爱弥儿-郑愁予

鸡兔同笼问题与假设法

一、问题的背景
“鸡兔同笼”最早出现在《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可 以转化
成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解。因此很有必要学会它
的解法 和思路：
例题： 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
思考一：
我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后
腿，像人一样用两只脚站着. 现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244÷
2=122（只）.
在122这个数 里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122
减去总头数88，剩下的就是兔子头 数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只.
答：有兔子34只，鸡54只.
上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《 孙子算经》中记载的，利用化归的思想进行了转化。做一次
除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单 ！能够这样算，主要利用了兔和鸡
的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类 问题时，“脚数”
就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。
思考二：
我们对这类问题给出一种一般解法。如果设想88只都是兔子，那么就有4×
88只脚，比244只脚多 了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所
以共有鸡（88×4-244 ）÷（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔子”中，
有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想8 8只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244
只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷2=34（只）.
说明设想中的“鸡”，有34只是兔子 ，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数- 鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减 ，就
知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，一般我们称
之为“假设 法”。
刚才所讲的例子告诉了大家是鸡兔的“头和”与“脚和”，根据问题条件的
情 况，一般可以把鸡兔同笼问题归结为：1、“头和”与“脚和”；2、“头和”
与“脚差”；3、“头差 ”与“脚和”；4、“头差”与“脚差”。
“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者 更多种东西的类似问题。
需要我们将“三种或多种”转化为“两种”。
二、两个量的问题的类型
1、基本类型：“头和”与“脚和”
例：笼里有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问：鸡与兔各有多少只？
分析：假设10 0只都是鸡，那么就应该有2×100＝200（只）脚，但实际上
有240只脚，比假设的情况多了2 40-200＝20（只）脚，出现这种情况的原因是
把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样 数量的鸡，那么每换一只，头
的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求 出兔
的只数。
解：有兔（240-2×100）÷（4-2）=20（只），
有鸡100-20＝80（只）。
答：有20只兔，80只鸡。
当然，我们也可以 假设100只都是兔子，那么就应该有4×100＝400（只）
脚，但实际上有240只脚，比假设的 情况少了400－240＝160（只）脚，这是因
为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的 数目不变，脚数减少了4-2
＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×100-240）÷（4-2）=80（只），
有兔100——80＝20（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设 都是鸡，然后
以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
2、“头和”与“脚差”
例：鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析：这 个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了
它们脚数的差.这又如何解答呢？
思路一：100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已
知多了（20 0-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，
鸡的脚数将增加2只， 兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6
（只），所以换成鸡的兔子有120÷ 6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：兔（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
鸡100-20=80（只）。
思路二：假设去掉多出来的80只鸡脚，也就相当于去掉了 40只鸡，现在这题
的条件就转化为了：鸡与兔共有60只，鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡脚和兔脚一< br>样多的情况下，鸡的只数是兔的只数的2倍。
解：兔（100-80÷2）÷（2+1）=20（只）
鸡100-20=80（只）
答：鸡与兔分别有80只和20只。
3、“头差”与“脚和”
例：鸡比兔多60只，鸡脚和兔脚共240只，问鸡与兔各多少只？
分析：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们头数的总和，而是给出了
它们头数的差. 这又如何解答呢？
假设去掉多出来的60只鸡，也就相当于去掉了120只鸡脚，现在这题的条 件
就转化为了：鸡与兔一样多，鸡的脚与兔的脚一共120只。在鸡和兔一样多的情
况下，兔的 脚数是鸡的脚数的2倍。
解：兔（240-2×60）÷（1+2）×2÷4=20（只）
鸡100-20=80（只）
4、“头差”与“脚差”
例：鸡比兔多60只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析：这个例题与前面例 题是有区别的，既没有给出它们头数的总和，也没有给
出脚数的和，只是给出了差，这又如何解答呢？

