更生学校-浙江省二批分数线

等差数列应用题



例题精讲

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果 冬
冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20
【答案】
20


【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多
少人？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式 ：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将
和为102的两个数一一配对，可配成25 对．
所以
246L9698100=（2+100）25=10325=2 550

（方法二）根据
123L98991005050
， 从这个和中减去
1357...99
的和，就
可得出此题的结果，这样从“ 反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．
【答案】
2550


【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个 雕塑有3只蝴
蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑 按
照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102 项是多少？999是
第几项？由刚刚推导出的公式——第
n
项

首项

公差
（
，
n1）
所以，第102项
3 2（102-1）205
；由“项数

(末项

首项)

公差
1
”，999所处的项数是：

（9993）21996214981499

【答案】
499


【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形， 最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了
28层．问最下面一层有多少根?
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数 列，它的
首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．
解：
a
n
a
1
(n1)d

5(281)1

32
(根)
故最下面的一层有32根．
【答案】
32

【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依 次
每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间 项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项
×项数=1054×527=555458，所 以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
【答案】
555458


【例 4】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量 构成
了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管< br>的总数量：
（310）8252
（根）
（方法二）我们可以这样假想 ：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关
键（如图）

这个 槽内的钢管共有8层，每层都有
31013
（根），所以槽内钢管的总数为：
（3 10）8104

（根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：
104252
（根）
【答案】
52


【巩固】 某剧院有20排座位，后一排都比前一 排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多
少个座位？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一排座位数：
702(201)32
（个），一共有座位：(3270)2021020
（个）．
【答案】
1020


【巩固】 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排 有12个座位，
第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧 院中间一
排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、… 容易知道，是一个等差数列．210
是第
n（21010）21101
排，中间一排就是第
（1011） 251
排，那么中间一排有：
10（511）2110
（个）座位．根据刚 刚学过的中项定理，这个剧场一共有：
11010111110

（块）．
【答案】
11110


【例 5】 一辆双层公共汽车有66个座 位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上
三位乘客，依此类推，第几站后，车上 坐满乘客？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 通过尝试可得：
123L11（111）11 266
，即第11站后，车上坐满乘客．记住自然
数
1~10
的和对于解 一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数．
【答案】
11

【例 6】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：
，
（123L12）12（112)12212781290< br>（下）
所以一昼夜时钟一共敲打：
902180
（下）．
【答案】
180


【例 7】 已知：
a135 L99101
，
b246L98100
，则
a
、< br>b
两个数中，较大的数比
较小的数大多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （方法一）计算：
a（ 1101）5122601
，
b（2100）5022550
，所 以
a
比
b
大，大
2601255051
．
（方法二）通过观察，
a
中的加数从第二个数起依次比
b
中的加数大1，所以
a
比
b
大，
ab1（32）（54）L（9998）（101100）51

【答案】
51


【例 8】 小明进行加法珠算练习，用
1234L
，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复
加了一个数，这个数 是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】第十一届，迎春杯
【解析】 通过尝试可以得到
1 23L44（144）442990
．于是，重复计算的数是
10009 9010
．
【答案】
10


【例 9】 编号为1~9
的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如
果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答．
由等差数列求和公 式“和
（
首项

末项
）
项数
2
”， 可得：末项

和
2
项数

首项．
则第9个盒子中糖果的粒数为：
351291167
（粒）
题目所求即公差

，则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖．
（6711）（91）5687
（粒）
【答案】
7


【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 等差数列有个规律：首项

末项

第2项

倒数第2项

第3项

倒数第3项
L
，所以我们可
以得到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n项，则和
（
第
a
项

第
na1
项
个盒子中糖果的粒数为：< br>351292355
（粒）
）n
2
，则倒数第3个盒子 即第
（931）
题目所求即公差

，则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖 ．
（5523）（73）3248
（粒）
【答案】
8


【例 10】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得 60元；小高第一个
月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差 多少元？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 小王：1000+60×（12-1）=1660，（1000+1660）×12÷2=15960
小高：500+45×（12-1）=995，（500+995）×12÷2=8970，15960-897 0=6990
即一年后两人所得工资总数相差6990元。
【答案】
6990


【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家 公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两
个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加 薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年
计算，王芳应聘 公司工作收入更高。
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，决赛
【解析】 甲公 司五年之内王芳得到的收入为：
100001100012000130001400060 000
(元)．
乙公司五年之内王芳得到的收入为：
10000530060 09001200L300950000300

