六年级分数裂项付之阙如_「金点文库网」分享知识创造价值

辞职理由怎么写-随州市人力资源和社会保障局

分数裂项计算

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、
改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其
变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，
是能力的体现，对学生要求较高。
教学目标
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂
项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项
的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般
都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，那
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
11
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)n(n1)(n2) (n3)
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取
出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
abab11
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时
还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例题精讲
【例 1】
11111

。
1223344556

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11

11

11

115
【解析】
原式









L







12 
23

56

166
1111
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：

133557 79
1111

11

1





．
13355779

19
2
5
【答案】

6
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
111111111
【解析】
原式
()()......()

106012
1
【答案】

12
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
1111

1111

11

7
【解析】
原式
2

 
L


2




91
15

7
【答案】

15
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项 ”问题。此类问题需要从最简单的项
开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
112112

，，……，
1
(11)1
1212
(12)2
23
22
原式
【答案】
1
2222120099


LL2(1)1
1223341001
99

101
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【答案】
50

101
111

1

L

【巩固】
计算：
25



1335572325

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级
1

11111

1

1

25 24


25

1


【解析】
原式
25

1
L

12

2

25

225
2

3352325 
【答案】
12

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】
原式
【答案】
15
251

11111



L



16

122334 500501501502

21

32
【巩固】
计算：
3245671


255771111161622222929
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】
原式

【答案】
1
11



2557722929
2
1

2
11111111
【例 2】
计算：
()128

8244888
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，101中学
【解析】
原式

（
【答案】
28

1111

L

）
128

2446681618
4
9
11111111
【巩固】

_______
6122
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级
【解析】
根据裂项性质进行拆分为：
【答案】
2

5
【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式
1
【答案】
1111


L

1212312341234567
7

4
【巩固】
计算：
111111111

＝
26122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式

【答案】
111111111
()

223344556677889910
1

10
11111
【巩固】

。
1
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式

【答案】
11111


255881111141417
5

34
【例 3】
计算：
1111


L
135357579200120032005
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】原式

1

11

11

11


L




4

133535572001200320032005



【答案】
1004003

12048045
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2007年，仁华学校

79161

111

1
18290
【解析】
原式





1
13 31.2540.8

13355779

3
23 【答案】

36
11111
【例 4】
计算：
1234L20

261220420
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】第五届，小数报，初赛
11

111

L

【解析】
原式


123
L
20






261220420

20
【答案】
210

21
11111
【巩固】
计算：
200820092010
= 。
20112012
70
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【解析】
原式
20082009201020112012
11111


366991212151518
5

54
11224
【巩固】
计算：

____。
26153577
【答案】
10050
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【解析】原式

【答案】
1325375117


26153577
10

11
1111111
【巩固】
计算：



3195
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
32
2
113
，
154
2
135
，……，
19514
2
11315
，
1111111
所以原式



13355 77991111131315
7
【答案】

15
19899
【巩固】
计算：
L
．
26122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2008年，四中
1

1
1

1

【解析】
原式


1



1



1
 
L


1


26129900

1
【答案】
98

100
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
首先分析出
原式

【答案】


n1



n1

11

11





n1nn12n1 nn12n1nnn1







1

11

11

1

11



1




L




2
 
1223

2334

6778

7889


35

144

【巩固】
计算：
111

L

1232349899100
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11111111
【解析】
原式
()

212232334349 89999100
4949
【答案】

19800
1111
【巩固】
计算：


L

135246357202224
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1
11
1
1
＋＋…+++…+

135
357
192123
246
202224
11
1 1
11
＝(－)＋(－)
4
13
2123
4
24
2224
652816010465
40
＝＋＝＋

483
211234
38625
＝

340032
38625
【答案】

340032
【解析】
原式＝
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【答案】
3200

9603
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
11
991001100100
【解析】
＝＝－＝－

123123123
23
123
23
9810021 0021001
＝＝－＝－

23423423423423 434
97100310031001
＝＝－＝－……
34534 534534534545
110099100991001
＝＝－＝－ 
9910010199100101991001019910010199 100101100101
111
原式
...(...) 
123234345991001012334100101
51
【答案】
24

101
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1

111111


L

【解析】
原式



3

1232342343457898910

119
【答案】

2160
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1111111
【解析】
原式
3[(...)]

312323423 4345171819181920
1139
【答案】

6840
5719
【例 5】
计算：

L

．
1232348910
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，
而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，… …这一公差为2的等差数列(该数列
的第
n
个数恰好为
n
的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每
一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

原式

3234316


L

1232348910
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
2n3
，所以
2n3232
，再将每一项的与

n

n1



n2

n1



n2

n

n1



n2

n1n2

3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
n

n1



n2

【答案】
23
15
【巩固】
计算：
1155
（
571719


L

）
234345891091011
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级
【解析】
本题的重点在于计算括号内的算式：
571719
．这个算式不同于

L

234345891091011
我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母
的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知
52 3
，
734
，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式
1155
31
651
．
55
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项
公式为
and
，其中
d
为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将
a
与
nd
分开，每一项都变成两个
分数，接下来就可以裂项了．
112234131

，
1222
31
所以原式
1155651
．
55

（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
所以原式
1155
31
651
．
55
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
2n1
（
n2
，3，……，9）
a
n
n(n1)(n2)
如果将分子
2n1
分成
2n
和1，就是上面的法二；如果将分子分成
n
和
n1
，就是上面的法一．
【答案】
651

