重庆市人事人才-机关工会工作总结

“鸡兔同笼”问题中的数学思想方法及其渗透策略

“鸡兔同笼”问题是我国 古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，
是《人教版义务教育课程标准实验教科书·数学》六 年级上册第七单元“数学广
角”中的教学内容。教材虽然只编排了一道例题，但此例在解决“鸡兔同笼” 问
题时，先后呈现了多种不同的解决问题的策略。这些策略的背后究竟隐含着哪些
重要的数学思 想方法，又该如何向学生有效渗透这些重要的数学思想方法？对
此，遵循新课程的目标，按照新课标的要 求，结合新教材的特点，都颇具探究价
值。

一、解决“鸡兔同笼”问题策略中蕴涵的数学思想方法

数学思想是对数学知识和方 法的本质及规律的理性认识，数学方法则是数学
思想的具体表现形式，数学思想和数学方法合在一起，称 为数学思想方法。解决
问题的策略是以一定的数学思想方法为指导，在特定问题情境中，为实现教学目< br>标而制定并在实施过程中不断调适、优化，以使问题得以有效解决的最佳系统决
策与设计。在解决 “鸡兔同笼”问题的过程中所使用的不同的解决问题的策略背
后，一定隐含了相应的数学思想方法。笔者 从中挖掘出的以下数学思想方法，对
于教师提高对数学思想方法的认识能力和渗透意识都十分必要。

1．转化的思想方法
教材首先将《孙子算经》中的原题：“笼子里有若干只鸡和兔 。从上面数，
有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？”通过小精灵的提示：“我
们可以先从简单的问题入手。”转化成了例题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上
面数，有8个头，从下 面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”同样是基本的“鸡
兔同笼”问题，其中数量由大到小的变化，既 为分析和解决问题提供了方便，也
巧妙渗透了转化的数学思想方法。
转化是指将有待解决的问 题，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，
以求得问题的解决。教学中常常用到的化“难”为“易 ”， 化“繁”为“简”，

化“生”为“熟”， 化“数”为“形”， 化“曲”为“直”， 化“圆”为“方”
等都是数学学习中不可缺少的转化的思想方法。

2．猜想的思想方法
让学生先根据例题中的“从上面数，有8个头。”大胆猜测“鸡和兔各有 几
只？”再根据“从下面数，有26只脚。”来小心求证。在猜想不正确的情况下，
学生逐步感 受到“如果总脚数猜多了，就要多猜鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜
少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”也 正是在这样的过程中，学生参与探究的热情
更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的思路更明了。
美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者波利亚说，“数学事
实首先是被猜想，然 后是被证实。”数学猜想是人们在已有知识经验的基础上对
问题进行直觉试探，从而形成某种假设的一种 思维活动和思想方法。让学生先
“估”后“数”、先“估”后“算”、先“估”后“量”、先“猜想”后 “列式
求解”等，都决定了猜想的思想方法在数学教学中的重要地位与作用。

3．列举的思想方法
如果把各种猜想的结果有序填写到教材上的表格之中（见下表），即为全 部
猜想的有序列举。从表中不难看出“鸡3只、兔5只”就是满足问题要求的答案。
观察表中数 据的变化规律，还可发现：“当鸡的只数每减少1只，兔的只数每增
加1只，脚的只数就会增加2只。” 这一规律将为下面的数学思想方法的渗透作
好了孕伏。这也正是列举和列表的数学思想方法在解决这一问 题中的灵活运用。
鸡
兔
脚
8
0
16
7
1
18
6
2
20
5
3
22
4
4
24
3
5
26
2
6
28
1
7
30
0
8
32
在许多情况下，有些实际问题往往还无法建立合适的数学模型，而通过列举
的数学思想方法却能 非常方便地找到答案，进而也为进一步建立数学模型打开了
一扇明亮的窗。

4．画图的思想方法

使用转化的数学思想方法，将大数目的“鸡兔同笼”问题 转变成小数目的“鸡
兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为可能。第一步：画出8个头和26只脚；第二步：给8个头都配上两只脚；第三步：将多出
的10只脚添加在其 中的5个头上。
经历上述画图过程后，用假设的思想方法解决“鸡兔同笼”问题的思路逐步
清 晰可见。画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图
的活动中，能感悟策略、发 展思维、体会方法和获得思想。

