刘竞图片-区域经理岗位职责

“华杯赛”专题讲座
基本行程问题






基本关系式：路程=速度′时间
比例关系： 当速度一定时，路程与时间成正比；
当时间一定时，路程与速度成正比；
当路程一定时，速度与时间成反比.
常用方法： 图示法（即用线段表示行驶的路程，用箭头表示行驶的方向）
例1.一名警察坐在公共汽车上发现一 个小偷下车向反方向跑去，10秒钟后，警察下车立即去追
小偷.如果警察速度是小偷的2倍，小偷速度 是车速的，那么，警察追上小偷要用多少秒？
[答疑编号]
【答案】110
【解答】设小偷每秒的速度为“1”，则警察的速度为“2”，车速为“10”，
警察开始追小偷时，两人的距离是（1＋10）×10=110，
追及的时间是110÷（2－1）＝110（秒）.
总结：
1）用图示法将过程表示清晰是解决行程问题的第一步；
2）这里已经出现了追及问题的一般公式：追及时间=追及距离?速度差

例2.甲、乙 、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B地时，乙离B地还有30米，丙离B地
还有40米；当乙跑到 B地时，丙离B地还有16米.A、B两地相距多少米？
[答疑编号]
【答案】80
【解答】由题意知，乙跑30米，丙跑40－16＝24（米）.
由此推知，乙、丙速度比为30:24＝5:4，
当乙离B地还有30米，丙离B地还有40米时，
乙比丙多跑10米，此时丙跑10÷（－1）＝40（米）.
两地相距40+40＝80（米）.
总结：
1）在比较基本的行程问题中，速度一般是不改变的，因此对同一个人而言，路程与时间成正比；
2）对多个人而言，当大家所用时间相等时，路程之比等于速度之比.

例3.一架飞机 所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回
时逆风，每小时可以飞 1200千米，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？
[答疑编号]
【答案】4000
【解答】往返的速度之比是1500:1200=5:4，
因此时间之比是4:5.

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那么顺风飞行时间最多为6×小时，
即最多飞出1500×

=4000千米，就要返回.
例4.小明从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千 米，他走这段路只需原来时间的
果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间就比原来时间 多几分之几？
[答疑编号]
；如
【答案】
【解答】由于速度提高后所用时间是原来的，
所以速度是原来的倍，原来速度是每小时1.5÷（-1）=6千米.
现在速度是原来的（6-1.5）÷6=，因此所用时间比原来多-1=.

例5.甲、 乙两车先后以相同的速度从A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的
三倍，10点10 分甲车距A站的距离是乙车距A站距离的二倍.问：甲车是何时从A站出发的？
[答疑编号]
【答案】9点30分
【解答】因为两车速度相同，所以两车距A站的距离之比就是两车行驶的时间之比.
可设10点整时，乙行驶的时间为“1”份，则甲为3份，差为2份；
到10点10分时，（3－1）÷（2－1）＝2，说明此时乙行驶的时间为2份.
因此两车行驶1份的时间是10分钟，甲车出发时间为9点30分.

例6.A、B两地 相距2400米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行.两人在途中某处相
遇后，甲又继续行 进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地.那么甲比乙每分钟多走多少
米？
[答疑编号]
【答案】20
【解答】记甲、乙的速度分别是M、N.
则由题意我们知道，甲18分钟走的路程等于相遇前乙走的路程，
而乙50分钟走的路程等于相遇前甲走的路程.
如果记两人从出发到相遇这段时间为T，
则有M′T=N′50和N′T=M′18，由此易得T?50=18?T，所以T=30分钟.

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于是由相遇问题的解法知M+N=2400?30=80，且3′M=5′N，
所以容易求得M=50米分，N=30米分.
所以甲每分钟比乙多走20米.
例7.一列火车通过长320米的隧道，用了52秒.当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道
时提高了










，结果用了1分36秒.求：
（1）火车通过大桥时的速度；
（2）火车车身的长度.
[答疑编号]
【答案】（1）10米秒 （2）96米
【解答】（1）假设火车通过大桥时的速度不变，
则它通过大桥时的时间为96×（1+）=120秒.
这就是说，火车以相同的速度分别通过320米的隧道和864米的大桥，
所用时间差为120-52=68秒.
火车通过大桥时的速度为：（864-320）÷（120-52）×（1+）=10米秒.
（2）火车车身长为10×96-864=96米.
总结：
在火车问题中，火车的车身长是不能忽略的，我们需要将车身长加入到路程当中去考虑.

例8.一座铁路桥上相向驶来两列火车，还有一个铁路维修工正沿着铁路在桥上行走.当两列火
车相遇时 ，它们的车尾恰好位于桥的两端，此时维修工恰好在两个车头相遇处；60秒后当两列火车
离开时，它们 的车头又恰好位于桥的两端，此时维修工恰好在两个车尾离开处.已知两列火车的速度
比是5:3，维修 工的行走速度是每秒5米，那么这座铁路桥的长度是多少米？
[答疑编号]
【答案】1200米
【解答】维修工60秒行走的路程是5′60=300米，这也是两列火车车身长度的差.
而每列火车在这60秒的时间里所行驶的路程是桥的长度减去自己的车身长度，
也就是对方的车身长度，因此两列火车在这60秒里的路程差也是300米.
而它们的速度比是5:3，所以路程比也是5:3，
所以两列火车的车身长分别是米和
那么铁路桥的长度是450+750=1200米.

行程问题之停靠

米，
例1.一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行驶750米，预计50分钟到达.但行驶到路程时汽车

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出了故障，用5分钟修理完毕. 如果要在预定时间到达乙地，那么在余下的路程中，每分钟必须比原
来快 米.
[答疑编号]
【答案】250
【解答】出故障时距离乙地还有米，
而还剩下时间分钟，所以在余下的路程中，
速度应为15000÷15＝1000（米分钟），每分钟比原来快1000－750＝250米.

例2.小明原计划中午1:15出发，以每小时3.6千米的速度步行，于1:27到达邮局，寄信 后1:30
从邮局出发，1:40到达学校.但是由于出发一段时间后发现信落在了家里，于是返回家中 取信后到
达邮局，只花1分钟就办好了寄信手续，然后以原来速度的两倍赶到学校，恰好还是1:40. 那么小
明是从家走出多少米时发现自己没有带信的？
[答疑编号]
【答案】210
【解答】小明正常的速度是每分钟3600÷60＝60米，
他从家到邮局用了12分钟，从邮局到学校用了10分钟。
实际上小明从邮局到学校只用了10÷2＝5分钟，
因此他从家到邮局一共用了25－5－1＝19分钟，
其中多出的19－12＝7分钟是用来往返取信的。
因此他走出60′7÷2＝210米时发现自己没有带信。

例3.一辆大轿车与一辆小 轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的80%。已知大
轿车比小轿车早出发17分钟，但 在两地中点停了5分钟后才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没
有停，直接往乙地，最后小轿车却比大 轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发
的。那么，小轿车是在上午几时几分追上大 轿车的？
[答疑编号]
【答案】11时5分
【解答】由题意知，从甲地驶往乙地，大轿车比小轿车共多用17－5＋4＝16分。
因为大小轿车的速度比为（1×80%）：1＝4：5，所以行同样的甲乙全程，
所用的时间比为5：4。
由此知大轿车走全程用时为16＝80分，则小轿车用时为80－16＝64分。
当小轿车追上大轿车时，少用17－5＝12分，则此时小轿车开出12＝48（分）。
此时距10点已过17＋48＝65（分），因此追上时间是11时5分。

例4.甲、 乙两地相距100千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1小时后小李驾驶汽车从甲地出
发，两人同时到达 乙地。摩托车开始速度是每小时50千米，中途减速后为每小时40千米。汽车速
度是每小时80千米， 汽车曾在途中停驶10分钟。那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少
小时？

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[答疑编号]
【答案】
【解答】汽车行驶100千米要用时间
所以摩托车行驶时间是
（小时）
（小时）
摩托车以每小时40千米行驶小时行驶距离为千米
（千米）
所以用50千米行驶（小时）
答：小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的小时。

例5.甲、乙二车往返于相距40千米的
A
、
B
两地.甲车先从
A
地出发，10分钟后乙车也从
A
出
发，并在距
A
地10千米的
C
处追上甲车，乙车到
B
之后休息18分钟，再向
A< br>地原速驶回，甲车到
B
地之后立刻加快速度向
A
地返回，并在
C
处又将乙车追上.问，最后甲车比乙车提前多少回到
A
处.
[答疑编号]
【答案】4分钟
【解答】当乙车到达
B
地时，B
到
C
的距离是
A
到
C
距离的3倍。
所以，甲车还需要10×3=30分钟才能到达。
所以，当乙往回返时，甲还没有到达
B
地。
当乙车从
B
地出发30－18=12分钟后，甲从
B
地出发。
说明从
B
地到
C
地，乙车比甲车多用12分钟。
所以，从
C
地到
A
地，乙车比甲车多用12÷3=4分钟。
即最后甲车比乙车提前4分钟回到
A
处。

例6.甲、乙两车从
A
、
B
两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千
米，如果两车到达目的地后立即返回，则迎面相遇在距
B
地225千米处，可实际上乙车到达
A
地后
因加油而花费一段时间，使得两车相遇时距
A
地440千米， 求乙车在
A
地停留了多少分钟？
[答疑编号]
【答案】80
【解答】如果乙车不停留，当两车相遇时，它们走的总路程是
AB
之间距离的3倍.
因为两车的速度比是40:50＝4:5，
所以这时甲车走的路程是
AB
距离的倍.

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因此
AB
两地相距









千米.
实际上由于乙车在
A
地停留，所以甲车走的路程是675′2－440＝910千米，
所用时间是910÷40＝22.75小时.
而乙车实际走的的路程是675＋440＝1115千米，所用时间是1115÷50＝22.3小时.
因此乙车在
A
地停留的时间是22.75－22.3＝0.45小时，即27分钟.
行程问题之变速行驶

例1.小明骑车8点出发赶往天安门广场，计划9点到达 .到8点15分时，他把速度提高，每分
钟多骑行80米，结果8点45分就到达了.那么小明骑行的总 距离是 千米.
[答疑编号]
【答案】9.6
【解答】在变速之后的行程中，实际骑行30分钟，
这一段计划应骑行45分钟，
时间比为2:3，所以速度比为3:2。
而速度的差是80米分钟，可得原计划的速度是160米分钟。
骑行总距离为160×60÷1000＝9.6千米。

例2.小明早上从家步行到学校 去，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即
骑车去给小明送书。追上时，小明还有的 路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。
这样，小明比独自步行提早5分钟到校。小明从 家到学校全部步行需要多长时间？
[答疑编号]
【答案】23分钟
【解答】爸爸从家出发到追上小明这段时间内爸爸与小明所行路程比为
（1－）：（1－）＝7：2，
余下的路程，小明步行需要5÷（1－）＝7分。
所以，小明步行走完全程，需要7÷＝23（分）。

例3.甲、乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行.当甲走到一半时，乙将速度提高一倍，结
果两 人在距离
B
地1200米处相遇，并且最后同时到达.那么两地相距多少米？
[答疑编号]

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【答案】2800
【解答】当甲走到一半时，乙开始提速，因此乙提速前与提速后的时间是一样多的。
因为在后一半时间里乙的速度是原来的2倍，
所以后一半时间里乙走的路程也是前一半时间的2倍。
那么当甲走到一半时，乙只走到全部路程的。
因此甲乙原先的速度比是3:2。
当乙提速后，甲乙的速度比变为3:4，
因此这段时间里乙又走了全程的，
那么他们的相遇地点与B地的距离是全程的，
因此两地相距米。

例4. 如图，甲、乙两个小朋友参加运动会跑步比赛，他们从正方形跑道的
B
点同时出发，沿跑
道逆时针跑步前进，甲的速度是每秒5.4米，乙的速度比他慢，但是当乙跑在
AD
跑道
上听到同学们的加油声后，速度提高为原先的1.5倍，结果与甲同时跑到
A
点. 那么乙原先的速
度是每秒跑 米.














[答疑编号]
【答案】4.8
【解答】以
D
为分点，将乙的行程分为两段，
这两段的路程之比是2:1，速度之比是1:1.5，可得时间之比是3:1。
同时，甲的速度始终不变，一共跑了三个边长的长度。
因此当乙跑到
D
时（他跑了两个边长的长度），
个边长的长度，
。
甲跑了
所以在此期间甲乙的速度之比是
那么乙一开始每秒跑米。

例5.一艘货轮要把货物从下游的
A
地运往 上游的
B
地，同时从
B
地有一条无动力漂流观景船同
时出发，随江水 漂向
A
地.货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达
B
地.一周后 ，货轮和
观景船仍然分别从
A
地和
B
地同时出发，但此时水速已经是 上一周的两倍，于是货轮将静水速度也

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提高了一半，结果货轮 行驶了千米后遇到观景船.求
AB
两地之间的路程，并求出货轮原先的静
水速度.
[答疑编号]
【答案】96千米；18千米小时
【解答】由于货轮与观景船的速度之和就是货轮的静水速度，
所以两次相遇所用时间之比是3:2。
由于观景船的速度第二次是第一次的两倍，
所以相遇时它行驶的路程之比是3:4。
由两次观景船的路程差千米，
得第一次行驶了32千米，所以
AB
之间的路程是64＋32＝96千米。
第一次相遇时两船路程比是64∶32＝2∶1，得货轮原先的静水速度是水速的3倍。
货轮原先的静水速度是千米小时。

例6.如图，在长为490米的环形跑道上，
A
、
B
两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从
A
、
B
两点出发反向奔跑.两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度< br>提高了20%.结果当甲跑到
A
时，乙恰好跑到了
B
点.如果以后甲、 乙的速度和方向都不变，那么当
甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？




























[答疑编号]
【答案】2690
【解答】设相遇点是
C
，则把全过程分成三段来考虑：
一、一开始到甲乙相遇；
二、相遇之后到恰好甲跑到
A
，乙跑到了
B
；
三、恰好甲跑到
A
，乙跑到了
B
，直至甲追上乙.
很容易知道过程一和过程二的时间之比是可以通过乙来计算，
乙跑的距离相等，只是速度不一样，于是时间比为（1＋20%）∶1＝6∶5.
考虑甲在前两段过程中的情况，
可以知道甲在两段过程中的路程比：1×6：[（1＋25%）]×5＝24∶25.
于是甲在第一段中的路程是240米，第二段中的路程是250米.
所以乙在两段中的路程都是250－50＝200米.
于是知道原来甲、乙的速度比是240∶200＝6∶5，现在是250∶200＝5：4.

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所以在第三段中，甲要追乙440米，于是甲要行440×5＝2200米.
于是当甲追上乙时，甲从一开始算起，共跑了2200＋490＝2690米.


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