【巩固】
计算：
34512


L

124523563467101113 14
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每
一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

1234523456345671011121314
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：
3
2
154
，
4
2
2 64
，
5
2
374
……
3
2
4
2
5
2
12
2
原式



L

123452345634567101112 1314
75
【答案】

616
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】
原式

12349


L

22 32342345234
L
10

【答案】
3 628799

3628800
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】
原式

【答案】
13141516171

 
121231234123451234561234 567
5039

5040
2399
L
.
3!4!100!
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式

【答案】
2399


L
1231234123
L
100
11


2100!
23
4550
＋＋＋＋…＋

13 36
610101512251275
111
1
11112741
＝（

）＋（

）＋（

）＋（）＝


3
6
610
131275
1225
1275
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式＝
【答案】
1274

1275
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
211
311
【解析】
，，……，

1(12)112
(12)(123)12123
10 011
，所以

(12L99)(12L100)12L9 912L100
原式
1
【答案】
1

12L100
5049

5050
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
23410
【解析】
原式
1(
L
)

13366104555
1
【答案】

55
111111
【例 6】
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：
a
2
b
2
(ab)( ab)
，
原式
(
【答案】
111111
)()( )()()()

24466881010121214
3

14
【巩固】
计算：
(1
111111
)(1) (1)(1)L(1)(1)

2
2
3
2
4
2
5
2
48
2
49
2
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
1
11124
11113
，
1(1) (1)
，……所以，
(1)(1)
3
2
333 3
2
2
2222
25
原式
L


2233494924949

【答案】
25

49
【巩固】
计算：
35715


L
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7
2
8
2
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
2
2
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
8
27
2
【解析】
原式

2

L

22

1 2
2
2
2
3
2
3
2
4
278
63
【答案】

64
3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【巩固】
计算：
2

L

．
315
2
17
2
11993
2
11 995
2
1
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
2

2

2

22

11
L
11
【解析】
原式


1
2


2 222

31

51

71

19931

19951

997
【答案】
997

1996
1
2
3
2
2
2
4
2
3
2
5
2
98
2
100
2
【巩固】
计算：
2

2

L

．
213
2
14199
2
1
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
1
2
3
2
102
2
4
2
203
2
5
2
34104
204344
【解析】
2
，
2

， 2

，……由于
2
，

2
，
 2
，
2134115
318
881515
33
44 44
可见原式
2
2

2
2
2
2
L
2
2
213141991
4751
【答案】
198

4950
1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】
计算：

L

．
13355799101
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为
2
2
1
，
4
2
 1
，
6
2
1
，……，
100
2
1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，
所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
1

2
2
4
2
6
2
100
2


2

2
 L

原式


2


2
4

2141611001

【答案】
12
63 
101
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【答案】
3

10
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
36233445566736111111
【解析】
原式=
...
=
4

57233445566757233467
【答案】
4

9
【巩固】计算：


3457820212435
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
21
【解析】
原式

111115

3457845373857
【答案】
5

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
13
【解析】
原式


3573445475667

【答案】
3
3

4
11111

11

11

11

11

11




 








 






23303141

317

717

430

341

431

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式

【答案】
2

1
7
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算


579111315

3
【解析】
原式 




71

8

8


61220304256

【答案】
10

5791113151719
【巩固】
计算：
1

6122
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式
1
【答案】
23344556677889910


23344556677889910
3

5
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式

1


453445355646
【答案】
3

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
原式

【答案】
36
92021919
...21736
21912020
19

20
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
2
(...)(...)

2008120072200 62007120081200620061
2
=
(...)(. ..)

20081200722006200712008120062006 1
1220072007
=
(...)(...)

200812007220062007120081200620061

=
[(...)(...)]

26261

=
[(...)(...)]

26261
1111
=
()
2015028
1
【答案】

2015028
111111
【例 7】
计算：

L

L


23459899515299
【解析】
原式=
【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算
1

111
 111

11

L

【解析】
原式



L





L



98

3599

5 15299

24
1

111

11

11

1

L



【解析】




L

 


L


2


50

3549

98

24

52 54
1

111

111

11

L



【解析】



L





L

 


50

3549

262749

24

1

111

11
1

11

1

L

 
【解析】




L




L


2



2424352526284850

1

111

111

1

11
【解析】




L





L





L




24

3525

131424

50 
24
1

111

1

11 
11

11

【解析】

 

L





L


2


L



12

3511

24

5025

24

1416
1

111

111

11

11

【解析】




L





L




L




24 025

1

111

11
111

1

【解析】








2





24635810125025

1

111

11

111

1


【解析】















246 
35

456

5025
【解析】

1
【答案】
1149


502550
49

50
【例 8】
计算：
24612

L


335357357911
【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算
315171131


L

33535735791113
1111
1

1


L

L

【解析】



1

357911

33535791113

3 35
【解析】
原式

【解析】

1
【解析】


【答案】
1

35791113
135134

135135
135134

135135

2
3

122
2
2
8
2
4
2
11
L



L

【例 9】
计算：



1335571719

135357171921

【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算
2
3
2
4
2
11
22442
9
2
9
【解析】


L

L

1353571719211 335355717191921
2242
8
2
9
【解析】


L

13355717191921 
2122
8
242
8
2
9


L



L

【解析】
所以原式



13351719

13 355717191921

2
9
1512133379
【解析】




192113399399
379
【答案】

399

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