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还原问题（二）


教学目标

倒推法解决问题．

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒 推法的解题思路以及方法，并会运用
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多 少的应用问题，它的解法常常是以
新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或 还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘 除互为逆运算的道理，根据题意的
叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推 ．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后 结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为 除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲


模块一、单个变量的还原问题

【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起 一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二
111
1
口又喝了剩下的，第 三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时
456
3
瓶子里还剩 0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法


1

1< br>
1

1

1


【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：
0.5


1



1



1



1


1


3
（升）．
23456


【答案】
3
升

【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。

1

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有
x
斗酒，则三次经过店和花之后变为
0

2[2(2x1)1]10

8x70

7
x
8

7
即壶中原有斗酒.
8
7
【答案】斗
8

【例 3】 有60名学生，男生、 女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生
放开手，可以分成18个小组 ．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个
小组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题
【解析】 方法一：男生和女生放手分成
1 8
个组，说明有男生被计算
18
次，男生与男生放开手后分成的组数和
男生数 相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，
原来有男生< br>30
人，被计算
302=60
（次），所以

6018< br>
2=21
（次）分成了
21
组。
方法二：
60
名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有
60
对牵着的手，其中男生与女生牵 手
的有
18
对，假设男生与男生牵手的有
x
人，那么，参与围圈的男 生一共有

2x18

2x9
人，所
以
x 930
，
x21
．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了
21
个小组．
【答案】
21
个小组

模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得 到拥护，
于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个 组的书
一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 甲得到4本 ，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原
来有70 -4=66本书
【答案】
66
本书

【例 5】 一群小神仙玩 扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，
乙组又给甲组8只， 这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次 交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时
两组各有沙袋70只．解答时可以从
70
开始倒推．列表倒推如下：

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为 甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所
以应从两组各有沙袋70只开始倒推．
【答案】甲
67
，乙
73


2

【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样 多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出
与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲 、乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树
28214
（棵），乙班有
281442
（棵），如
果开始不从甲 班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树
42221
（棵），甲班原有树
1421 35
（棵）．列表倒推如下:

【答案】甲班原有树
35
棵，乙班原有树
21
棵

【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿 出和
乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好
都是 32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是 从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是
32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆 只有
32216
(个)棋子，而甲堆的棋子数是
321648
(个) ，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所
以，甲堆原有44个 棋子；乙堆原有20个棋子．
乙堆棋子
第三次移动后
32
甲堆棋子
32
÷
2
第二次移动后
16
32
＋　48
÷
2
第一次移动后
40
＋　16
24
＋　
24
44
÷
2
原有棋子
20
采用列表法非常清楚．


【答案】甲乙两堆棋子原来各有
44
个和
20
个

【巩固】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从 下层现
有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮
调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放____ ____本书．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法

3

【解析】 还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本
上层
56
本；下层
168
本
上层 140 本；下层 84 本
上层 70 本；下层 154 本
上层 147 本；下层 77 本
【答案】上层
147
本，下层
77
本


【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70 元，这样三
人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲：
2404020260
（元）； 乙：
240403070160
（元）；丙：
240302070300
．
【答案】甲
260
元， 乙
160
元，丙
300
元

【巩固】 小巧、小亚、小红共有
90
个玻璃球，小巧给小亚
6< br>个，小亚给小红
5
个，小红给小巧
8
个，他们的
玻璃球个数正 好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由已知条件可知，小巧比原来多了
2
个，小亚比原来多了
1
个，小红少了
3
个，三人一样多时，都是
（个），所以小巧原来有
30228
（个），小亚原来有
30129
（个），小红原来有
3033390330
（个）．
【答案】所以 小巧原来有
28
个，小亚原来有
29
个，小红原来有
33
个 ．

【例 8】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟 从第二棵树上飞到第三
棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多． 原来每棵树上各
有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟 同样多，那每棵数上就是
36312
（只），第一棵树上的鸟，
先是飞了4只到第 二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就
能求出第一棵树上小鸟 的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原
来比少了4只，这样比较就 能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后
又飞走了10只，现在和原来比 少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一
样多的：
36312< br>（只），第一棵树上的小鸟只数：
121046
（只）或
12(1 04)
（只）
6
，
第二棵树上的小鸟只数：
128416
（只）或
12(84)16
（只），第三棵树上的小鸟只数：
121 0814
（只）或
12(108)14
（只）原来第一棵树上有6只小鸟， 第二棵树上有16只小鸟，
第三棵树上有14只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到 第一
棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：
2739（只），第一棵数上鸟的只数：
9427
（只），第二棵数
上鸟的只数：< br>92310
（只），第三棵数上鸟的只数：
93410
（只），第 一棵数上有7只鸟，
第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．
【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个 笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉 ?

4

【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 3个笼子里的鹦鹉不 管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出
现在每个笼里的是< br>78326
（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道
第1个笼子里原来养了
26834
（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼 子里”，得
出第
2
个笼子里有：
266824
（只），第3个 笼子里原有
26620
（只）．
【答案】第1个笼子里原来养了
34< br>只，第
2
个笼子里有
24
只，第3个笼子里原有
20
只。

【巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼 子里，再从第2个笼子里
取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来 各养了多少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变． 变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出
现在每个笼里的兔子是
36312
（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以
知道第1个笼子里原来养了
12820
（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，
所以第3个笼 子里原有：
1266
（只），第
2
个笼子里原有：
3620 610
(只)．
【答案】第1个笼子里原来养了
20
只，第
2< br>个笼子里原有
10
只，第3个笼子里原有
6
只。

【例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李 18本，李
给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物2 00本，经过互相交换后，这200本书的总
数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时 ，每个人的本数是
200450
(本)．
用倒推法，求每个人原来各有多少本书 ，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本
数减去，就得到各人原有课外读物的本数．
⑴张原有读物的本数：
5013261
(本)
⑵王原有读物的本数：
50181355
(本)
⑶李原有读物的本数：
50161848
(本)
⑷赵原有读物的本数：
5021636
(本)
【答案】张原有读物< br>61
本，王原有读物
55
本，李原有读物
48
本，赵原有读物
36
本。

【例 10】 解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人 支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下
的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有 30人，求第一队原有多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由条件“后来又调进
8
人”和“这时第 一队还有
30
人”，可知不调进
8
人有
30822
(人 )．由“又抽调剩
下的一半支援第四队”后还有
22
人，可知如果不抽调人去支援第四 队，一队有
22244
(人)；由“抽
调
35
人支援第三队”后 还有
44
人，可知之前有
443579
(人)；由“从第一队抽调一半人 支援第二队”
后还有
79
人，可知第一队原有
792158
(人 )．
列式为：
[(308)235]2792158
(人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
【答案】
158
人

【例 11】 科学课上，老师说：“土星直 径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，
水星直径加上2000千米是火 星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是
3000千米.”请你算一算，地 球的直径是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先求土星直径：
[(3000500)22000]24120000
(千米) < br>再求地球直径：
(1200004800)912800
(千米)，即：地球的直 径是12800千米.
【答案】
12800
千米

5

【例 12】 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面 ，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太
多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时 爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少
2块，从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块， 哥哥比弟弟多搬了3块．问最
初弟弟准备搬多少块?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先来看看最后爸爸、 哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟
3
块，那么3个人搬的砖数就一
样多了， 都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了
1836
(块)，弟弟搬了
633< br>(块)，爸爸搬了
639
(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟 处搬之前，弟弟的砖数是
（32）210
(块)，哥哥的砖数是
18108
(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下
的砖数一样，是8块，所以，弟弟从 哥哥处搬之前，哥哥的砖数是
8216
(块)，那时，弟弟的砖数
是
18 162
(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块．所以，哥< br>哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是
224
(块)，那时，哥哥的砖数是
1 8414
(块)．所以，最初，
弟弟准备搬4块砖．即：
⑴最后，爸爸、哥哥和 弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：
1836
(块)，爸爸：
639
(块 )，弟弟：
633
(块)
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块 ：哥哥：
（62）28
(块)，
弟弟：
（32）210
(块)
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各 有多少块：哥哥：
8216
(块)，弟弟：
18162
(块) ⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：
224
(块)，哥哥：
18414
(块)
【答案】
4
块

