列夫托尔斯泰名言-上海海事大学招生网

5-5-3.余数性质（三）

教学目标

1. 学习余数的三大定理及综合运用
2. 理解弃9法，并运用其解题


知识点拨
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理

a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数之和，或这个和除以
c
的余数。
例如： 23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余
数的和3 +1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：2 3，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7
除以5的余数 为2
2.余数的加法定理
a
与
b
的差除以
c
的 余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数之差。
例如 ：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个
余数差3－1 ＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和 4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数
差为3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
,< br>b
分别除以
c
的余数的积，或者这个积除以
c
所得
的 余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如： 23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5
的余数，即2.
乘方：如果
a
与
b
除以
m
的余数相同，那么
a
n
与
b
n
除以
m
的余数也相同．
二、弃九法原理
在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》 ，他们在
计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
123418981 8922678967178902889923

1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 1 of 8

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数 的加法定理，即如果这个等式是正确
的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式 右边和除以9的余数相
同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用 去列除法竖式进行计算，只要计
算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往 就是一个9一个9
的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一 个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个
和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果
对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的
< br>但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想 往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

例题精讲


模块一、余数的加减法定理

【例 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只 桔子，200块饼干，120块奶糖。平均分
发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。这班里 共有_______位小朋友。
【考点】余数的加减法定理 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分
【解析】 40-4=36，200-20 =180，120-12=108。小朋友的人数应是36，180，108的大于20
的公约数，只有 36。
【答案】
36


【例 2】 在1995，1998，2 000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几
个数归为一组．这样的数组共 有______组．
【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】少年数学智力冬令营
【解析】 1995，1998，2000，2001，20 03除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为
252507
，
25 360253679
，所以这样的数组共有下
面4个：

2000,2003

，

1998,2000,2003

，

2000,2003,2001,1995

，

1998,2000,2003,2001,1995

．
【答案】
4


【例 3】 号码分别为101,126,173, 193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的
盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打 球盘数最多的运动员打了多少盘?
【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分
别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加
除以3 即可。显然126运动员打5盘是最多的。
【答案】
5

5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 2 of 8

【例 4】 有一个整数，用它去除7 0，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整
数是______．
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】
(70110160)50290
，
50316......2
，除数应当是290的大于17小于70的
约数，只可能是29和58，
110581......52
，
5250
，所以除数不是
58．
70292......12
，
11029 3......23
，
160295......15
，
12231 550
，
所以除数是
29

【答案】
29


【巩固】 用自然数
n
去除63，91，129得到的三个余数之和为25 ，那么
n
=________．
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】
n
能整除
639112925258
．因为
2538...1
，所以
n< br>是258大于8的约数．显
然，
n
不能大于63．符合条件的只有43.
【答案】
43


【例 5】 如果1＝1！，1×2＝2！，1× 2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那
么1！+2！+3！+……+100！ 的个位数字是多少？
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从5！开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！+2！+3！+4！=1+2+ 6+24=33
所以末位数字一定是3
【答案】
3


【例 6】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华< br>书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、
丙3人的钱凑 在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这
种《成语大词典》的定价是_____ ___元．
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小数报
【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、 丙、丁、戊的钱恰好能
买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这
个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是
(1417182126) 332

(元) ．
【答案】
32


【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中
的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱
货物重量是__ ______千克．
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 两个顾客买的货物重量是的倍
3
数 ．
(151618192031)(12)119339...2
，剩下 的一箱货物重量除以
3应当余2，只能是20千克．
【答案】
20


【巩固】 六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、24 94六个数，甲取3张，
乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个
5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 3 of 8

人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是 另一个人的2倍”可知，甲、
乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是
11931258184218661912249410565
，
10565 除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙
手中的卡片上
的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．
【答案】
1193