思路一：假设去掉多出来的60只鸡，也就相当于去掉了120只鸡脚，现在这题
的条件就转化为了：鸡与兔一样多，鸡的脚比兔的脚少40只。在鸡和兔一样多
的情况下，兔的脚数是 鸡的脚数的2倍。一只兔比一只鸡多2只脚。
解：兔40÷（4-2）=20（只）
鸡100-20=80（只）
思路二：假设去掉多出来的80只鸡脚，也 就相当于去掉了40只鸡，现在这题的
条件就转化为了：鸡比兔多20只，鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡 脚和兔脚一样
多的情况下，鸡的只数是兔的只数的2倍。
解：兔：（60-40）÷（2-1）=20（只）
鸡100-20=80（只）
三、三个量的问题
例1 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20 对（蜘蛛8条腿；
蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是
6条腿，只有蜘蛛8条腿. 因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种
动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是
由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 .所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘
蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是 蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只
都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻
蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7 ÷（2-1）=7
（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？

（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
例2 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181 道题，已知每人至少
做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多 ，
那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道、3道、4道题的人共有
52-7-6=39（人）。
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）。
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把 他们看作是对2。5道题的人
（（2+3）÷2=2.5）。这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5，
总脚数=144，总头数=39。
对4道题的有
（144-2.5×39）÷（4-1。5）=31（人）。
答：做对4道题的有31人。
例3、 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共23 2支，共花
了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元 ，
钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？
解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”， 这两种笔可并成一种笔，四支铅笔
和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作
（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是
（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.
铅笔和圆珠笔共 232－12＝220（支）.
其中圆珠笔 220÷（4+1）=44（支）.
铅笔 220-44=176（支）.
答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.
例4、 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个

< br>1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.
问每种球各 买几个？
解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是
整数 ，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，
3个小球.因此，可以 把这两种球看作一种，每个价钱是
（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.
从公式可算出，大球个数是
（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.
买中、小球钱数各是
（120-30×3）÷2=15（元）.
可买10个中球，15个小球.
答：买大球30个、中球10个、小球15个.
例4、 某种考试已举行了24次，共出了426 题.每次出的题数，有25题，或者
16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？
解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.
每次考25道题，就要多25-16=9（道）.
每次考20道题，就要多20-16=4（道）.
就有 9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意，4和42都是偶数，9×考25题次 数也必须是偶数，因此，考25题的次
数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0 ，2，4这三个数.由于42
不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次 ）.
答：其中考25题有2次.
例5、有50位同学前往参观，乘电车前往每人1 .2元，乘小巴前往每人4元，
乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴 的同学有多
少位？
解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往
的人数一定是5的整数倍.
如果有30人乘电车， 110-1.2×30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车 110-1.2×40=62（元）.
还余下50-40=10（人）都 乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假
设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有 35是5的整数倍.
现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：
总头数 50-35=15，
总脚数 110-1.2×35=68.
因此，乘小巴前往的人数是 （6×15-68）÷（6-4）=11.
答：乘小巴前往的同学有11位。
在三转化为二时,一是利用题目中数量比例关系,把两种东 西合并组成
一种。二是充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个
数 值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成二
的问题了.在小学算术的范 围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能
借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.
四、实际应用
例1 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、
小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小
和尚分别看作鸡 和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么 共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数 不变，而馍就要减少3——1＝2（个），
因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例2 一份稿件，甲单独打字需6小时完成。乙单独打字 需10小时完成，现在甲单
独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时 ？
解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打
30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）。
现在把甲打字的时间看成“兔” 头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头

数是7。“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是 3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡
兔同笼”问题了。
根据前面的公式
“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）=4.5，
“鸡”数=7-4.5=2.5，
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分。
例3现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千 克，每个小瓶可装油2千克，
大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例4 一批钢材， 用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大
卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢 材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每
辆小卡车多装4 吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨
钢材还需要45-36=9（辆 ）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由
此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例5 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但
如果发生 损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬
运站共得运费115.5元。问 ：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应 得运费0.24
×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4. 5（元）。搬运
站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷ 1.5
＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例6小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3 分钟，一共跳
了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的
总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
例7 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁， 兄弟的年龄和是17岁。四年
后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍 。那么当父
的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
解：4年后，两人年龄和都 要加8。此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄
之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看 作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头
数。25是“总头数”。86是“总脚数”。根据公式，兄的年龄 是：（25×4-86）÷
（4-3）=14（岁）。
1998年，兄年龄是：14-4=10（岁）。
父年龄是：（25-14）×4-4=40（岁）。
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）÷（3-1）=15（岁）。
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍。