山东高考数学-猴王出世教学反思

鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，记载于《孙子算经》
之中。鸡兔同笼问题，是 小学奥数的常见题型。在它的解法中，通常
是假设法比较简单易懂一点。

应用题方法
假设法，方程法，抬腿法
填空题方法
直接草稿使用括号法
较不便方法
列表法
领 域
.
数学
历史
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鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙
子算经》中就 记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
这四句话的意思是：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，
有94只脚。问笼中各有多少只鸡 和兔？
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数- 鸡的脚数）=兔的只数
1

（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡
数（23）
解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼 子里的脚就减少了总
头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，
再÷2 就是兔子数。
方法
假设法
假设全是鸡：2×35=70（只）
鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）
兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）
兔子的只数：24÷2=12 （只）
鸡的只数：35－12=23（只）

假设全是兔子：4×35=140（只）
兔子脚比总数多：140-94=46（只）
兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）
鸡的只数：46÷2=23（只）
兔子的只数：35-23=12（只）


方程法
一元一次方程
2

解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。

解得

鸡：35-12=23(只）
解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

解得

兔：35-23=12(只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其 他类
似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程组


解：设鸡有x只，兔有y只。



解得

答：兔子有12只，鸡有23只。

抬腿法
方法一
3

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。
笼子里的兔 就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，
就是兔子的只数。
方法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时
鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地
上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=2 3只鸡。
方法三
我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起
24只脚，用24÷2得 到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。
列表法
腿数
88
90
92
94
公式
公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
鸡（只数）
26
25
24
23
兔（只数）
9
10
11
12
4

公式2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
公式4：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=
鸡兔总只数-兔总只数
公式5：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡
兔总只数-鸡的只数
公式6 ：4×+2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用
于方程）
解题思路
编辑
理解
中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书
浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“ 鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
5

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起
来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，
兔子就成了2只脚，即把兔子都先 当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数
是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72
（只），再松开一只兔子脚上 的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，
一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2= 12（只），从而
鸡有35-12=23（只）。
我们来总结一下这道题的解题思路：如果先 假设它们全是鸡，于
是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚
数与题 中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1
只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有 多少只兔。概括起来，
解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔
总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔
子。
思路
鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》
中。许多小学算术 应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型
解法-- 假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。
例1： 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和
兔各有多少只
6

解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立，一只脚站着；而每只兔
子都用两条后腿，像人一样用两 只脚站着，地面上出现脚的总数的一
半，·也就是
244÷2=122（只）
在1 22这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两
次。因此从122减去总头数88，剩下的 就是兔子头数
122-88=34（只），
有34只兔子，当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数
上面的解法是《孙子算经》中记载的 。做一次除法和一次减法，
马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数
分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，
脚数就不一定是4和2，上面的 计算方法就行不通。因此，我们对
这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.
7

说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此
可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是鸡，那么共有脚2×88=176
（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的鸡有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头
数去减，就知道另一个数。 < br>假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为
假设法
拿一个具体问题来试 试上面的公式。
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了
16 支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？
解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚 ，一种
兔子有19只脚，它们共有16个头，280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔
数公式，就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
8

=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 .例2中的
脚数与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子
只是鸡根据这一设想 ，脚数是
8×(11+19)=240（支）。
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）。
就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，
靠心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16
只中，兔数为10,鸡数为6， 就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
例题
9

例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时
完成，甲单 独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。
甲打字用了多少小时？
解：我们把这 份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），
甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打 30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，
总头数 是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题
转化成鸡兔同笼问题了。
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
鸡数=7-4.5
=2.5
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分.
例4 1998年时，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是
17岁。四年后(200 2年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是
兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时， 是公元哪一
年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，< br>父母年龄之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的
10

年龄看作兔头数。25是总头数，86是总脚数。根据公式，兄的
年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4+4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅 膀，蝉有6条腿和1
对翅膀。这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各
几 只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把
小虫分成条腿与条腿两种 。利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公
式
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蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，
已知每人至少做对1道题，做对1道的有 7人，5道全对的有6人，
做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把 他们看作是对
2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，
鸡和兔各有多少只？ 以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是
设兔为X，那么鸡的只数就是总数减 去鸡的只数，即（88-X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
12

4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚 数，就是共有的脚数。
4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。
答：兔子有34只，鸡有54只。



鸡兔同笼公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚
数）
=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的
脚数）
=兔的只数
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总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数

例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知
的128只脚相比多了184-128=5 6只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，
就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡 才能使56
只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换
28只兔就 行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2


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