西安中考录取分数线-2013上海高考数学

分数裂项计算



教学目标


本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可 以分为观察、改
造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行 一部分运算，使其变得更
加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通 项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是
能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆 分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，
常见的裂项方 法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和
分母 ，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可 以写作两个因数乘积的分数，即
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab< br>，那么有
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
1111
[]

n(n1)(n2)2n(n 1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n2) (n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
裂差型裂项的三大关 键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的， 但是只要将x提取出
来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。






1

二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有
转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。


11111
【例 1】

。
1223344556
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】 原式









L







12

23
56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： ，计算过程就要变为：

13355779
1111

11

1





．
13355779

19

2
5
【答案】
6

111
【巩固】
......
101111125960
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111
【解析】 原式
()()......()

106012
1
【答案】
12

2222
【巩固】

L


109985443
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】 原式
2


L


2





4534

91089

310

15
7
【答案】
15

1111
【例 2】



L L

11212312
L
100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始
入手，通过公式的运算寻找规律。从 第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
112112

，，… …，
1
(11)1
1212
(12)2
2322
2222120099
原式



LL
2(1)1
1223341001
99
【答案】
1< br>
101
例题精讲

2

1111

L


13355799101
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
0
【解析】


L
(1 
…

）

13355799101
50< br>【答案】
101

111

1
【巩固】 计算：
25


L




2325

133557
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

2524
【解析】 原式
25

1
L


25

1


12

2

3352325

2

25

225
【答 案】
12


2551
【巩固】

L

4881212162000200420042008
【考点 】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
251

11111



L

【解析】 原式



16

12233450050150 1502

251

1111111




1
L



16< br>
22334501502

25150150121
15< br>
165023232
21
【答案】
15

32

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
111
【解析】 原式


25577229292
1
【答案】
2

11111111
【例 4】 计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】101中学
1111
【解析】 原式

（

L

）
128

2446681618
1111111

（L）128

224461618
11

（）64

218
4

28

9
4
【答案】
28

9


【例 3】

3

11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
11111111


6122
11111111

233445566 77889910

112
==
2105
2
【答案】
5

111111
【巩固】
1

3610152128
【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
1111
【解析】 原式
1


L

121231234 1234567
222


L

233 478
11

11111

2


L



78

22334

1

1

7

2

1




8

4
7
【答案】
4

111111111
【巩固】 计算：

＝

26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
111111111
【解析】 原式
()

2233445566778899 10



【答案】









1111111
(L)

22334910
111
()

2210
1
10

1

10

4

11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式



25588 1111141417
1

1111111111






3

25588111114 1417

1

11

5






3

217

34
5< br>【答案】
34

1111
【例 5】 计算：

 
L

135357579200120032005
【 考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】 原式

1

11

11

11







L





4


1335

3557

200 1200320032005


1

11

1004003






4
1320032005

12048045
1004003
【答案】
12048045

7
&
4.50.16
11

11
【例 6】
18






1
133.753.2

3153563

3
【考点】 分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
79161

111

118290
【解析】 原式





1
13355779

1331.2540.8

3
71

46

1


1
1< br>
1

1

1

1



1
233579

1312
3< br>4631823
=

2442936
23
【答案】
36













5

11111
【例 7】 计算：
1234L20

261220420
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
11

111
【解析】 原式


123
L
20




L



420

261220
11111

210 
L

122334452021
1111111
2101L

223342021
120
2101210

2121
20
【答案】
210

21

11111
【巩固】 计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，1试
11111
【解析】 原式
20082009201020112012


3 66991212151518
1

111111


20105


L



9

122356

5

10050

54
【答案】
10050


5

54
11224

____。
26153577
【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
1325375117
【解析】原式



26153577
【巩固】 计算：


111111111


2233557711
110


1111

1
【答案】















10

11
6

1111111
【巩固】 计算：



3195
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现 它们可以表示为：
32
2
113
，
154
2135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
1

