艰难的国运与雄健的国民-澳洲签证类型

第11讲 巧妙求和
学习目标

掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；
掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。
知识梳理
一、数列的概念

按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的 每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后
一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
如：2、5、8、11、14、17、20、
L
从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、
L
从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

二、等差数列与公差
一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的 差都相等，这样的数列的叫做等差数列，
其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）

项数

2
项数=（末项-首项）

公差+1
末项=首项+公差

（项数-1）
首项=末项- 公差

（项数-1）
公差=（末项-首项）

（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项

项数
中项定理：对于任意一个项 数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等
于首项与末项和的一半；或者换句话说， 各项和等于中间项乘以项数．
典例分析

考点一：等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？



例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19< br>项是多少？



例4、2、4、6、8、10、12、
L
是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们
中最小的一个．




例5、5、8、11、14、17、20、
L
，这个 数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第
几项？

考点二：等差数列求和
例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？




例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？




例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平 均数。在求这2006个数的和时，他少算
了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求 出的数比应求得的数小1。小马虎
求和时漏掉的数是。



例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？
11
12
13
M
20
12
13
14
M
21
13
1415
M
22
L
L
L
M
L
19
20
21
M
28
20
21
22

M
29

考点三：等差数列的应用
例1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，
L< br>，问2009是这个数列的第多少项？





例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？



例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式
摆下去，当N=5时，共需要火柴棍 根。


例4、将一些 半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形
中有10个小圈，第3个 图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第
6个图形有__________ _个小圈。

实战演练

➢ 课堂狙击
1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？




2、全部三位数的和是多少？




3、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。

4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈
有多少人？最内圈有多少人？

5、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比 它前面的数大4，这串数中第2003
个数是。

6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有7 0个
座位，这个剧院共有多少个座位。





7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，
最 下面一层放本书。





8、有10只盒子，54个 乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不
相等？





9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园 木，每面下层增加1根，
最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？

< br>10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第
三 层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？

➢ 课堂反击
1、观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =________ 。

2、2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？



3、在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．



4、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？




5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排 成一行后，相邻两个数的差都是5，
那么，第1个数与第6个数分别是多少？



6、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、
L
，问:这个数列中第 2000个数是多少？第2003个
数是多少？




7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

20201055
8、观察下列四个算式：
1
=20，
2
=10，
4
=
2
，
8
=
16
。从中找出规律，写出第五个算
式：。






9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币 数相减得出一个差（大
数减小数），如对于a，差为7-5=2，所有差的总和为。
5

2



1、（第3届，希望杯，4年级，1 试）从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数
是_____。


2、（第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式：
2＋4＝6＝2×3，
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
直击赛场

然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝。


3、（第3 届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1～N中去掉一个数，剩下的(N一1)个数的
平均值是15.9 ，去掉的数是_____。


重点回顾
一、等差数列的定义

⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我
们称它为等差数列．
⑴首项：一个数列的第一项，通常用
a
1
表示
末项：一个数列的最后一项，通常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d
来表示；
和：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示．
二、等差数列的相关公式
（1）三个重要的公式
⑴通项公式：递增数列：末项
首项

(项数
1
)

公差，
a< br>n
a
1
（n1）d

递减数列：末项
首项

(项数
1
)

公差，
a
n< br>a
1
（n1）d

⑴项数公式：项数

(末项

首项)

公差+1
⑴求和公式：和=(首项

末项)

项数÷2
（2）中 项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于首项与末项和 的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

学霸经验
➢ 本节课我学到



➢ 我需要努力的地方是