湖北高考分数-健康证明

5-3-4.分解质因数（一）

教学目标

1.
2.
能够利用短除法分解

整数唯一分解定理：让学生自 己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...△< br>☆
的结构，而且
表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：< br>30235
.其中2、3、5叫做30的质因数.又如
1222322
3
，2、3都叫做12的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式， 在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分
解质因数往往是解数论题目的突破口， 因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
（4）.分解质因数的方法：短除法
212
例如：
26
，（┖是短除法的符号） 所以
12223
；
3
二、唯一分解定理
a
3a
k
a
1
a
2
p
2
p
3
Lp
k
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：
np
1
其中为质数，
a
1
a
2
LLa
k
为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解
111337
；
100171113；
1111141271
；
1000173137
；
1 99535719
；
1998233337
；
2007 33223
；
2008222251
；
10101371 337
.
例题精讲
模块一、分解质因数

【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分
【解析】 原式
23
3
753


1

【答案】
23
3
753


【例 2】 三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数是多少？
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空
【解析】
210分解质因数：
2102357
，可知这三个数是
5
、
6
和
7
。
【答案】
5
、
6
和
7


【例 3】 两个连续奇数的乘积是
111555
，这两个奇数之和是多少?
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 所以和为
6 68
.本讲
111555
分解质因数：
111555335376 7
(
3337
)

(
567
)
 333335
，
不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337
。
【答案】
668


【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题
【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12
【答案】
12
元

【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题
【解析】
1112131716
，
1213142184
，所以是2184
【答案】
2184


【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ．
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题
12623
2
7
，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为
9
和
14
，它们的和为< br>23
． 【解析】
【答案】
23


【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大
的一 个是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将36 0分解质因数得
360222335
，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数 中只有一个
是合数，所有该合数必至少为
633
个质因数的积，又只有3个2相乘 才能是一位数，所以这4
个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.
【答案】8533

【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225113253749
，五个人的年龄和为125岁。
【答案】125岁

【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个 自然数的和除以这两个数的差的商是
___________。
【考点】分解质因数

【难度】
2
星

【题型】填空

【关键词】希望杯，
4
年级，初赛，
4
题

【解析】 根据题意列式子如下：

ab

ab
< br>23
，因为
23
分解质因数是
1
与
23
， 所以
ab23,ab1
，
根据和差关系算出
a12
，b11
，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，

2

【答案】
23


【例 9】
2004 720
的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首先分解质因数，< br>20047202222357167
，其中最大的质因数是167，所以 所要求
的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.
165351
，< br>166283
，
16822237
，
169131 3
，所以
165166167
，
166167168
，167168169
都没有4个2，不满足题意.说明
167不可行.尝试
3 341672
，
335567
，
336222237< br>，
3343353362222235767167
，包括了
2004720
中的所有质因数，所以这组
符合题意，以此三数之和最小为100 5.
【答案】1005

【例 10】 A是乘积为2007的5个自然数之和， B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的
最大值是 。
【考点】分解质因数

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第
8
题，
10
分
2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1 ×2007
，所以
A
的可能值是
231
或
235
或 【解析】
675
或
2011
，又
2007=1×3×3×223= 1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007
，所以
B
的可能值 是
230
或
234
或
674
或
2010
，
A
、
B
两数之差的最大值为
2011
－
230=1781
。

【答案】
1781


【例 11】 （老师可以先引入：小明一家 四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）
大毛、二毛、三毛、小明四个人，他 们的年龄一个比一个大
2
岁，他们四个人年龄的乘积是
48384
。
问他们四个人的年龄各是几岁？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 题中告诉我们，
48384
是四个人年龄的乘积，只要我们把
48 384
分解质因数，再按照每组相差2来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 < br>4838428337
(223)(27)24(232)
12 141618
，由此得出这四个人的年龄分别
是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，
当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为
48384
的个位数字不是0，显然这四 个数中，没有
个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为
10
4
48384
，而
4838420
4
，
所以 可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14
岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。
【答案】12岁、14岁、16岁、18岁

【例 12】 甲数比乙数大
5
，乙数比丙数大
5
，三个数的乘积是
6384
，求这三个数？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将
6384
分解质因数，
638422223719
，则其中必有一个数是
19
或
19
的倍数；经试算，
恰好
1419246384< br>，所以这三个数即为
14
，
1951427
，
19 5242223
，
19
，
24
.
一般象这种类型 的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里
19
不符合要求，下一个该考虑
38
，再下一个该考虑
57
，依此类推．
【答案】
14
，
19
，
24


【例 13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 分解质因数
30242
4
3
3
7
，考虑其中最大的质因数7，说明这四个 自然数中必定有一个是7的倍
数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7 、8、9或7、8、9、10(10仍含

3

有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.
【答案】9

【例 14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若 干队，且每
队人数在100至200之间，则有分法（ ）。
A、3种 B、7种 C、11种 D、13种
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题
【解析】 只要找到100到200之间可以整除 1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以
按每组110人，130人 ，143人分组，共有3个方案。所以答案为A

【答案】
A


【例 15】 a
、
b
、
c
、
d
、
e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，
20，50 ，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。
A． 1 B. 3 C. 5 D. 10
【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题
5
【解析】 D，解：设
ab cde
。由
ab3,ac6
推知
c2b
；由
ce 120,de300
推知
dc5b
。
2
bcb2b2 b
2
，
bdb5b5b
2
，
cd2b5b10 b
2
。在
15,18,20,50,60,100
中，满足
2:5: 10
的
三个数是
20,50,100,
所以
b
2
 1001010
。
【答案】
D