【例 7】 从1，2，3，4，…，200 7中取
N
个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15
整除．
N
最 大为多少？
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第8题
【解析】 取出的
N
个不同的数 中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15
的余数相同，且这个余数的3倍能被15整 除，所以这个余数只能是0，5或者10．在
1:2007
中，除以15的余数为0的有
151
，
152
，…，
15133
，共有
133< br>个；
除以15的余数为5的有
1505
，
1515
， …，
151335
，共有134个；除
以15的余数为10的有
150 10
，
15110
，…，
1513310
，共有134个 ．所
以
N
最大为134．
【答案】
134


【例 8】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，
每 人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少
岁?
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克
【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，10 0除以3余1，就知四个岁数都是
3k1
型的
数，又是质数．只有7，13，19， 31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，
兄13岁，妹7岁．
【答案】
37


【例 9】 有三所学校，高中
A
校比
B
校多10人，
B
校比
C
校多10人．三校共有高中 生2196
人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的
1. 5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么
A
校总人数是_ _______人．
【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克
【解析】 三所学校的高中生分别是：
A
校742人，
B
校732人，
C
校722人．如果
A
校或
C
校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两< br>校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是
B
校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是
548021963284
，被3除余2 ；732
被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看
2215
，
1224
，
就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是
C
校．所以，
A
校总人数是
7427421484
(人) ．
【答案】
1484


模块二、余数的乘法定理
5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 4 of 8

【例 10】 求
2461135604711
的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为
246111223...8
，
1351112...3
，
604711549...8
，根据同 余定理(三)，
2461135604711
的余 数等于
83811
的余数，而
838192
，
192 1117...5
，所以
2461135604711
的余数为5．
【答案】
5


【巩固】 求
478296351
除以17的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求
余数之积除
以17的余数．
478,296,351
除以17的余数分别为2，7和11，
(2 711)179......1
．
【答案】
1


【巩固】 求
4373091993
被7除的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：先将4373091993
算出以后，即
4373091993269120769
．再求得
此数被7除的余
数为1．
方法二：因为
473
除以7的余数为3，由“同余的可乘性”知：
309
除以7的余数为1，
（4373 09）
除以7的余数为．又因为1993除以7的余数为5，所以除
（31）（43730 91993）
以7的余数等于即15除以7的余数，算出
4373091993
被7除的余数
（315）
为1．
方法三：利用余数判别法⑹，算出
43 73091993269120769
，奇数节的数之和与偶数节
的数之和的差即
（269）（769）（120）1722336
，36除以7的余
数为1，即
4373091993
被7除的余数为1．
【答案】
1




【例 11】 求
4782569352
除以9的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【分析】
47819291
，2561394
，
3521091
，
47825 69351
除以9的余数等于
1414
．
【答案】
4


【例 12】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是 。
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第3题，5分
【解析】 余数是3×3÷7的余数，为2
【答案】
2


【例 13】 在图表的第二行中，恰好填上
89～98
这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘
积除以11所得的余数都是3．

【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 5 of 8

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等 于两个数分别除以11的余数之积．因此原
题中的
89～98

可以改换为
1～

10
，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

进而得到本题的答案是：

【答案】


【例 14】
1
2
2
2
3
2
L2001
22002
除以7的余数是多少？
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】实验中学
200220034005
【解析】 由于
1
2
2
2
3
2
L2001
22002
2
100120031335
，而
6
100 1是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故
1
2
2
2
32
L2001
2
2002
2
除以7的余数是0；
【答案】
0


【例 15】 求
6443
12
19
的余数
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数 相除的余数情况。由6443
÷19余2，求原式的余数只要求
2
12
19
的余数即可。但是如果用2÷19发现会进
入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可 以进行适当的调整，
2
12
2
6
2
6
64 64
，
64÷19余数为7，那么求
2
12
19
的余数 就转化为求
646419
的余数，即49÷19的余
数。
49÷19余 数为11，所以原式
6443
12
19
的余数为11.
【答案】
11



【巩固】 求
143
89
除以7的余数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一：由于
1433

mod7

(143被7除余3)，所以
143
89
3
89

mod7

(< br>143
89
被7
除所得余数与
3
89
被7除所得余数 相等),而
3
6
729
，
7291

mod7

（729除以7
的余数为1），
66
所以
3
8 9
33L3
6
3
5
3
5
5

mod7

,故
143
89
除以7的余数为5.
1442443
14个
法二：计算
3
89
被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

