关于毛泽东-贫困助学金申请书

5-1-2-1.加减法数字谜

教学目标


数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数 的
数字谜问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字谜问题

知识点拨
一、数字迷加减法
1.个位数字分析法
2.加减法中的进位与退位
3.奇偶性分析法

二、数字谜问题解题技巧
1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；
2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
4.注意结合进位及退位来考虑；

例题精讲


模块一、加法数字谜

【例 1】 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家 华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华
罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两 位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华
杯”代表的两位数是多少？
191
华
200
0
杯
4
＋

【考点】加法数字谜 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第1题
【解析】 由
0
+“杯”=4，知“杯” 代表4（不进位加法）；再由191+“华”=200，知“华”代表9．因此，“华杯”代
表的两位数 是94．
【答案】
94


【例 2】 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少?
＋
14
9
【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第5题

【解析】 149的个位数是9，说明两个个位 数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的
和。于是，四个数字的总和是14＋ 9＝23。
【答案】
23


【例 3】 在下边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加数至少是多少？
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第四届，华杯赛，初赛，第2题

【解析】 从“被加数的数字和是和的 数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：①被加数可以被3整除。②在
做加法运算时，个位数字相加一 定进位，否则和的数字和只会增加。从前一点可以得出被加数在12，
15，18……中。再从后一点可 以得出被加数最小是18，这时数字和1＋8＝9，恰好是和21的数字和
2＋1＝3的3倍。因此，满 足题目的最小的被加数是18
【答案】
18


【例 4】 两个自然数，它们的和加上它们的积恰为34，这两个数中较大数为（ ）．
【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】 （4+6）+4×6=34，这两个数中较大数为6。
【答案】
6


【例 5】 下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少？
＋
1
9
9
1
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第11题

【解析】 方法一：每个方框 中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18．现在先看看被加数
与加数中处于“百位 ”的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什

么，相 加后必小于200，也就是说最多只能进1．这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是
18，而 且后面两位数相加进1，同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字
相加后 进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11，6个方框中数字之和为18＋18＋11＝47
方法二：被加数不会大于999，所以加数不会小于1991－999＝992。同样，被加数不会小于992也
就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数这样便确定了加数和被加数的“百位”数字
和“十位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。
于是，总和为9×4＋11＝47
【答案】
47


【例 6】 在下边的竖式中，相同字母代表相同 数字，不同字母代表不同数字，则四位数
tavs
______
stva
vtst

ttvtt
【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第5题
【解析】 两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定
t1
，那么 百位
不可能向千位进位，所以
sv11
，十位向百位进了1位，所以
v tt13
，可得
s1138
．又
因为
att
，所以
a0
，四位数
tavs
为1038。
【答案】1038

【巩固】 下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？
A
+
E
E
D
B
CD
D
D
B
E
C
A

【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 由 于四位数加上四位数其和为五位数，所以可确定和的首位数字E＝1.又因为个位上D＋D＝D，所
以D =0.此时算式为：
A
+
1
1
0
B
C0
0
0
B
1
C
A

下面分两种情况进行讨论：
①若百位没有向千位进位，则由千位可确定A=9，由十位可确定C=8，由百位可确定B=4.
因此得到问题的一个解：
9
+
1
1
0
4
80
0
0
4
1
8
9

②若百位 向千位进1，则由千位可确定A=8，由十位可确定C＝7，百位上不论B为什么样的整数，
B+B和的 个位都不可能为7，因此此时不成立。

【答案】
9
+
1< br>1
0
4
80
0
0
4
1
8
9


【巩固】 右面算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字.当它们各代表什么数字时算式成
立？
好啊好
+真是好
真
是
好
啊