11

1

11

1

11









L





2

13

2

35

2

1315

1

11

7






2

115

15
7
【答案】
15

19899
【巩固】 计算：
L
．
26122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】四中
1

1

1

1

【解析】 原式


1



1



1


L< br>

1


26129900
< br>11

1

99


L
< br>

99100

1223
11

111
99

1
L



99100

223
1

99

1< br>

100

98
【答案】
98
1

100
1

100

111
【例 8】


L

123234789
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算


n1



n1

11

11

【解析 】 首先分析出


n1nnn1

n1
< br>n

n1

2

n1

 n

n1

2



原式

1

11

11

1
11



1



 




L



 


2


1223

233 4

67787889


1

11





2

1289

35

144
【答案】










7
35

144

111


L
1232349899100
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】 原式
()

21223233434989999100
9

()
212991
4949
【答案】
19800

1111
【巩固】 计算：


L

135246357202224
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111
【解析】 原式＝＋＋…+++…+
135357192123246202224
111111
＝(－)＋(－)
41321234242224
45
＝＋＝＋
483211234
38625
＝
340032
38625
【答案】
340032

4444
【巩固】
......
13535793 9597959799
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11111111
【解析】
()()......()()

133535579395959795979799
113200


1397999603
3200
【答案】
9603

9998971
【巩固】


L

12323434599100101
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
99100110011001
【解析】 ＝＝－＝－
1231231 232312323
98100210021001
＝＝－＝－
2 3423423423423434
97100310031001
＝＝－＝－……
34534534534534545
11009 9100991001
＝＝－＝－
991001019910010199100 1019910010199100101100101
111
原式
 ...(...)

123234345991001012 334100101
1111151

100()()24221
51
【答案】
24

101




【巩固】 计算：

8

11111


12342345345 6678978910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1

111111

【解析】 原式



L



3

1232342343457898910

【例 9】
1

11

119






3

1238910

2160
119

2160

333
【巩固】
.. ....
1234234517181920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111111
【解析】 原式
3[(...)]

31232342343 45171819181920
113192011139

 
1231819201819206840
1139
【答案】
6840

5719
【例 10】 计算：

L

．
1232348910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目 ．但是本题中分子不相同，而是
成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公 差为2的等差数列(该数列的第
n
个
数恰好为
n
的2倍)，原式中分 子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都
分成3与另一个的和再进行计 算．
3234316
原式



L
< br>1232348910
1128

1

1
3


L

L

2


123234891012323489 10

1

111111

11

1
3


L
2
L
< br>

2

1223233489910
< br>910

2334
3

11

11

1111




2


L



2

12910

910

2334
3

11

71 123

11





2








2
< br>290

210
460515

也可以直接进行通项归纳． 根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2n3232
，再将每一项的与

n

n1



n2

n1



n2

n

n1



n2

n1n2

【答案】
3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【 答案】







23

15


9

571719


L

）
234345891091011
【考点 】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
571719
【解析】 本题的重点在于计算括号 内的算式：
．这个算式不同于我们常

L

23434 5891091011
见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子 相同、或分子是分母的差或和的
情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
523
，
734
，……即每一项的分子都等于分母 中前两个乘数的和，所以
【巩固】 计算：
1155
（
571719


L
< br>234345891091011
2334910

 
L

23434591011
111111




L

342445351011 911
11

111

1



L

L



1011

2435911

3445
11

1

1111111111

1111



L





L



1011

2

243546810911

3445

11

1

1111
< br>81

28

31














311221
55

31
所以原式
115 5651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯 一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式
为
and
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每 一项都变成两个分数，接
下来就可以裂项了．
571719