4563500
(元)．所以，王芳应聘乙公司工作收入更高．
【答案】
63500


【例 11】 在一次数学竞赛中，获得一 等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名
的分数超过了90分（满分为100 分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 他们的平均分为656÷8=82
82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2= 4、3×2=6……
若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意，舍；
若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意；
若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。
因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分
【答案】
88


【例 12】 若干个同样的盒子排成一排，小明 把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装
棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的 盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新
排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人 动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的．
我们设除了 空盒子以外一共有n个盒子．小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小
明却没有发现有人动 过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子．这样，原

来小明放置棋 子时必有一个盒子只装着一个棋子．
原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装 一个棋子来代替它，那么这个
代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的 棋子依次是0，1，2，
3，
L
，n．
根据这个等差数列的和等于
123L10（110）10255

【答案】
11


【例 13】 某工厂12月份工作忙，星期日不 休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工
人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人2 50人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工
作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人 缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有
多少人．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】第九届，迎春杯，决赛
【解析】 260人工作31天，工作量是
260318060
（个）工作日．假 设每天从总厂派到分厂a个工人，
第一天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为0个工作日；
第二天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为a个工作日；
第三天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为2a个工作日；
……
第31天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为30a个工作日．
从而有：
94550a2a3aL30a8060

9455 8060a
（
123
L
30
）

1 395a（130）302465a
求得
a3
．那么这月由总厂派到分 厂工作的工人共有
33193
（人）．
【答案】
93

【例 14】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的 三角形
共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？
50多，通过尝试求出当
n10
时，
满足题意，其余均不满足．这样，只能是n10
，即共有11个盒子．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
小三角形数
火柴数
1
1
3
2
3
6
3
5
9
4
7
12
5
9
15
6
11
18
7
13
21
8
15
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列．
（135L15）12（115）8212768
(平方厘米)． ⑴ 最大三角形面积为：
（324）82108
(根)． ⑵ 火柴棍的数目为：
369L24
【答案】⑴
768
⑵
108

【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角 形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，
使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数 列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别
是100，200，300．求所有结点上数的总和．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯
【解析】 如下图，各结点上放置的数如图所示．从 100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于
这条直线的每条直线上的各数的平均数都是 200．所以21个数的平均数是200，总和为
200214200
．
100
120
140
160
180
200
160
140< br>180
220
240
260
180
200
20022 0
220

【答案】
4200


【巩固】 用3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三
角形，如果这 个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？

10根
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三 角形(向上的三角形2个，
向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．

这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为： 3，
6，9，……，
310
．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为1 0．
求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即

369L30（330）102335165
(根)
所以，一共要放165根火柴
【答案】
165


【例 15】 盒子里放有编号1～9的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取3个，如果从第二次起每
次取出的球的编号的和都比上一次的多9，那么他第一次取的三个球的编号为_____．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛
【解析】 根据题意知道这九个小球 的编号和为：
123LL945
，若想每次去球都比上一次的多9，
则从数 论角度来看本题就是将45拆三个数字和，并且三个数字和的公差为9，所以第一次取球为

4 5992

36
，所以第一次去的3个求的编号为：1、2、3.
【答案】1、2、3.

【例 16】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1 开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但
他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪 个数？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 用
x
表示小明少加的那个数，
1997x 
（1n）n39942x
，两个相邻的自然数
（1n）n2
，
的积比3994大一些，因为
（1n）n
和
n
2
比较 接近，可以先找3994附近的平方数，最明显的要
数
36006060
，而后试 算两个相邻自然数的乘积
61623782
，
62633906
，< br>63644032
，
所以
n63
，正确的和是2016，少加的 数为:
2016199719
．
【答案】
19


【例 17】 黑板上写有从1开始的一些连续奇数：
1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 ．
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2004年，走美杯
【解析】 1，3，5，7，
L
，(
2n1
)，这
n
个奇数之和等于
n
2
，
45< br>2
2025
，擦去的奇数是
2025200817
．
【答案】
17


【巩固】 小明住在一条胡同里．一天，他算了算 这条小胡同的门牌号码．他发现，除掉他自己家的不算，
其余各门牌号码之和正好是100．请问这条小 胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家
的门牌号码是多少？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：
12L1055
，所以和在100附近的应该为1～14、或1～15，
⑴
12L14105
，小明家门牌号为5，共有14户人家；
⑵< br>12L1415120
，小明家门牌号为20，不再1～15的范围，所以不符合题意 ．
【答案】共有14户人家；门牌号为5

