1

1

1

1
...
1

1
=
4

57233445566757233467
【答案】
4

【巩固】计算：
1

3

2

5
7

34578
9101119


20212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

3
< br>2

5

7

1

1
< br>1

1

1

1

2
< br>1
111115

3457845373857
【答案】
5

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

2

3

1

1

1

1

1

1

2

1

1

3

3573445475667
【答案】
3
3

4
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

11111

11

11

11

11

11

 




















23303141

317

717

4 30

341

431

【答案】
2
1

7
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
9111315

3

57
 71
【解析】
原式




612203 04256


8

8


【答案】
10

【巩固】
计 算：
1
5

791113151719


6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式
1
23

34

45

56

67

78
89

910

23344556677889910
【答案】
3

5
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

453445355646
【答案】
3

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
原式

1

2

3

2

3

4
...
19

18

19

20
2
217
19
36
19

21912020
【答案】
36
19

20

【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】
原式=
2008
(
1
< br>1
...
1
)
2007
(
1
... 
1
)

20081200722006200712008120 0620061
=
2008
(
1

1
... 
1
)
2007
(
1
...
1
)< br>
200812007220062007120081200620061
=
1
(
2008

2008
...
2008
)
1
(
2007
...
2007
)

200812007220062007120081200620061
=
1
[(
1

1

1

1
. ..
1

1
)(
1

1
...< br>1

1
)]

26261
=
1
[ (
1

1

1

1
...
1

1
)(
1

1
...
1

1
)]

26261
=
1
(
1

1
)
1

2015028
【答案】
1

2015028
111111
【例 7】
计算：

L

L


23459899515299
111

111

111


L



【解析】
原式< br>



L




 
L





98

359 9

515299

24
111

111< br>
11

1

L

L
 2
L

【解析】





50

3549

98

24

5254
111

11 1

111


L



【解析】





L





L





50

3549

262749

24111

111

11

1

1< br>
L



【解析】






L





L


2


24243525 26284850

111

111

11 1

1

L

L

L

【解析】






24

3525

131424

50

24
111

111

1

11< br>
11

L

L
2
L
【解析】




< br>12

3511

24

5025
24

1416
111

111

111

11

【解析】






L





L





L



2402 5

111

11

1

1 11

1
2
【解析】






246

35< br>
81012

5025
111

11

111

11

【解析】






246

35< br>
456

5025
【解析】

1
1

1

49

502550
【答案】
49

50
24612
【例 8】
计算：

L


335357357911
【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
315171131


L

33535735791113
11111< br>
1


L

L

【解析】




1






33535791133535791113

【解析】
原式

【解析】

1
1

35791113

【解析】


135135
135134

135135
【答案】
135134


2
3
122
2
2
8
2
4
2
11

L



L

【例 9】
计算：



1335571719

135357171921

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算
2
3
2
4
2
11
22442
9
2
9
【解析】


L

L

1353571719211 335355717191921
2242
8
2
9
【解析 】


L

13355717191921< br>
2122
8
242
8
2
9


L



L

【解析】
所以原式



13351719

13 355717191921

2
9
1512133379
【解析】




192113399399
【答案】
379

399