L

234345891091011
1221321 82192


L

234345891 091011
122132182192


L

23423434534589108910910119 1011
1111222

2



L

L





2343 4589109101134459101011

1

111111

11

1111



L
2
L



< br>2

233434459101011

1011

3445
1

11

11





2




2

231011

311

112234131
 
，
1222
31
所以原式
1155651
．
55
【答案】
651










10

34512
< br>
L

124523563467101113 14
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以 先将每一项
的分子、分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

1234523456345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平
方差公式：
3
2
154
，
4
2
264
，
5
2
374
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

123452345634567101112131 4
15426437410144


L

1234523456345671011121314
1 11

1




L

< br>111213

234345456

4444< br>



L


101112 1314

123452345634567
1

111111




L


2

2334344511121213

111111




L

1011121311121314

123423452 3453456
1

11

11

 






2

23 1213

123411121314

1111177 1111175


122121324111213 148111213148211148308616
75
【答案】
616

12349
【例 11】


< br>L

2232342345234
L
10
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
12349
【解析】 原式



L
2232342345234
L
10
21314110 1


L

223234234
L10
1111111

1
L

22 2323234234
L
9234
L
910
13628799

1
234L9103628800
3628799
【答案】
3628800












【巩固】 计算：

11

123456


121231234 123451234561234567
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
13141516171
【解析】 原式



12123123412345123456123456 7
111111


L

121212 312312341234567
111


12121234567
15039

1
50405040
5039
【答案】
5040

2399
【巩固】 计算：
L
.
3!4!100!
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
2399
原式



L

1231 234123
L
100
31411001

 
L

1231234123
L
100
111111


L

121231231 234123
L
99123
L
100
111 1


12123L1002100!
11
【答案 】


2100!

23450
【例 13】

L

1(12)(12)(123)(123)(12 34)(123
L
49)(12
L
50)
【考点 】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
234550
【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋
1336610101512 251275
1
1
1111111274
＝（

）＋（< br>
）＋（

）＋（）＝

1
3
36615
1274
【答案】
1275

234100
【巩固】

L

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12
L
99)(12
L
100)
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
211311
【解析】 ，，……，

1(12)112(12)(123)12123
10 011
，所以

(12L99)(12L100)12L9 912L100
1
原式
1

12L100
15049

1
50505050
5049
【答案】
5050

【例 12】

12

2310

< br>L

1
（
12
）
(12)(123)( 123
L
9)(123
L
10)
【考点】分数裂 项 【难度】2星 【题型】计算
23410
【解析】 原式
1(
L
)

13366104555
11

11111
1
< br>1
L



4555

336610
1

1

< br>1

1


55

55
1
【答案】
55

111111
【例 14】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】 这题 是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)(ab)
，
111111
原式
()()()()()()
< br>24466881010121214
11
() 

24466881
1113
()

214214
3
【答案】
14

111111
【巩固】 计算：
(1
2
)(1
2)(1
2
)(1
2
)L(1
2
)(1 
2
)

23454849
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1111311124
【解析】 1
2
(1)(1)
，
1
2
(1) (1)
，……所以，
2222233333
25
原式
L


2233494924949
25
【答案】
49

35715
【巩固】 计算：
22

22

22< br>
L

22

12233478
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
2
7
2
【解析 】 原式

22

22

22

L

22

12233478
1111111
1
2

2

2

2

2
L< br>2

2

2233478
163

1
2

864
63
【答案】
64






【巩固】
1

13

3
2
15
2
17
211993
2
11995
2
1
【巩固】 计算：
2

L

．
3 15
2
17
2
11993
2
11995
2< br>1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
2

2

2

22

【解析】 原式


1
2
11
L
 11


2222

31
< br>51

71

19931

1995 1

22

2

997


L



244619941996

11
1111
997


L



244619941996

1

997
< br>1

997


997

1996< br>
21996

997
【答案】
997

1996

1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】 计算：
2

2

2

L

．
21314199
2
1
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
3
2
5
2
34
1
2
3
2
102
2
4
2
20
104204344
【解析】
2
，
2