【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 由于是三位数加 上三位数，其和为四位数，所以“真”=1.由于十位最多向百位进1，因而百位上的
“是”=0，“好 ”=8或9。①若“好”=8，个位上因为8+8＝16，所以“啊”=6，十位上，由于6＋0＋1=7≠8，
所以“好”≠8。②若“好”=9，个位上因为9＋9=18，所以“啊”=8，十位上，8＋0＋1= 9，百位上，9＋
1=10，因而问题得解。真=1，是=0，好=9，啊=8
9
+
1
【答案】
9
+
1
1
0< br>8
0
9
9
9
8
8
9

1
0
0
9
9
8


【巩固】 下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“数学真好玩”代表的数是几？
爱好真知
数学更好

数学真好玩
【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第3题
【解析】 题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为1，所以“数”
1
。再 看千位，
由于百位至多进1位，而“爱”

“数”
1
最大为
91111
，所以“学”不超过1，而“数”为1，所以“学”
只能为0．竖式变为
爱好真知
10更好
。
10真好玩
那么“真”至少为2，所以百位 不可能进位，故“爱”
1019
。由于“好”和“真”不同，所以
“真”“好 ”
1
，十位向百位进1位。如果个位不向十位进位，则“真”

“更”“ 好”
10
，得到“更”
9
，
不合题意，所以个位必定向十位进1 位，则“真”

“更”
1

“好”
10
，得到 “更”
8
。现在，

“真”

“好”
1< br>，“知”

“好”
10
“玩”．“真”、“好”、“知”、“玩” 为2，3，4，5，6，7中的数。由于
“玩”至少为2，而“知”

“好”最大为< br>6713
，所以“玩”为2或3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为
6和7， 此时无论“好”为6还是7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”与“好”
分别为5和7，只能是“知”
7
，“好”
5
，“真”
6。此时“数学真好玩”代表的数是10652。
【答案】10652

【例 7】 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已
知
BAD
不是
3
的倍数，
GOOD
不是
8
的 倍数，那么
ABGD
代表的四位数是多少？
BAD
BAD

GOOD
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 首先可以确定
D
的值一定是
0
，
G
的值一定是
1< br>，所以
GOOBABA
，可见
GOO
为偶数，只能是
12 2
、
144
、
166
、
188
，由于
BA D
不是
3
的倍数，
GOOD
不是
8
的倍数，所以< br>GOO
不是3的倍数，
也不是4的倍数，可以排除144和188，再检验122和16 6可知只有
166
符合，此时
BAD
为830，所
以
ABG D
的值为
3810
。
【答案】
3810


【例 8】 在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛’，代表1，2，3，4，5，6， 7，8，9中的
7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华 、杯、赛’’
所代表的7个数字的和等于 ．
第十一届
＋
2
华杯赛
006

【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 显然十位和百位都出 现了进位，所以有以下的等式：“第”
1
，“十”

“华”
9< br>，如果“届”

“赛”
没有出现进位，那么“一”

“杯”< br>10
，“届”

“赛”
6
，那么“届”和“赛”一个是2 另一
个是4，那么“一”

“杯”中有一个小于5的数必然是3，另一个是7，这样的 话就不存在不重复
的“十”和“华”使它们的和是9，所以“届”

“赛”必定出现进 位．
由于“届”

“赛”出现进位，那么“一”

“杯”
9
，“届”

“赛”
16
，所以7个汉字代表
的7个数 字之和等于
1991635
．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、 “赛”分别是3、
6、4、5、7、9时可满足条件(答案不止一种)．
另解：本题也可采用 弃九法．由于
第十一届华杯赛2006
，所以

第十一届华杯 赛

除
以9的余数等于2006除以9的余数，为8．
由于“第、十、一 、届、华、杯、赛’，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，且不同
的汉字代表不同 的数字，假设1～9中的另外两个数为
a
和
b
，那么

第 十一届华杯赛

45

ab

，故45

ab

除以9的余数为8，则

ab
除以9的
余数为1．

由题意可以看出“第”
1，所以
a
、
b
不能为1，则
202ab8917
，其中满足除以9余
1的只有10，所以
ab10
，

第十一届华杯赛

45

ab

45 1035
．
【答案】
35


【例 9】 在下边的 算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可
以推算出：
☆=
_______.