L

3
1

3
2

3
3

3
4

3
5

3
6

3
7

5-5-3.余数性质（一）.题库 教师版 page 6 of 8

mod7

【答案】
5


3

2

6

4

5

1

3

L

于是余数以6为周期变化．所以< br>3
89
3
5
5

mod7

．
【巩固】 求
3
406
写成十进制数时的个位数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要想把
3
406
具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求
3
406除以10
的余数．看到题目里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”．可先确
定
n
，使
3
n
除以10的余数为1．
101101
通过尝试可知，最小的
n
为4．因为
3
406
3
404
3
2

除以10的余数等于
（3
4
）3
2
，
（3
4
）
所以，
3
406
除以10 的余数为
199
，即
3
406
1
101
除以1 0的余数即1，
3
2
除以10的余数为9，
写成十进制数时的个位数为9．
【答案】
9


20092009
【巩固】
1 44442

4
L
4

4
2009
43< br>的个位数字是________．
2010个2009
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第4题
【解析】 易 知２００９的个位数字是９，
2009
2
的个位数字是１，
2009
3
的个位数字是９，
2009
4
的个位数字是１，两个为一周期，则
2009
2010
的个位数字是１.
【答案】
1


【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第1题
【解析】 可以看出2007的乘方其尾数是7、 9、3、1四个数字循环的，2008个2007相乘，
其尾数为1.
【答案】
1


【例 16】 今天是星期四，
10
1000
天之后将是星期几？
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先求较小的
n
，使
10
n
除以7的余数为1．
10除以7 余3，
10
2
除以7余2，
10
3
1010
2
除以7余
326
，
10
4
10
2
 10
2
除以7余
224
，
10
6
10
3
10
3
除以7的余数等于
6636
除以7的余数等于1． 所以，
10
1000
除
以7的余数等于
10
4
1 0
6166
除以7的余数等于
414
，故
10
100 0
天之后，应是星期一．
【答案】星期一

【例 17】 求
3
1997
的最后两位数．
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 即考虑
3
1997
除以100的余数．由于
100425
，由于
3
3
27
除以25余2，所以
3
9
除以25余8，
3
10
除以25余24，那么
320
除以25余1；又因为
3
2
除以4余1，则
3
20
除以4余1；即
3
20
1
能被4 和25整除，而4与25互质， 所以
3
20
1
能被100整除，即
3
20
除以1 00余1，由于
1997209917
，所以
3
1997
除以 100的余数即等于
3
17
除以100的余数，而
3
6
7 29
除以
3
17
(3
6
)
2
3
5
，
3
5
243
除以100余43，100余29，所以
3
17
除以100的余数等于
292943
5-5-3.余数性质（一 ）.题库 教师版 page 7 of 8

除以100的余数，而
292943 36163
除以100余63，所以
3
1997
除以100余63，即3
1997
的
最后两位数为63．
【答案】
63


【例 18】 求
1~2008
的所有自然数中，有多少个整数
a
使
2
a
与
a
2
被7除余数相同？
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 让我们用列表的方法来寻找
2
a
与
a
2
被7除余数的规律：
2
L
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

L
a
2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1
2
被7除的余数

L
a
2
被7除的余数

1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0

从上表可以看出：
2< br>a
被7除的余数是2，4，1，2，4，1，2，4，1，
L
，每3个一循环；
a
2
被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，< br>L
，每7个一循环．
所以能同时满足这两个条件的规律，必须是3和7的公倍数，即为 21的倍数，也就是使
2
a
与
a
2
被7除的余数相同的数， 在自然数列中，是每21一个循环，其中有6个余数相同，分
别是每个循环中的第2，4，5，6，10 ，15个数．
又因为
20082195L13
，所以，在
1~2008
的所有自然数中，能使
2
a
与
a
2
被7除余数相< br>同的数共有：
6955575
（个）．
【答案】
575

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