，… …由于
2
，

，
2

2
，
 2
，
213318
4115
33881515
4444可见原式
2
2

2
2
2
2
< br>L
2
2
213141991
111

1< br>
2984


L


13243598100

1

1111111
< br>1964

1
L


2

3243598100

1

11
1 962

1



299100

199

19632
9900
4751

198
4950
4751
【答案】
198

4950

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：

L

．
13355799101
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但 是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
1
，
6
2
1
，……，
100
21
，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将
原式乘以4后 进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1

2
2
42
6
2
100
2


L

原式


2


4

214
2
16
2
1100
2
1


< br>

1

1111



12
1
2
1
2

L
1
< br>
4

214161100
2
1

1

1111



50
L
< br>

4

13355799101

11

1111111




50
< br>1
L



4

2

3355799101



11

1


15063


50

1

12


50
4

2

1 01


4101101
【答案】
12
63

101
14

56677889910
【例 15】

56677889910
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
5667788991
【解析】
()...()

56677889910
3
【答案】
10

365791113
【巩固】



57612203042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】 原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4


9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
21
【解析】 原式

111115

3457845373857
【答案】
5



【巩固】



3571220283042
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
13
【解析】 原式


3573445475667
3

1111

212

313

111

















3

4

3366

555
777

444

3
【答案】
3

4

3827
【巩固】



2330123124
11111

11

11

11

11

11


< br>








< br>







【解析】 原 式

23303141

317

717
 
430

341

431

1111111 1
2

23374347
1
【答案】
2

7



3549637791105

31
【巩固】 

6

12

20

30

42

56

1
8


8< br>






579111315

3


71

8
【解析】 原 式




8


61220304 256



111111

11




L


7

8

78

8


2334
11
11





788

8

28

211110

【答案】
10


15

5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
23344556677889910
【解析】 原式
1


23344556677889 910
11111
1()()()()()()()( )

23344556677889910
113

1

2105
3
【答案】
5

11798175
【巩固】


451220153012
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
1
【解析】 原式


453445355646
1111

2452
3

3456
【答案】
3


1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
【例 16】

122318191920
【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
92021919
【解析】 原式
...21736

21912020
19
【答案】
36

20


【巩固】
(......)(......)

120072200620062200712008120062200520061
【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算
2
【解析】 原式=
(...)(...)

200 812007220062007120081200620061
2
=
 (...)(...)

2008120072200620071200 81200620061
1220072007
=
(...)(.. .)

200812007220062007120081200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】
2015028







16

11 1111

L

L

< br>23459899515299
1

111

11 1

11
【解析】 原式



L





L





L



98

3599
515299

24
【例 17】 计算：
1

1 11

11

11

1




L





L


2


L



50

3549

98

24

5254
1

111

111

11




L





L





L



50

3549

262749

24
1

111

11

1

11

1




L





L


2



L



2424352526284850
 
1

111

111

1
< br>11




L





L





L




2424352513142450

1

111

1

11

11

11




L

< br>


L


2


L





12

3511

24

5025

24

1416
1

111

111

11

11



L



< br>
L





L





12

3511

7812< br>
5025

24
1

111

11

111

1



 





2


< br>


24635810125025

1

111

11

111

1
















246

35

456

5025
1149

1


502550
49
【答案】
50

24612
【例 18】 计算：

L


335357357911
315171131
【解析】 原式



L

3353573579 1113
1111

1

1


L< br>
L




1


357911
< br>33535791113

335

1
【答案】

1135134


35791113135135
135134

135 135

2
3

122
2
2
8
2
4
2
11

L



L

【例 19】 计算：



133 5571719

135357171921

2
3
2
4
2
11
22442
9
2
9
【解析】


L

L

13 53571719211335355717191921
2242
8
2
9


L

13355717 191921

2122
8
242
8
2
9


L



L

【解析】 所以原式



13351719

13355 717191921

2
9
1512133379


192113399399
379
【答案】
399


17