☆☆

【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位 ，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，得到
“□”
0
，这与“□”在首位不 能为0矛盾，所以十位上的“□

□”肯定进位，那么百位上有
“□

□
110
□”，从而“□”
9
，“☆”
8
。再 由个位的加法，推知“○

△
8
”．从而
“
☆< br>98825
”．
【答案】
☆
98825


【例 10】 下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么
A

B

C

D

E

F

G

。
AB
E
20
C
F
0
D
G
7
DC
G
93
B
F
8< br>A
E
7
＋＋

【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题

【解析】 突破口是A =1，所以E=6，B=3或4.若B=3，F=5，C=4，G=9，D=8，满足题目；若B=4，F=4， 矛
盾，舍.综上，A

B

C

D
E

F

G=1+3+4+8+6+5+9=36.
【答案】
36


【例 11】 在下面两个算式中，相同的字母代 表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数
ABCD
为 .
ABCDAEFG
EFGH

EFGH

20082424
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第6题
【解析】 如果
DH8
，那 么将有
CG0
，即
CG
，与题意不符，所以
D10H8
，即
D2H
．类
似分析可知
C110G0
，即
C9G
，故
C0
，由
G9
知
GH4< br>，故
H5
，
G9
．
D3
．
由
F10G2
得
F1
，由
B1F0
得
B2
，由
E1F4
得
E6
，由
AE2
得< br>A8
，
故四位数
ABCD
为8203．

【例 12】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三 位数
和一个四位数，使这三个数的和等于2010. 其中未被选中的数字是
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第9题
【解析】 9、6根据弃九法，所有加数的各位数字总和与 求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍。由于2010

的各位数字之和为3，而0+ 1+2+…+9=45，所以应该从中去掉6。
【答案】
6


【例 13】 把0~9中的数填到下图的方格中，每个数只能用一次，其中5已经填好，位于上方的格 子中所填
数总大于它正下方的格子中所填数．

【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第2题
【解析】
382571946010116

【答案】
382571946010116


【例 14】 下面的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字.如果巧+解+数+字+谜=30 ，
那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？
谜
字谜
数字
谜解数
字
＋
赛
谜
解数
字
谜
谜巧解数字< br>【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 观察算式的个位，由于谜+谜+谜+谜+谜和的个位还是“谜”，所以“谜”＝0或5。
① 若“谜”=0，则十位上字×4的个位是字，字=0，出现重复数字，因此“谜”≠0。
②若“谜”= 5，则巧+解+数+字=25.观察这个算式的十位，由于字+字+字+字+2和的个位还是“字”，所
以“字”=6，则巧+解+数=19.再看算式的百位，由于数+数+数+2和的个位还是“数”，因而“数”= 4或9，
若“数”=4，则“解”＝9.因而“巧”=19-4-9＝6，“赛”=5，与“谜”=5重 复，因此“数”≠4，所以“数”=9，则
“巧”+“解”＝10.最后看算式的千位，由于“解”+ “解”+2和的个位还是“解”，所以“解”＝8，则“巧”=2，
因此“赛”＝1.问题得解。

5
6
9
8
＋1
2
8
8
9
9
9
6
6
6
6
5
5
5
5
5

因此，“巧解数字谜”所代表的五位数为28965。
【答案】28965

【巩固】 如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字， 相同的汉字表示相同的数字．求使算式成立的汉
字所表示的数字.
学
数学
爱数学

喜爱数学
2008
【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 将竖式化为横式就是：
1000喜200爱30数4学=2008< br>，从“
喜
”到“
学
”依次考虑，并注意
到“喜”、“爱”、“ 数”都不能等于0，可以得到：
喜1
，
爱4
，
数6
，
学7
。
【答案】
喜1
，
爱4
，
数 6
，
学7


