行程问题答案及详解
长春师范大学招生网-作风整顿自查报告
关于行程问题
一、为什么小学生行程问题普遍学不好？
1
、
行程问题的题型多，综合变化多。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个
物体的运动。涉及
两个物体运动的， 又有“相向运动”（相遇问题） 、“同向运动”（追及问题）
和“相背
运动”（相
离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考
察。比
如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追
及问题要注意跟水速无关
等等。
2
、
行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。
奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数
线段问题，学生掌握了方法，依
葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出
来。行程问题
难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题
描述
的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的
学生会用手指，用橡皮
模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别
说找出解题所需要的数量关系了。
二、行程问题“九大题型”与“五大方法”
很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常
用解法也不了解，那么我给大家
归纳一下。
1
、九大题型：
⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；
⑸火车过桥问
题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。
2
、五大方法：
⑴公式法： 包括 行程基本公式 、相遇公式 、 追及公式
、流水行程公式 、火车过桥公式 ，
这种方法
看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种 变形形式，
而且有时条件不
是直接给出的， 这就需要对公式非常熟悉， 可以推知需要的条件。
⑵图示法 ：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意
图包括线段图、
折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、
追及的地点。另外在 多次相
遇 、追及问题 中，画图分析往往也是最有效的解题方法。
ps
：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对
了，意味着题也差
不过做对了
30%
！
⑶比例法：
行程问题中有很多比例关系， 在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体 数值
。更重要
的是，在一些较复杂的题目中， 有些条件
（
如路程、速度、时间等
）
往往是不确 定的，在没有具体数值的
情况下，只能用比例解题 。
ps
：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。
⑷分段法： 在非匀速
即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速
的运动分为匀速
的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。
⑸
方程法： 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件
关系最多的未知
量为未知数，抓住重要的 等量关系 列方程常常可以顺利求解。
ps
：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。
⑹假设法：
在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设
速度没变或时间
统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。
三、怎样才能学好行程问题？
因为行程的复杂， 所以很多学生已开始就会有畏难心理。
所以学习行程一定要循序渐进， 不要贪多，力
争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界：
第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。
第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。
第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给
家长听。
第四种： 能够编题。
就是自己领悟这个知识了， 自己能够根据例题出题目， 并且解出来。
。
1
其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到）
，能够达到第三种
境界的学生考
取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则
要求学生达到第四种境界。即系
统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学
习行程的四个阶段，或者说是好的方法。
建议一：不论是什么问题，在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解，要系统
地梳理一遍，这样
有系统，有方向，学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师
一起帮助孩子完成。这样把大的目标
分为不同的小的目标，各个击破，孩子也会有信心。同
时发现问题时，也可以有针对性的进行解决。
建议二：需要强调一点，就是在学习过程中不能捡芝麻丢西瓜，简言之就是要在每学一 个知识的时候，
都要对学过的知识进行练习。 一定要要重视总结， 把行程问题进行分类比较，
这样孩子对于行程问题的理解
会上升一个新的高度。
建议三：在学习过程中，可以积累孩子的错题，以便日后观察孩子在此部分知识点学习
过程中的薄弱环
节，这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做 的效果。
行程问题的典型例题
行程问题中最基本的公式就是
路程
=
速度
X
时间，任何行程问题，不管是多么“波澜起
伏或者是一波三折” ，他的本质都是研究路程、速度、时间三者的关系，在此基础上衍生出其
他问题，在每一
个方面或几个方面发生了细微的改变。
类型一：相遇问题
相遇问题强调的是一个 “和”的思想，两人在时间统一的前提下，
路程和
=
速度和
X
时间。
当然他的使
用，不仅仅局限于相遇这个现象，只要这个题目知道了“和”
个公式进行求解。
【例
1
】
AB
两地
900
米，甲乙两人在
A
处同时向
B
点出发，甲的速度
60
米
分，乙的速度
40
米
分，甲到<
br>达
B
地后立即返回，返回途中与乙相遇，甲乙两人多长时间相遇？
解：路程和
=900
X
2=1800
（米）
速度和
=60+40=100
（米
分）
相遇时间
=1800^100=18
（分钟）
，我就可以利用这
上面讲的是比较基本的相遇，到了高年级，可能等多的会涉及到多次或者是多人
相
遇。下面来说说多次相遇。
方法一：运用倍比关系解多次相遇问题
1.