5．假设的思想方法
教材指出，还可以这样想： 如果笼子里都是鸡，那么就有8×2＝16只脚，
这样就多出26－16＝10只脚。一只兔比一只鸡多 2只脚，也就是有10÷2＝5
只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。学生顺势指出，还可以这样想：如 果笼子
里都是兔，那么就有8×4＝32只脚，这样就少出32－26＝6只脚。一只鸡比一
只 兔少2只脚，也就是有6÷2＝3只鸡。所以笼子里有3只鸡，5只兔。
假设的数学思想方法的运用， 不仅为快捷解决问题提供了便利，更为培养学
生的创新能力开辟了途径。但是，要正确而恰当地运用假设 法，就必须深刻把握
其“设而不假”的关键要领，即假设的内涵与问题本身并不矛盾，否则，就会造成“失之毫厘，谬以千里”的后果。

6．建模的思想方法
从运用假设的数学 思想方法解决“鸡兔同笼”问题的过程中，学生不难归纳
出：鸡的只数＝（头的总个数×4－脚的总只数 ）÷（4－2），兔的只数＝（脚
的总只数－头的总个数×2）÷（4－2）。运用这个数学模型，无疑 可以便捷的
解决类似基本的“鸡兔同笼”问题。
数学建模是解决实际问题的一种思考方法，它 从量和形的侧面去考查实际问
题。尽可能通过抽象（或简化）确定出主要的参量、参数，应用有关的定律 、原
理建立起它们之间的某种关系，这样一个明确的数学问题就是某种简化了的数学
模型。作为 数学教师，有责任让学生学习和初步掌握数学建模的思想方法, 从
而更积极主动地学习数学，这样做将使学生终生受益。

7．代数的思想方法
教材指出，还可以用列方程的方法来解答，即：设有x只兔，那么就有（ 8
－x）只鸡。鸡兔共有26只脚，就是：4x＋2(8－x) ＝26，x＝5，8－5＝3，即
兔有5只、鸡有3只。
代数的思想方法也就是列方程解决问 题的思想方法。方程是刻画现实世界的
有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已 知数和未知数
之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。
这种解决问题的思想方法直接、简单，可化难为易，特别是在解决比较复杂的数
学问题时用代数的思想方 法就更容易。

8．抬脚的解题方法
教材最后在“阅读材料”中写道：你知道古人 是怎样解决“鸡兔同笼”问题
（指《孙子算经》中的原题）的吗？假设让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚， 还有
94÷2＝47只脚；这时每只鸡一只脚，每只兔两只脚，笼子里只要有一只兔，则
脚的总 数就比头的总数多1；这时脚的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔
的只数。
以上 十分形象的“抬脚法”，是一种特殊而巧妙的解决问题的策略，所以教
材将其编排在课后的阅读材料中， 既留给了学生一个自主探究、广泛交流的学习
空间，又让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。

二、教学“鸡兔同笼”问题过程中渗透数学思想方法的有效策略

细细品 味上述数学思想方法，我们不禁感叹到“鸡兔同笼”问题中数学思想
方法的多样、深刻与灵巧。但也正是 如此，使得鸡兔同笼”问题的教学的挑战性
陡增。如何通过一节课或这个单元的教学，才能有效提升学生 对之前的教学中已
经渗透过的数学思想方法的认识，才能合理渗透在之前的教学中尚未渗透过的新
的数学思想方法，已成为教学中不可回避的另一个重要问题。

1．强化渗透意识
数学思想方法的意义和价值决定了其在数学教学中的重要地 位和作用。因
此，课程标准指出：“教师要发挥主导作用，……，使学生理解和掌握基本的数
学 知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活
动经验。”而数学思想方法 又常常隐藏于教材之中，这就要求教师在校本研修的
过程中，加强对数学思想方法的理论学习，把对基本 的数学数学方法的认识作为
专业发展的必修课；要在吃透教材的基础上，深刻挖掘隐含于教材字里行间的 数
学思想方法，认识到数学思想方法对于学生可持续发展的不可替代的作用；要在
日常教学中， 明确数学思想方法是数学素养的重要组成部分，不断增强自觉渗透
数学思想方法的意识。

2．遵循渗透原则
渗透，即把数学思想方法与数学知识技能、数学活动经验看成一个有机联系
的整体，在新、旧知识的学习和新、旧经验的运用中加以适当渗透，而不是刻意
添加数学思想方 法的内容，更不是片面强调数学思想方法的概念，要让学生在潜
移默化中去感受、领悟、积累和提升认识 ，运用并逐步将数学思想方法内化为良
好的思维品质。因而，教学中务必遵循由感性到理性、由具体到抽 象、由特殊到
一般的渗透原则，使学生的认识过程返朴归真，让学生在自觉状态下，始终以探
索 者的姿态参与到知识的形成和规律的揭示过程中去，从中不仅仅获得知识技
能，发展活动经验，更重要的 是与此同时领悟、运用、内化数学思想方法。

3．把握渗透关联
当转化、猜想、 列举、画图、假设、建模、代数、抬脚等多种数学思想方法
同时作用于“鸡兔同笼”问题中时，它们之间 必然存在相互关联之处。转化为猜
想、列举、画图等提供了便捷，猜想是列举的开始，列举则是假设的前 奏，画图
是对列举的结果的形象呈现和为假设提供的直观支撑，假设是对前面诸法的有效
提升， 建模则是假设的必然结果，代数是假设的联想产物，抬脚无非是假设的另
一种特殊形式。教学时，教师要 善于把它们联系起来看，结合起来用，以提高教
学实效。可见，不同的数学思想方法并不是彼此孤立、互 不联系的，较低层次的

数学思想方法经过抽象和概括，便上升为较高层次的数学思想方法 ，而较高层次
的数学思想方法则对较低层次的数学思想方法有着指导意义，其往往是通过较低
层 次的思想方法来实现自身的运用价值。

4．突出渗透重点
如果按思想方法的作用 给其分类，转化是解决“鸡兔同笼”问题中的基础性
的思想方法，不可少之；猜测、列举、画图、抬脚是 解决“鸡兔同笼”问题中的
颇有局限性的思想方法，虽为假设做好了铺垫或延伸，但会受到数目大小或奇 偶
性的限制，不能广泛用之；真正能够适应于此类问题的具有普遍意义的一般性方
法，无疑还是 假设和代数的思想方法。如果按思想方法的新旧给上述思想方法分
类，转化、猜想、列举、画图、建模和 代数的思想方法，都是在前面教学中教师
多次渗透、学生领悟较深的思想方法，惟有假设和抬脚才是本节 课中新出现的思
想方法，而抬脚不过是特殊的假设，且具有很强的局限性。由此看来，学生真正
最需要获得的，又能适应解决问题普遍性要求的一种新的数学思想方法就是假
设。

5．找准渗透途径
数学思想方法是数学和“数学广角”中最本质、最精彩、最具有教育价值的
部分。教师要让学生在解决问题的过程中，适时为学生找到适当的渗透途径，使
学生体验数学思 想方法的灵活运用，感受数学思想方法的无穷魅力，逐步提高数
学思想方法的认识水平和运用技能。概念 的形成过程、结论的推导过程、问题的
解决过程、练习的训练过程、复习的展开过程、课外的阅读过程等 ，都是向学生
渗透数学思想方法的极好途径。试想，在“鸡兔同笼”问题的教学中，如果把猜
想 的思想方法放在与列表的思想方法的结合中渗透，把画图的思想方法放在对个
别学困生的辅导中渗透，把 代数的思想方法放在对假设的思想方法的补充中渗
透，把抬脚的解题方法放在课外的阅读中渗透，课堂是 否会更具艺术、更有实效
呢？
日本数学家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中写道 ：不管他们
（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识(概念、定理、法则和公式

等)全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作
用，使他们受 益终生。随着社会的发展，要想实现“终身学习”和“人的可持续
发展”，重要的是在教育中发展学生的 能力，使之掌握获得知识和进一步学习的
方法，逐渐掌握蕴涵在知识内的数学思想方法。只有这样，才能 使学生真正感受
到数学的价值和力量。小学是学生学习数学的启蒙时期，这一阶段注意向学生渗
透基本的数学思想显得尤为重要。