【巩固】 如图所示的算式中，相同的汉字表示相 同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则数+学+
竞+赛= 或 。
赛
竞赛
学竞
赛
数学
竞
赛
＋
1
2
数学
竞
赛
数学竞赛

【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 从个位上看 起，个位上的“赛”只能是5，则由
4
竞
2W
竞，知“竞”只能取6， 又由
3
学
2W
学，
则知学可取4或9，当取4时，数等于9； 当取9时，数等于8.所以数+学+竞+赛=5+6+4+9=24或
5+6+8+9=28。
【答案】
28


【例 15】 在
33
的方格 中，各有一个数，由一张或两张数字卡片组成，请你移动一张卡片，使每行每列三
个数的和都相等．用箭 头表示将哪一张卡片移动到哪里．

2
11
7
1
2< br>5
3
1
1
7
9
9131
【考点】加法数字谜 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】 把第三列中的最下边一个“1”放到第一列的2后面就可以了。
【答案】把第三列中的最下边一个“1”放到第一列的2后面。

模块二、减法数字谜

【例 16】 如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的连乘积等
于多少？
－
8
9
4
【考点】减法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，试题，第6题

【解析】 因为差的首位 是8，所以被减数首位是9，减数的首位是1。第二位上两数的差是9，所以被减数的
第二位是9，减数 的第二位是0。于是这六个方框中的数字的连乘积等于0。
答：六个方框中的数字的连乘积等于0．
【答案】
0


【例 17】 在下式的每个空格里填入一个数字，使竖式成立。
0
－20
05
6
9
【考点】减法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】（走美杯3年级决赛第4题，8分）
【解析】 原式
30052006=999
。
【答案】
999


【例 18】 把
0~9
这
10
个数字填入下图（已填两个数字）， 使得等式成立。减数为_____
95

－
1
234
5

【考点】减法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】 减数的个位必须是0，从1的位置入手尝试可得：
937658142012345

【答案】
937658142012345


【例 19】 在下面的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么D＋G=？
AB< br>E
C
F
F
B
A
F
D
G
F< br>－

【考点】减法数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由于是五位数减去四位数，差为三位数，所以可确定A=1，B=0，E=9.此时算式为：
10
9
C
F
F
0
1
F
D
G
F
－

分成两种情况进行讨论：
①若个位没有向十位借1，则由十位可确定F=9，但这与E=9矛盾。
②若个位向十位借 1，则由十位可确定F=8，百位上可确定C=7.这时只剩下2、3、4、5、6五个数字，
由个位可 确定出：

D=2

D=3

D=4


或

或

，因此，问题得解
G=4G=5G= 6

10
9
7
8
8
0
1
8< br>2
4
8
10
9
7
8
8
0
1
8
3
5
8
10
9
7
8
8
0
1
8
4
6
8
－－－

所以 D＋G=2＋4=6或D＋G=3＋5=8或 D＋G=4＋6=10
【答案】6或8或10

【例 20】 英文“HALLEY”表示“哈雷”，“COMET”表示“彗星”，“EA RTH”表示地球.在下面的算式中，每个
字母均表示0～9中的某个数字，且相同的字母表示相同的数 字，不同的字母表示不同的数字.这些
字母各代表什么数字时，算式成立？
HA
C< br>E
L
O
A
L
M
R
E
E
T< br>Y
T
H
－

【考点】减法数字谜 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 因为是一个六位数减去一个五位数，其差为五位数，所以 可确定被减数的首位数字H＝1.若个位没
有向十位借1，则十位上E-E=0，有T=0，那么个位上 ，Y-0＝1，得Y＝1，与H=1矛盾，所以个位
要向十位借1，于是十位必向百位借1，则十位上， 10＋E-1-E＝9，则T=9，因此，由个位可确定Y
＝0.此时算式为：
1
A
C
E
L
O
A
L
M
R
E
E
9
0
9
1
－

① 若百位不向千位借位，则有R＋ M＋1=L，这时剩下数字2、3、4、5、6、7、8，因为2＋3＋1=6，
所以L最小为6。若L =6，则（R，M）=（2，3）（表示R、M为2、3这两个数字，其中R可能为2，
也可能为3，M 也同样）.这时还剩下4、5、7、8这四个数字，由千位上有O+A=6，而在4、5、7、
8这四个 数字中，不论哪两个数字相加，和都不可能为6，因此L≠6.若L＝7，则M＋R=6，于是（M，
R ）＝（2，4），还剩下3、5、6、8这四个数字.由千位上O＋A=7，而在 3、5、6、8这四个数字中 ，
不论哪两个数字相加，和都不可能为7，因此L≠7。若L=8，则M＋R＝7，（M，R）=（2， 5）或（M，
R）＝（3，4）。若（M，R）=（2，5），则还剩下3、4、6、7这四个数字。由 千位可确定O＋A=8，
而在3、4、6、7这四个数字中，不论哪两个数字相加，和都不可能为8，因 此（M， R） ≠（2，5）。
若（M，R）＝（3，4），则还剩下2、5、6、7这四个数字。由 千位可确定O＋A=8，而2＋6=8，所
以（O，A）＝（2，6），最后剩下5和7.因为5＋7＝ 12，所以可确定A＝2，O=6，则（C，E）＝（5，
7）.由于C与E可对换，M与R可对换，所 以得到问题的四个解：
12
7
5
12
5
7
86
2
8
6
2
8
3
4
8
34
5
5
9
7
7
9
0
9
10
9
1
1
12
7
5
2
5
7< br>8
6
2
8
6
2
8
4
3
8< br>4
3
5
5
9
7
7
9
0
9< br>1
－－

0
9
1
－－

②若百位向千位借1，则M＋R＝L＋9.还剩下2、3、4、5、6、7、8。
若L＝2，则（M，R）＝（3， 8）或（M，R）=（4，7）或（M，R）＝（5，6）. 由千位得O+A＝11，则必有C＋E=11，而万位上C＋E＝9+A，由此可得A=2，与L＝2矛盾.

所以L≠2。
若L＝3，则M＋R＝12，（M，R）=（4，8）或（M， R）＝（5，7）.由千位得O＋A＝12，
这时还剩下2、6这两个数字.由万位得C+E=9＋A，即2＋6=9＋A，A无解.所以L≠3。
若L＝4，则M＋R＝13，（M，R）＝（5，8）或（M，R）＝（6，7）.由千位得O＋A=1 3，
这时还剩下2和3这两个数字.由万位得C+E＝A+9，即2＋3＝A＋9，A无解.所以 L≠4。
若L=5，则M＋R＝14，（M，R）=（6，8）.由千位得O＋A＝14，
而在剩下的2、3、4、7这四个数中，任意两个数字的和都不等于14.所以L≠5。
若L=6，则 M＋R=15，（M， R）=（7，8）.由千位得O＋A＝5，则（O，A）=（2，3）.
这时还剩下4和5这两个数字，由万位得C+E＝10+A，即4＋5=10＋A，A无解.所以 L≠6。
因为M＋R的和最大为15，所以L最大取6。
12
7
5
12
5
7
8
6
2
8
6
2
83
4
8
3
4
5
5
9
7
79
0
9
1
0
9
1
1
12
7< br>5
2
5
7
8
6
2
8
6
2< br>8
4
3
8
4
3
5
5
9
7< br>7
9
0
9
1
－－

0
9
1
－－

共以上四个解。
【答案】
12
7
5
12
5
7
8
6
2
8
6
2
8
3
4
8
3
4
5
5
9
7
7
9
0
9
1
0
9
1
1
12
7
5
2
5
7
8
6
2
8
6
2
8
4
3
8
4
3
5
5
9
7
7
9
0
9
1
－－

0
9
1
－－