两地相向出发：
第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程;
注意：除了第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次
都走
2N
米。
2.
同地同向出发：
第
1
次相遇，共走
2
个全程;
第
2
次相遇，共走
4
个全程;
第
3
次相遇，共走
6
个全程;
。
2
第
N
次相遇，共走
2N
个全程;
3
、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程
【例
2
】 甲、乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相遇.相遇
后继续前进到
达目的地后又立刻返回，第二次在离
离是多少千米？
【解析】画线段示意图
（
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线
B
地
25
千米处相遇.求
A
、
B
两地间的距
）
:
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A
、
B
两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三
A
、
B
两地间的距离时，甲车行了
95
千米,
3
个
95
千米，即
95
X
3=285
（千米），而
个
A
、
B
两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个
当它们共行三个
A
、
B
两地间的距离时，甲车就行了
这
285
千米比一个
A
、
B
两地间的距离多
25
千米，可得：
95
X
3-25=285-25=260（
千米
）
.
【例
3】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，
两人第一次在距
甲地
3
千米处相遇，第二次在距甲地
乙两地的距离为
6
千米处相遇
（
只算迎面相遇
）
，则甲、
千米.
小王
P
甲地』
1
第二汝相遇卩
乙地誤
第一次相遇和
【解析】第一次相遇走了
1
个
3
千米，第二次相遇走了
3
个
3
千米即
3
X
3=9
（千米）
9+6=15
（千米） ---- 两个全程
15
-
2=7.5
（千米）
继续上面多次相遇问题，解多次相遇问题的工具一一柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线,
3
按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中
“相遇的次数”
“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每
个物体走完一个全
程时所用的时间是多少。
【例
4
】 甲、乙两人在一条
90
米的直路上来回跑步，甲的速度
3
米
秒，乙的速度
2
米
秒。
如果他们同时分别从直路的两端
A
、
B
两点出发，当他们跑
12
分钟，共相遇了多少次？（从
出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
球砂 砂
--------- -------------------------
-------------------------------
沖|_
9
睐 十
【分析】 多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示。
---- 最不甲 ------ 龜貳乙
. 毎聊和抄
120-^135^
1
觀砂
在
180
秒内，甲、乙共相遇
5
次，最后又回到出发的状态。
所以甲、乙共相遇了
[12
十（
180
十
60
）
X
=20
（次）
【例
5
】甲、乙两人在一条长为
30
米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
1
米，乙的速度是
每秒
0.6
米•如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了
10
分钟后，共相遇几次？
首先，甲跑一个全程需要
30
-仁
30
（秒），乙跑一个全程需要
30
-
0.6=50
（秒）.与上题类
似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当
甲跑
5
个全程时，乙刚好跑
3
个全程，各自到了不同两端又重新开始，
这正好是一周期
150
秒•在这一周期内两人相遇了
5
次，所以两人跑
10
分钟，正好是四个周
期，也就相遇
5
X
4=20
（次）
备注：一个周期内共有
5
次相遇，其中第
1
,
2
,
4
,
5
次是迎面相遇，而第
3
次是追及相遇.
4
有些多次相遇的题目可以根据速度比 m:n,设路程为m+n份。举个例子。
【例
6
】甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，并在
A
、
B
两地间不断往返行驶。已知甲车速 度是
15
千米<
br>
时，乙车速度是
25
千米
时，甲乙两车第一次相遇地点与第二
次相遇地点之间 相差
100
千米。
A
、
B
两地相距
多少千米？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
【分析】甲车速度是
15千米
时，乙车速度是
25
千米
时，甲、乙两车的速度之
比为
15:25=3:5
将
A
、
B
两地平均分成
8
小格，甲每走
3
小格，乙就走
5
小格;
如图所示，<
br>C1
、
C2
分别表示第
1
、
2
次相遇的地点
;
1D
阡采巧千来小时
I I E
其中第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差
4
小格；
每小格的长度为
100
十
4=25
千米；所以
A
B
两地相距
25
X
8=200
千米。
说了多次相遇，再来说说
多人的相遇问题即 多人行程。这类问题主要涉及的人数
为3人，主要考察的问题就是
求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，
解题的思路就是把三人问题转化为
寻找两两人之间的关系。
【例
7
】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走
60
米，乙每分钟走
50
米，丙每分钟走
40
米。甲
从
A
地，乙和
丙从
B
出发相向而行，甲和乙相遇后，过了
15
分钟又与丙相遇，求
A
、
B
两地 的距离。
【解析】
3
人相遇问题。先画图分析
整个题目说了两个相遇过程。
第一次相遇：甲和乙相遇。两人一共走了一个全程。
因此全程
=
（甲的速度
+
乙的速度） ＞时间
发现相遇的时间不知道。
第二次相遇：甲和丙的相遇。前提是
甲乙相遇后，再过
15
分钟”发现走的路程是
CD
因此
CD
的距离
=
（甲的速度
+
丙的速度）
＞时间
=
（
60+40
）
X15=1500
（米）
但是我们的目标是要求出甲乙相遇的时间，发现
CD
是在这段时间里乙、丙的路程差。
因此时间
=
路程差
W
速度差
=1500
+（
50-40
）
=150
（分钟）
因此全程
=
（
60+50
）
X150=110X150=16500
（米）
类型二：火车过桥
过桥问题是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾 离
5
桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也
要用到
一般行程问题的基本数量关系：
过桥问题的一般数量关系是：
过桥的路程
=
桥长
+
车长
车速
=（
桥长
+
车长
）
十过桥时间
通过桥的时间
=（
桥长
+
车长
）
十车速
桥长
=
车速
x
过桥时间一车长
车长
=
车速
x
过桥时间一桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。
火车在行驶中，经常发生过桥与通过隧道，两车对开错车与快车超越慢车等情况.
火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算 “过桥”.如下图：
6
±¥
挤
n
列车过桥的总路程是析长加车怜这是解决过桥「極的关键.过桥问题也要用到一
般行穆
I
亍题的基本故鍵关系】
过桥的路程=桥快+丰扶
车逋■（析长十车檢）■过冊间
通过桥的时
-£U
（桥长卜车长）+车速
桥长•车速
X
过桥时间-车扶
车长“车速
x
过祈时司■桥长*
后三个都是根据第二个关系式逆推出的.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几
种类型的题目，在
分析题目的时候一定得结合着图来进行.
两列火车的
追及
”
情况，请看下图：
火车卫 ——”
i li
女華
A h—*
认半甘 _» 大羊月 —>
㈡
CD
_____
___________________________________________
__________________________ _________
________________________________
__________________________
两列火车卫与血图中心表示屈已经追上血圏中乡《已翹过瓦 从追上胪到
卞超过就是一个
追及般过程.比校两个火车头〃追上时川落后
0
的车掏妆「起
过”时冲领先吕的车身长，也就
是说 从“追上”到“超过笃川的车头比吕的车头多走
的路程是
E
的车身长3的车身长 因此所
需时间无
（貝的车身长祷的车身长）.
（A
的车逋（的车逋）■从车半追上到车尾离开的时 询
a®
c^n
7
【例
8
】两人沿着铁路线边的小道，
车开来，全列车从甲身边开过用了
从两地出发，两人都以每秒
1
米的速度相对而行。 一列火
10
秒。
3
分后，乙遇到火车，全列火车从乙身边开过只用
了
9
秒。火车离开乙多少时间后两人相遇？
分析根据题意图示如下：
A1
、
B1
分别表示车追上甲时两人所在地点，
A2
、
B2
分别为车从甲身边过时两人所在地点,
A3
、
B3
分别为车与乙相遇时两人所在地点，
A4
、
B4
分别为车从乙身边开过时两人所在地点。
要求车从乙身
边开过后甲乙相遇时间用
A4
到
B4
之间的路程除以两人速度和。
解:
(
1
)求车速
(车速
-1
)
X
10=10
X
车速
-10=
车长
(车速
+1
)
X
9 = 9
X
车速
+ 9=
车长
比较上面两式可知车速是每秒
19
米。
(2)
A3
到
B3
的路程，即车遇到乙时车与甲的路程差，也是甲与乙的相距距离。
(
19-1
)
X
(
10+190
)
=3420
(米)
(3)
A4
到
B4
的路程，即车从乙身边过时甲乙之间的路程。
3420-
(
1+1
)
X
9=3402
(米)
(4) 车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为
3402
- (
1 + 1
)
=1701
(秒)
答：火车离开乙
1701
秒后两人相遇
8
【走进赛题】
1
、
铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为
小时，骑车人速度为
10.8
千米
小时。这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用
3.6
千米
22
秒，通过骑车人用
26
秒。这列火车的车身总长是多少米？（第三届
题）
“迎春杯”第二题第
1
2
、
一个人站在铁道旁，听见行近来的火车汽笛声后，再过
“从小爱数学”竞赛第
8
题）
57
秒钟火车经过他面前
.
