鸡兔同笼问题
感动中国十大人物2015-我爱文学网
鸡兔同笼问题。
一、知识点概述
我国古代的数学著作《孙子算经》里，
有一道著名的趣题。今有雉兔同笼，上有三
十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?意思是：有一笼鸡和
兔，数鸡头和兔头共35个，
数鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各有多少只?这就是著名的鸡兔同笼问题
。
本周我们一起来探讨鸡兔问题的特征及其解题方法。
二、重点知识归纳及讲解
1、鸡兔同笼问题的特点
鸡兔同笼问题一般是已知两个总量（如前面提到的数鸡头和兔头
共35个，数鸡脚和
兔脚共94只），求出两个部分量各是多少（如前面提到的鸡和兔各有多少只）。
2、鸡兔同笼问题的解题方法
鸡兔同笼问题一般用假设法求解。如前面的问题中，先假设
它们全是鸡，于是根据
鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚数相比较，
看看
差多少。从差中求出兔的数量。也可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量。
再求
另一个数量是多少。
3、鸡兔同笼问题的基本关系式
（1）鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数－实际脚数)
÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
兔数=鸡兔总数－鸡数；
（2）兔数=(实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数)
÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
鸡数=鸡兔总数－兔数。
三、难点知识剖析
例1、一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少?
分析
：解鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数
应为(50×2=)1
00只，与实际相比较，脚减少的数为(140－100=)40只。脚减少的原因是
每把一只兔当作一
只鸡时，要少(4－2=)2只脚。所以实际的兔数是(40÷(4－2)=)20只，
若先假设的全是
鸡，则先求出的是兔数。
解法一：设农户养的全是鸡，那么相应的鸡脚数50×2=100(只)
与实际相比，脚减少的数140－100=40（只）
每只兔脚与鸡脚的差4－2=2(只)。
实际兔数为40÷2=20(只)，
那么实际的鸡数50－20=30(只)，
答：有鸡30只，有兔20只。
解法二：利用方
程求解：设农户有鸡x只，那么有兔(50－x)只。那么鸡有脚2x只，兔
有脚4 (50－x)只。
列方程为2x＋4 (50－x)=140。
2x十200—4x=140
2x=60
x=30
50－x=50－30=20
答：鸡有30只，兔有20只。
例2、100个和尚分100
个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问
大、小和尚各有多少?
分析：此例可用假设法求解；还可以用分组法求解。
解法一：假设都是小和尚。因为小和尚3
个人分1个馒头，分配100个馒头，应该有小
和尚(3×100=)300人，比实际多了(300－
100=)200人。这是由于把大和尚看做小和尚造
1
成的。由
于大和尚每人分3个馒头，相当于给9个小和尚的量。由于假设出现的差值即
为(9－1=)8人。那么
大和尚的人数就是(200÷8=)25人。
即大和尚(3×100－100)÷(3×3－1)=200÷8=25（人）
小和尚100－25=75(人)
解法二：因大和尚每人分3个，小和尚每3人分1个，我们把1个大
和尚与3个小和尚
共4人看成一组，则100个和尚可分为
100÷(3＋1)=25(组)
因为一组里只有一个大和尚，所以25组一共有25个大和尚，有25×3=75（个）小
和尚。
答：大和尚有25个，小和尚有75个。
例3、现有大小塑料桶共50个，每个大桶可装橘汁
4千克，每个小桶可装橘汁2千克，
大桶比小桶共多装橘汁20千克。问大小塑料桶各多少个?
分析： 假设50个塑料桶都是大桶，则共装橘汁200千克，而此时小桶所装橘汁则为0。
这
样大桶比小桶多装200千克，比条件给的差数多(200－20=)180千克。进一步想，若将
大桶
换成小桶，则每换一个，大桶装的橘汁就减少4千克，小桶装的橘汁就增加2千克，
大桶比小桶多装的质
量就减少(4＋2=)6千克，那么多少个大桶换成小桶就容易了。
解答：小桶有(4×50－20)÷(4＋2)=180÷6=30（个）
大桶有50－30=20(个)
答：大塑料桶20个，小塑料桶30个。
例4、环保工人上
山植树造林，晴天时每人每天植树20棵，雨天时每人每天植树12棵。
工人李叔叔接连几天共植树11
2棵，平均每天植树14棵。问李叔叔植树期间共有几天雨
天?
