河南省专科学校排名-江苏人事考试网成绩

“鸡兔同笼”问题中的数学思想
“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中 记载的一道数学趣题，是《人教版义
务教育课程标准实验教科书·数学》六年级上册第七单元“数学广角 ”中的教学内容。教材
虽然只编排了一道例题，但此例在解决“鸡兔同笼”问题时，先后呈现了多种不同 的解决问
题的策略。这些策略的背后究竟隐含着哪些重要的数学思想方法，又该如何向学生有效渗透这些重要的数学思想方法？对此，遵循新课程的目标，按照新课标的要求，结合新教材的特
点，都颇 具探究价值。
一、解决“鸡兔同笼”问题策略中蕴涵的数学思想方法
数学思想是对数学知识 和方法的本质及规律的理性认识，数学方法则是数学思想的具
体表现形式，数学思想和数学方法合在一起 ，称为数学思想方法。解决问题的策略是以一定
的数学思想方法为指导，在特定问题情境中，为实现教学 目标而制定并在实施过程中不断调
适、优化，以使问题得以有效解决的最佳系统决策与设计。在解决“鸡 兔同笼”问题的过程
中所使用的不同的解决问题的策略背后，一定隐含了相应的数学思想方法。笔者从中 挖掘出
的以下数学思想方法，对于教师提高对数学思想方法的认识能力和渗透意识都十分必要。
1．转化的思想方法
教材首先将《孙子算经》中的原题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数 ，有35个头，
从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？”通过小精灵的提示：“我们可以先从简单的 问
题入手。”转化成了例题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有
2 6只脚。鸡和兔各有几只？”同样是基本的“鸡兔同笼”问题，其中数量由大到小的变化，
既为分析和解 决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。
转化是指将有待解决的问题，归结为一类已经 解决或较易解决的问题中去，以求得问
题的解决。教学中常常用到的化“难”为“易”， 化“繁”为“简”，化“生”为“熟”， 化
“数”为“形”， 化“曲”为“直”， 化“圆”为“方”等都是数学学习中不可缺少的转
化的思想方法。
2．猜想的思想方法 让学生先根据例题中的“从上面数，有8个头。”大胆猜测“鸡和兔各有几只？”再
根据“从下面数 ，有26只脚。”来小心求证。在猜想不正确的情况下，学生逐步感受到“如
果总脚数猜多了，就要多猜 鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”
也正是在这样的过程中，学生参与探究 的热情更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的
思路更明了。
美籍匈牙利数学家、教育家 、数学解题方法论的开拓者波利亚说，“数学事实首先是
被猜想，然后是被证实。”数学猜想是人们在已 有知识经验的基础上对问题进行直觉试探，
从而形成某种假设的一种思维活动和思想方法。让学生先“估 ”后“数”、先“估”后“算”、

先“估”后“量”、先“猜想”后“列式求解”等，都 决定了猜想的思想方法在数学教学中
的重要地位与作用。
3．列举的思想方法
如果 把各种猜想的结果有序填写到教材上的表格之中（见下表），即为全部猜想的有
序列举。从表中不难看出 “鸡3只、兔5只”就是满足问题要求的答案。观察表中数据的变
化规律，还可发现：“当鸡的只数每减 少1只，兔的只数每增加1只，脚的只数就会增加2
只。”这一规律将为下面的数学思想方法的渗透作好 了孕伏。这也正是列举和列表的数学思
想方法在解决这一问题中的灵活运用。
鸡
兔
脚
8
0
1
6 8
7
1
1
0
6
2
2
2
5
3
2
4
4
4
2
6
3
5
2
8
2
6
2
0
1
7
3
2
0
8
3
在许多情况下，有些实际问题往往还无法 建立合适的数学模型，而通过列举的数学思
想方法却能非常方便地找到答案，进而也为进一步建立数学模 型打开了一扇明亮的窗。
4．画图的思想方法
使用转化的数学思想方法，将大数目的“鸡兔 同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”
问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为可能 。第一步：画出8个头和
26只脚；第二步：给8个头都配上两只脚；第三步：将多出的10只脚添加在 其中的5个头
上。
经历上述画图过程后，用假设的思想方法解决“鸡兔同笼”问题的思路逐步 清晰可见。
画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图的活动中，能感悟策略、
发展思维、体会方法和获得思想。
5．假设的思想方法
教材指出，还可以这样想： 如果笼子里都是鸡，那么就有8×2＝16只脚，这样就多出
26－16＝10只脚。一只兔比一只鸡多 2只脚，也就是有10÷2＝5只兔。所以笼子里有3只
鸡，5只兔。学生顺势指出，还可以这样想：如 果笼子里都是兔，那么就有8×4＝32只脚，
这样就少出32－26＝6只脚。一只鸡比一只兔少2只 脚，也就是有6÷2＝3只鸡。所以笼子
里有3只鸡，5只兔。
假设的数学思想方法的运用， 不仅为快捷解决问题提供了便利，更为培养学生的创新
能力开辟了途径。但是，要正确而恰当地运用假设 法，就必须深刻把握其“设而不假”的关
键要领，即假设的内涵与问题本身并不矛盾，否则，就会造成“ 失之毫厘，谬以千里”的后
果。
6．建模的思想方法