【例 18】 小丸子玩投放石子游戏 ，从
A
出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走
L
照此 规律最后走到
B
处放下35枚石子．7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，问从
A
到
B
路程有多远？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先计算投放了多少次．由题意依次 投放石子数构成的数列是：1，3，5，7，
L
，35．这是一个等
差数列，其中首项
a
1
1
，公差
d 2
，末项
a
n
= 35
，那么
n（a
n
a
1
）d1（351）2118
；
再看投放石子每次走的 路程依次组成的数列：1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项
a
1
，1
，
（n1）d
,
1（181）352
，其和 为
公差
d
,
3
，项数
n1 8
．末项
a
n
,
a
1
,

,
S
n
,
（a
1
,
a
n
）n2（152）18 2477
(米)．
【答案】
477


【例 19】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方
形，问 其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由题意可知，从上到下每层的正方 形个数组成等差数列，其中
a
1
1
，
d 2
，
a
n
15
，所以
（18）8236

n（15 1）218
，所以，白色方格数是：
123L8
黑色方格数是：
123L7（17）7228
．
【答案】
28


【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒，把这些火 柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第
10
行为止
一共用了 根火柴棒．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，第七届，小机灵杯
【解析】 横向：
1
行：
11
根；
2
行：
133
根；
3
行：
1355
根；
L

10
行：
135L171919

纵向：
1
行：
2
根；
2
行：
24
根；
3
行：
246
根；
L

10
行：
246L20
根
（135L1719） 19（246L20）（119）10219（220）102
总共有
．
10019110229
（根）

【答案】
229


【例 20】 如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差
12
个时，白色三角形有
个．

第

4

题
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，第九届，中环杯，初赛
【解析】 根据题意可知， 每个图形两种三角形的个数相差依次成数列
1
，
2
，
3
，< br>4
，
L
排列，所以第
12
个
图形的两种三角形的个数 相差为
12
，这个图形的白色三角形的个数是
123L1166
( 个)．
【答案】
66


【例 21】 木木练习口算，她按照自 然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复
计算了其中一个数字．问：木木重 复计算了哪个数字？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 用
x
表示木木多加的那个数，
888X （1n）n2
，
（1n）n17762x
，两个相邻的自然数
的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，试算：
40411640
，
16004040
，
41421722
，
42431806
，所以
n41
，所以
x（17764142）227
．
【答案】
27


【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时 用了4天，回
来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题目关键是弄清题意，发现关 键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮
助解题，可以给四年级学生一个方程的初步 认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，
设第一天拉练的距离是
x
，则第 二天为
x2
，第三天为
x4
，第四天
x6
，第五天的 距离为
x8
，
第六天的距离为
x10
，第七天的
x1 2
．且去时和来时的路程一样，则
x（x2）（x4）（x6）（x8）（ x10）（x12）
，则
x18
，学校距离百花山84千米．
【答案】
84


【巩固】 点点读一本故事书，第一天读了30页 ，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一
天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有 多少页？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70，要 求这本书一共多少页，应该先
求出点点总共看了多少天．
天数(项数)

( 末项

首项)

公差
1（7030）4111

总页数
（3070）112100112550
，所以，这本书一共 有550页．
【答案】
550


【巩固】 小明想把55枚棋子 放在若干个盒子里，按第一个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个

盒子里放3枚 ，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么小明用了多少个盒子呢？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据学学的放法，可知：
第1个盒子放了1枚棋子；
第2个盒子放了2枚棋子；
第3个盒子放了3枚棋子；……
因此，只要是从自然数加起，加数依次增加1，一直加到某个 自然数，它们的和正好是55，那么，
这些加数的个数就是盒子数了．我们估算一下结果：
1 234515
，但是15和55相差较大，
所以还要增加加数（自然数）的个数
12345678945
，45与55比较接近了，又因
为
55 4510
，所以，
1234567891055
，这个式子 说明，55是10个自然数的
和，所以需要用10个盒子做游戏．
【答案】
10


【例 22】 幼儿园304个小朋友围成若干个 圆(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相
邻两圈相差的人数相等，那么相邻的 两圈相差多少人？
【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这一等差数列的和是304，首项24，末项52，先根据公式“和< br>
（首项

末项）

项数
2
”求出项数：
3042768
．再根据公式“末项

首项

（n1）
公差”求出公差：
(5224)74
．
【答案】
4