分析：题目中虽然没有问李叔
叔工作了几天，但总共做了多少天是一个关键量，须先求
出来。天数=总量÷平均数=112÷14=8
天。
要求有多少个雨天，可用假设法使问题迎刃而解。由已知李叔叔一共植了112÷14=8<
br>天树。植树的天数相当于鸡和兔的头数，雨天、晴天相当于鸡和兔，每天植树的棵数相
当于脚数。
这样此例就转化为鸡兔问题。
解答：
112÷14=8（天）
假设8天都是雨天，一共植树12×8=96(棵)
比实际少了112－96=16(棵)
晴天和雨天每天植的树的棵数相差20－12=8（棵）
用雨天换晴天的天数16÷8=2(天)
实际雨天的天数8－2=6(天)
答：李叔叔植树这些天总共有6个雨天。
例5、一位工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到
目的地一个给运费20元，损坏一个倒
赔100元。运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多
少个青瓷花瓶?
分析：本例中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一只完好的花瓶与损坏一只花瓶相
差
(100＋20=)120元，即损坏一只花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元。本例
可假设250只花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000(元)。这样比实际多得5000－
4400=600(元)。
就是因为有损坏的瓶子，损坏一只花瓶相差120元。现共相差600元，从而求出共
损坏多少只花瓶。
解答：根据以上分析，可得
(20×250－4400)÷(100＋20)=600÷120=5(只)
答：一共损坏花瓶5只。
追及问题
2
2、追及路程（路程差）
要计算走得快的人在某一段时间内比走得慢的人
多走的路程，也就是要计算两人走
的路程之差即追及路程。
追及路程=甲走的路程－乙走的路程
=甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间
=(甲的速度－乙的速度)×追及时间
=速度差×追及时间。
3、追及问题中涉及三个量之间关系的变化
路程差=速度差×追及时间
速度差=路程差÷追及时间
追及时间=路程差÷速度差
4、解决追及问题应该注意的问题
（1）在追及问题中，要了解三个量的意义
路程差是指在相同时间内速度快的比速度慢的多行的距离；
速度差是单位时间内速度快的与速度慢的路程差；
追及时间是从出发到追上所经历的时间。
（2）在理解以上概念时要从具体的追及问题人手，掌握好公式中的数量关系，不被
表面现
象所迷惑，才能正确解题。
例2、甲、乙两车从A地到B地送货，甲车每小时行54千米，乙车每小时
行63千米。甲
车先行2小时，乙车才出发，问乙车追上甲车需多少小时?
分析：根据题意画出线段图。
从图中可以看出甲车2小时行的是两车的追及路程，再根据速度差求出乙车追上甲
车所用的时间。
解答：甲、乙两车之间的路程差为54×2=108(千米)
乙车追上甲车所用的时间为108÷(63－54)=12(小时)
答：乙车追上甲车所用的时间为12小时。
例3、慢车与快车同时从A地开往B地，6小时后
，两车相距54千米，已知慢车每小时
行51千米，快车每小时行多少千米？
分析：根据6小
时快车比慢车多行54千米，可知快车每小时比慢车多行9千米，再用慢
车的速度＋9千米就得出快车的
速度。
解答：54÷6＋51=9＋51=60(千米时)
答：快车每小时行60千米。
例4、甲、乙两人分别从A、B两地去C地，已知甲每分钟行180米，乙每分钟行160米，
45分钟后甲乙两人同时到达C地。A、B两地相距多少米？
分析：A、B两地的距离就是甲比乙多行
了多少米？根据路程差=速度差×追及时间，可求
出AB两地距离。
解答：方法一：(180－160)×45 = 900(米)
3
方法二：180×45－160×45=900（米）
答：AB两地相距900米。
例5、在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如
果同向而行3分20秒相遇，
如果背向而行40秒相遇。已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少?
分析：画出两种行驶方法的示意图。
从同向行驶图中可以看出，甲与乙相遇，
甲必须比乙多跑一圈，即多跑400米，才
能再与乙相遇，这400米正好为追及路程，这所用的时间为
3分20秒，可以求出甲乙的
速度差；
从背向行驶图中可看出，相遇时甲乙共行了400米，所用的时是40秒，可以求出他
们的速度和。
已知速度差与速度和(为和差问题)，可以求出甲乙的速度分是多少。
解答：3分20秒=200秒。
甲、乙的速度和为400÷40=10(米秒)
甲、乙的速度差为400÷200=2(米／秒)
甲的速度为(10＋2)÷2=6(米／秒)
乙的速度为(10－2)÷2=4(米／秒)
答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。
例6、校足球队要买50个足球
，采购员看了甲、乙、丙三家商店，单价都是25元，但
促销方式不同。
请你帮采购员算一算，去哪家商店买比较合适？(请写出计算过程)
答案：
甲店：买42个，送8个，共花42×25＝1050(元)
乙店：50×25×80%＝1000(元)
丙店：共花50×25＝1250(元)，
可返还现金12×20＝240(元)，实际等于花了1250－240＝1010(元)。所以去
乙店买
比较合适。
4