从运用假设的 数学思想方法解决“鸡兔同笼”问题的过程中，学生不难归纳出：鸡的
只数＝（头的总个数×4－脚的总 只数）÷（4－2），兔的只数＝（脚的总只数－头的总个
数×2）÷（4－2）。运用这个数学模型， 无疑可以便捷的解决类似基本的“鸡兔同笼”问
题。
数学建模是解决实际问题的一种思考方法 ，它从量和形的侧面去考查实际问题。尽可
能通过抽象（或简化）确定出主要的参量、参数，应用有关的 定律、原理建立起它们之间的
某种关系，这样一个明确的数学问题就是某种简化了的数学模型。作为数学 教师，有责任让
学生学习和初步掌握数学建模的思想方法, 从而更积极主动地学习数学，这样做将使学生
终生受益。
7．代数的思想方法
教材 指出，还可以用列方程的方法来解答，即：设有x只兔，那么就有（8－x）只鸡。
鸡兔共有26只脚， 就是：4x＋2(8－x) ＝26，x＝5，8－5＝3，即兔有5只、鸡有3只。
代数的思想方法 也就是列方程解决问题的思想方法。方程是刻画现实世界的有效模型，
通过把生活语言“翻译”成代数语 言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已
知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思 想的由来。这种解决问题的思想方法直接、
简单，可化难为易，特别是在解决比较复杂的数学问题时用代 数的思想方法就更容易。
8．抬脚的解题方法
教材最后在“阅读材料”中写道：你知道古人 是怎样解决“鸡兔同笼”问题（指《孙
子算经》中的原题）的吗？假设让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚， 还有94÷2＝47只脚；这
时每只鸡一只脚，每只兔两只脚，笼子里只要有一只兔，则脚的总数就比头 的总数多1；这
时脚的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔的只数。
以上十分形象 的“抬脚法”，是一种特殊而巧妙的解决问题的策略，所以教材将其编
排在课后的阅读材料中，既留给了 学生一个自主探究、广泛交流的学习空间，又让学生进一
步感受到了我国古代数学的魅力。
二、教学“鸡兔同笼”问题过程中渗透数学思想方法的有效策略
细细品味上述数学思想方法， 我们不禁感叹到“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多
样、深刻与灵巧。但也正是如此，使得鸡兔同笼” 问题的教学的挑战性陡增。如何通过一节
课或这个单元的教学，才能有效提升学生对之前的教学中已经渗 透过的数学思想方法的认
识，才能合理渗透在之前的教学中尚未渗透过的新的数学思想方法，已成为教学 中不可回避
的另一个重要问题。
1．强化渗透意识
数学思想方法的意义和价值决定 了其在数学教学中的重要地位和作用。因此，课程标
准指出：“教师要发挥主导作用，„„，使学生理解 和掌握基本的数学知识与技能、数学思
想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。 ”而数学思想方法又常常

隐藏于教材之中，这就要求教师在校本研修的过程中，加强对数 学思想方法的理论学习，把
对基本的数学数学方法的认识作为专业发展的必修课；要在吃透教材的基础上 ，深刻挖掘隐
含于教材字里行间的数学思想方法，认识到数学思想方法对于学生可持续发展的不可替代的
作用；要在日常教学中，明确数学思想方法是数学素养的重要组成部分，不断增强自觉渗透
数学 思想方法的意识。
2．遵循渗透原则
渗透，即把数学思想方法与数学知识技能、数学活动经 验看成一个有机联系的整体，
在新、旧知识的学习和新、旧经验的运用中加以适当渗透，而不是刻意添加 数学思想方法的
内容，更不是片面强调数学思想方法的概念，要让学生在潜移默化中去感受、领悟、积累 和
提升认识，运用并逐步将数学思想方法内化为良好的思维品质。因而，教学中务必遵循由感
性 到理性、由具体到抽象、由特殊到一般的渗透原则，使学生的认识过程返朴归真，让学生
在自觉状态下， 始终以探索者的姿态参与到知识的形成和规律的揭示过程中去，从中不仅仅
获得知识技能，发展活动经验 ，更重要的是与此同时领悟、运用、内化数学思想方法。
3．把握渗透关联
当转化、猜想、 列举、画图、假设、建模、代数、抬脚等多种数学思想方法同时作用
于“鸡兔同笼”问题中时，它们之间 必然存在相互关联之处。转化为猜想、列举、画图等提
供了便捷，猜想是列举的开始，列举则是假设的前 奏，画图是对列举的结果的形象呈现和为
假设提供的直观支撑，假设是对前面诸法的有效提升，建模则是 假设的必然结果，代数是假
设的联想产物，抬脚无非是假设的另一种特殊形式。教学时，教师要善于把它 们联系起来看，
结合起来用，以提高教学实效。可见，不同的数学思想方法并不是彼此孤立、互不联系的 ，
较低层次的数学思想方法经过抽象和概括，便上升为较高层次的数学思想方法，而较高层次
的 数学思想方法则对较低层次的数学思想方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想
方法来实现自身 的运用价值。
4．突出渗透重点
如果按思想方法的作用给其分类，转化是解决“鸡兔同笼” 问题中的基础性的思想方
法，不可少之；猜测、列举、画图、抬脚是解决“鸡兔同笼”问题中的颇有局限 性的思想方
法，虽为假设做好了铺垫或延伸，但会受到数目大小或奇偶性的限制，不能广泛用之；真正< br>能够适应于此类问题的具有普遍意义的一般性方法，无疑还是假设和代数的思想方法。如果
按思想 方法的新旧给上述思想方法分类，转化、猜想、列举、画图、建模和代数的思想方法，
都是在前面教学中 教师多次渗透、学生领悟较深的思想方法，惟有假设和抬脚才是本节课中
新出现的思想方法，而抬脚不过 是特殊的假设，且具有很强的局限性。由此看来，学生真正
最需要获得的，又能适应解决问题普遍性要求 的一种新的数学思想方法就是假设。
5．找准渗透途径

数学思想方法是数学 和“数学广角”中最本质、最精彩、最具有教育价值的部分。教
师要让学生在解决问题的过程中，适时为 学生找到适当的渗透途径，使学生体验数学思想方
法的灵活运用，感受数学思想方法的无穷魅力，逐步提 高数学思想方法的认识水平和运用技
能。概念的形成过程、结论的推导过程、问题的解决过程、练习的训 练过程、复习的展开过
程、课外的阅读过程等，都是向学生渗透数学思想方法的极好途径。试想，在“鸡 兔同笼”
问题的教学中，如果把猜想的思想方法放在与列表的思想方法的结合中渗透，把画图的思想方法放在对个别学困生的辅导中渗透，把代数的思想方法放在对假设的思想方法的补充中渗
透，把抬 脚的解题方法放在课外的阅读中渗透，课堂是否会更具艺术、更有实效呢？
日本数学家米山国藏在《数 学的精神、思想和方法》一书中写道：不管他们（指学生）
从事什么业务工作，即使把所教给的知识(概 念、定理、法则和公式等)全忘了，唯有铭刻在
他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用 ，使他们受益终生。随着社会的发
展，要想实现“终身学习”和“人的可持续发展”，重要的是在教育中 发展学生的能力，使
之掌握获得知识和进一步学习的方法，逐渐掌握蕴涵在知识内的数学思想方法。只有 这样，
才能使学生真正感受到数学的价值和力量。小学是学生学习数学的启蒙时期，这一阶段注意
向学生渗透基本的数学思想显得尤为重要。