【巩固】 有 砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，
就抢过一 半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟
弟多挑2块．问 最初弟弟准备挑多少块？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是，弟弟是261412
（块），然后来
（262）214
（块）
还原： ⑴ 哥哥还给弟弟5块：哥哥是
1459
（块），弟弟是
12517
（块）；⑵ 弟弟把抢走的一
半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9918
（块），弟弟是
1798
（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是
8816
（块）．
【答案】
16
块

【例 13】 口渴的三个和尚分别捧着一个水 罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老
和尚把自己的水全部平均分给了大、小两 个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、
小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平 均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让
了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水， 小和尚的水罐则装着20升水．请问：最初
大和尚的水罐里有多少升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每 次分完水以后分水的人自己一定没有水
了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、 20升．列表分析如下：

回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有 这三种状态．又因为已知最初老
和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水 罐里最初有10升水．
【答案】
10
升

6

【例 14】 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他 们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的
一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半 平分给老三与老大，最后老大把现有的桔
子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问： 兄弟三人的年龄各多少岁？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等， 因此每人最后都有
2438
(个)桔子.由此列
表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁.
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿
出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁

【例 15】 甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从 乙的邮票中取出丙那
么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同， 甲、乙、丙
原来各有多少张？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三 次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相
同，即3人各有邮票：
1923 64
（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交
换前甲有邮票
64232
（张），丙有邮票：
643296
（张），依此类推，就可以推出 答案了．最
后相等时各有
192364
（张），列表倒推如下：
【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为
88
，
56
，
48
张

【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果 放入乙堆；第二次再从
乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果 数相同的苹果放
入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有
个苹果．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法
【解析】 如下表：
【答案】甲
44
，乙
28
，丙
24


【例 16】
A、B、C、D、E、F、G
七个人都各有一些珠子。从
A< br>开始依序进行以下操作，每次都分给其他

7

< br>六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当
G
操作后，每个人手中都恰好各有
256
颗
珠子，请问
D
原先有多少颗珠子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛
【解析】 本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、

于是
D
之前的珠子个数是
114
颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化
一下求解过 程，因为最终结果
D
有
256
颗珠子，所以在
G
操作之前，
D
的珠子个数应该减半为
128
颗，
在
F
操作前应 该再减半为
64
颗，在
E
操作前应该再减半到
32
颗，在< br>D
操作前，其余所有人的珠子
应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应 该减半，也就是
(256732)2880
，
这些都是
D
分 给他们的，所以在
D
操作前，
D
应该有
88032912
颗珠子，于是在
C
操作前，
D
的
珠子应该减半到
912 2456
，于是在
B
操作前，
D
的珠子数应该减半到
45 62228
，于是在
A
操
作前，
D
的珠子数目应该减半 到
2282114
颗。也就是说
D
之前的珠子数目是
114颗。
【答案】
114
颗

【例 17】 一班、二班、三班 各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这
两个班的图书各增加一倍； 然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增
加一倍；接着三班也拿出一部分图书 分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三
个班的图书数目都是48本．求三个班原来各 有图书多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一 次重新变化后，三个班的图书总数目是一
个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发 进行倒推，求每一次重新变化以前三
个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知， 一班、二班的图书数目各增加
一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各 应减半，还给三班．其余
各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：

【答案 】三个班原来各有图书
78
本，
42
本，
24
本

【巩固】 3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和 丙，
使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第
三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而
输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100
元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法

8

【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．

从开始到最后甲的份数少了份，说明每份是元．
（138）100（138 ）20
所以刚开始时，甲有
1320260
(元)，乙有
4208 0
(元)，丙有
720140
(元)．
【答案】刚开始时甲有
260
元，乙有
80
元，丙有
140
元．

【巩固】 A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两 桶内的
油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第
二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第
三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千
克 ？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报
【解析】 用“倒推法”列出下表，从表中可以看 出：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千
克．
【答案】原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克．

【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，
使自 己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆
一样多．如 果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先假设后来三个人都 是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51
粒，
513 17
，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆
17585
（粒）．
【答案】
85
粒

【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开 始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各
增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给 甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的
铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增 加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人
各有几枚？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲13枚，乙7枚，丙
4
枚．
【答案】甲13枚，乙7枚，丙
4
枚