【例 16】 a 、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1. 8、
2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是_____ ____。
（A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5
【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题
【解析】
C
，设
ab cde
。由题意知，
ab0.3
，
ac0.6
，推知c2b
；由
ce12
，
de30
，推知
305< br>dcc5b
，
bcb2b2b
2
，
bdb5 b5b
2
，
cd2b5b10b
2
，在
1.5,1 .8,2,5,6,10
中，
122
满足
2:5:10
的三个数是< br>2,5,10
，所以
10b
2
10
，
b
2
1
，
b1
。
【答案】
1


【例 17】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数 的乘积是45，
第三组三个数字之和最大是多少？
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 分解质因数
45335
，
48222 23
，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，
6或2，3，8或1，6 ，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是
37818< br>.
【答案】18

【例 18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米， 它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的
最小可能值是多少厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们知道任意个已确 定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则
三个数为2、3、3时和 最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对
应的 两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们 的
和为6+9+37=52(厘米)．
【答案】52

【例 19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表

4

面积是多少平方厘米?
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续 自然数的乘积，而34×34×34最接近39270，39270的约数中接
近或等于34的有35、 34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则
长 方体的表面积为：
2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33) =6934(平方厘米)．
方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的 乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或
高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边 的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与
34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的 乘积作为长方体的一条边的长度．而39270
的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为 33×34×35．长方体的表面积为
3927
++)=2×(1190+1155+1122 )=2×3467=6934(平方厘米)．
333435
【答案】6934

【例 20】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 4875=3×5× 5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个
数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。
【答案】14

【例 21】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数 ，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.
求这两个整数分别是多少？
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 两位数中，数字相同 的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都
可以表 示成两个整数相加的形式，例如
33132231330LL1617
，共 有16种形式，
如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太 繁琐了.可
以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、6 66、777、888、999，每
个数都是111的倍数，而
111373
，因 此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位
数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数， 但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数
了.
把九个三位数分解：
1 11373
、
222376743
、
333379
、
4443712746
、
5553715
、
666 3718749
、
7773721
、
888372474 12
、
9993727
.
把两个因数相加，只有(
743< br>)
77
和(
3718
)
55
的两位数字相同. 所以满足题意的答案是74和3，
37和18.
【答案】74和3，37和18

【例 22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数 1991，
具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和 一个三位质
数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和 ②的年份数，
有哪些？
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221， 1331，1441，1551，1661，
1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11， 所以符合条件②的只有三个，即
11

101

1111， 11

131
1441，11

15l

1661．
【答案】11

101

1111， 11

13 1

1441，11

15l

1661

【例 23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到 大排列，那
么第三个分数是多少？
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答
2×(

5

【解析】 有140=2×2× 5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分
子或者同时位于 分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．
1122455775
，倒数第三小的是。
,,,
225 71405735227282252028
【答案】
5

28

&&
【例 24】 纯循环小数

写成最简分数时,分 子和分母的和是
58
,则三位数
abc_________

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空
abc
&&
【解析】 如果直接把

转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们
999
将
999
分解质因数得:
9993
3
 37
,这个最简分数的分母应小于
58
,而且大于
29
,否则该分
数就变成了假分数了,符合这个要求的
999
的约数就只有37了,因此,分母应当为 37,分子就是
abcabc21
&&
,因此
abc2127567< br>.
583721
,也就是说

999372737
【答案】567
模块二、分解质因式
【例 25】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.
【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc11(abc)
，则可知
a
、
b
、
c
中必有一个为11，不妨
记为
a
，那么
bc11 bc
，整理得(
b1
)(
c1
)
12
，又
121122634
，对应的
b2
、
c13
或
b3
、
c7
或
b4
、
c5
(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.
【答案】2、11、13或3、7、11

【例 26】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这三个质数分别是
a
、
b
、
c
，满足
abc7(abc)
，则可知
a
、
b
、
c
中必有一个为7，不妨记
c

9(舍去)或
b

3、为
a
，那么
bc7bc
，整理得
(b1)( c1)8
，又
81824
，对应的
b

2、< br>c

5，所以这三个质数可能是3，5，7
【答案】3、5、7

【例 27】 如图，长方形周长为
20
，面积为
24
。另一个长方 形，面积为
20
，周长为
24
。它的长是 ，
宽是 。
6
4
【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第7题，10分
【解析】 周长为
24
则，长和宽的和为
24212
，因为
2012021045
，因为
10212
，所以它的
长是
10
，宽是
2
。
【答案】长是
10
，宽是
2


【例 28】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．

6

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．
当a=11时，c+b=1 9，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;
当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．
所以它们的乘积为11×2×17=374．
【答案】374

【例 29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19 ，17
也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所 有这
样的四位数。
【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答
ab
【解析】 设这2个两位质数分别是
a
和
b
，则这个 四位数是
100ab
，根据条件可知：
(100ab)
,即
2< br>200a2b
(
ab
)|(
200a2b
)，设，化简 得(
200k
)
a
(
k2
)
b
，
k
，则
200a2bk
（
ab
）
ab< br>b200k
因此

,其中
k
是整数，
a
和
b
均为两位质数，设
200kbm
,
k2am
， 则两式相加得
ak2
(
ab
)
m198
，注意到a
和
b
都是质数即也是奇数，所以
ab
是
198的约数.
19823
2
11
，由于
a
、
b
都是两位不同的质数，因为
1113ab8997
中的偶数，所以ab66

【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729


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