【例 18】 三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们 的水分别增加到原
来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水 分别增加
到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到 2
倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答

9

【关键词】可逆思想方法
【解析】 可以列一个表，使 每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面
的解答。
先在 第一行填上三个96，第二行的前2个数是
96248
，第3个数是
9634 82192
，第三
行的第1个数是
48316
，第3个数是
196296
，第2个数是
48

4816

< br>
19296

176
，
第四行第2个数是
17 6288
，第3个数是
96332
，
第1个数是
16< br>
17688



9632

16 8
，三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。
【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升

【例 19】 某工厂有
A
、
B
、
C
、
D
、
E< br>五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把
B
车间工人的

1
调入
2
11
1
A
车间，
C
车间工人的调入
B
车间，
D
车间工人的调入
C
车间，
E
车间工人 的调入
D
车
46
3
间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有 多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 采用倒推法，列表如下

所以原来< br>A
、
B
、
C
、
D
、
E
车间 分别有11、38、33、32、36个工人．解这种还原问题的关键是
从最后结果出发，逐步向前一步 一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减
为加，变乘为除，变除为乘．列式时还 要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数
学中常用的思维方法．
【答案】原 来
A
、
B
、
C
、
D
、
E
车间分别有11、38、33、32、36个工人

【例 20】 老师在黑板上写了三个不 同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均
数，如此做了7次，这时黑板上三 个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为
2008，且所有写过的数都是整数．请 问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于最后写到黑板上的数是其前两个数的 平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159，所以
写到黑板上的最后一个数是
159 (21)53
．
假设剩下的两个数中靠前的一个是
A
，靠后的一个是< br>106A
，那么可以依次推出：
第7个被擦掉的数是
2(106A)A2123A
，
第6个被擦掉的数是
2A(2123A)5A212
，
类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为
63611A
、
21A1060
、
233243A
、
85A4452
，
最先被擦掉的数是
2008(233243A)(85A4452)412842A，
由题意，以上这些数均为正整数．
由
233243A0
及A
为整数可以推出
A≤54
，
由
85A44520
及
A
为整数可以推出
A≥53
，
另一方面，如果
A5 3
，有
2
，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾，
33243A85 44A5253

10

所以应该有
A54
．
此时最开始写在黑板上的第一个数为
412842A1860
．
【答案】
1860


【例 21】 有一堆棋子，把它三等份后剩 一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一
枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的 棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋
子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 本题的数量关系更加 隐蔽、复杂，应如何解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知
解题的关键是确定在“ 最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子?再根据提问“原来至少有多
少枚棋子”可知在“最后 将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子．
采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．

【答案】
40
枚

【巩固】 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩
2
个；然后再取
其中两份，将这两份三等分后还剩
2
个．问：这筐苹 果至少有几个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 方法一：如果增加
4
个苹果，那么第一 次恰好三等分(每份多出
2
个)；第二次取出其中
2
份(总共多出
4
个)，也恰好三等分(每份又多出
2
个)；最后取
2
份(共多出4
个)，也恰好三等分．而且最后一次分
总数一定是偶数，因为是取
2
份 来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多
2
个，所以现在每份
至少是
4< br>个．从而上一次每份为
4326
(个)，再上次每份为
6329
(个)，那么开始时共有
9327
(个)苹果，但是我们假设增加了
4< br>个，所以这筐苹果至少有
27423
(个)．列表法是还原
问题的一个基本 方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
方法二：从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后 ，每一份的个数为
x
个，那么最后一次三等
3x2
分之前的苹果个数是3x2
个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是
2
< br>3x2

2
个，同样的这些苹果是个，这个数应该是一个整数；第二次三等 分前，苹果的个数是
3
2
3

3x2

4< br>第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为个，这个数也应该是一个整数；所以这筐
4
3

3x2

4
2
个．显然
x
越小 ，这筐苹果的个数最少，但是有
3x2
和苹果的总数为
3
4
2< br>3

3x2

4
是整数的约束条件．满足这两个约束条件 的
x
必须被4除余2，所以满足该条件的
x
的
4
最小值为2 ，代入得到这筐苹果最少有23个．
【答案】
23
个



11