已知 火车
汽笛时离他
1360
米；
（
轨道是笔直的
）
声速是每秒钟
340
米，求
火车的速度？
（
得数保留
整数
）
（第
4
届
3
、
某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是
客车长
105
米，每小时速度为
28.8
千米
.
求步行人每小时行多少千米？
数学竞赛第
3
题）
15
秒钟，
（第
3
届“祖冲之杯”
4
、 一条单线铁路上有
A
,
B, C, D, E 5
个车站，它们之间的路程如图所示
（
单位：千米
）.
两列火车同
时从
A
，
E
两站相对开出，从
A
站开出的每小时行
60
千米，从
E
站开出的每小时 行
50
千米
.<
br>由于单线铁路
上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在
车站停车，才能让开行车轨道
•
因此，应安排哪个站相遇，才能使停车等候的时间最短
这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟？（第
6
届“迎春杯”数学竞赛第
6
题）
•
先到
【走进赛题】
1
、
286
米
2
、
22<
br>秒
3
、
3.6
千米
小时
4
、
D
站
5
分钟
9
行程问题加难试题
1.
如图
21-l
,
A
至
B
是下坡，
B
至
C
是平路，
C
至
D
是上坡
.
小张和小王在上坡时步行速度是
每小时
4
千米，平路时步行速度是每小时
5
千米，下坡时步行速度是每小时
6
千米•小张
和小王分别从
A
和
D
同时出发，
1
小时后两人在
E
点相遇.已知
E
在
BC
上，并且
E
至
C
1
的距离是
B
至
C
距离的-.当小王到达
A
后
9
分钟，小张到达
D.
那么
A
至
D
全程长是多
5
少千米
？
- I
4
5
1
5
【分析与解】
BE
是
BC
的一，
CE
是
BC
的-，说明
DC
这段下坡，比
AB
这段下坡所用的时间
多，也就是
DC
这一段，比
AB
这一段长，因此可以在
DC
上取一段
DF
和
AB
一样长，如下图:
B
G £ €
另外，再在图上画出一点
到
G.
小王走完全程比小张走完全程少用
G,
使
EG
和
EC
一样长，这样就表示出，小王从
F
到
C.
小张从
B
9
分钟，这时因为小张走
C
至
F
是上坡，而小王走
F
至
C
是下坡
（
他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多
因此，小王从
F
至
C,
走下坡所用时间是
9
十
6
-1
=18（
分钟
）
.
14
丿
）
.
因此得出小张从
B
至
G
也是用
18
分钟，走
GE
或
CE
都用
6<
br>分钟.走
B
至
C
全程
（
平路
）
要<
br>30
分钟.
从
A
至曰下坡所用时间是
60-18-6=36（
分钟
）
；
从
D
至
C
下坡所用时间是
60-6=54（
分钟
）
;
6
A
至
D
全程长是
（36+54）
X
+30
X
5
=11.5
千米.
60 60
B
点出发在这个
2.
如图
21-2
,
A
,
B
两点把一个周长为
I
米的圆周等分成两部分.蓝精灵从
3
圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是
3
米，如果它跳到
A
点，就会经过
8
特别通道
AB
滑向曰点，并从
B
点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一
倍.已知蓝精灵跳了
1000
次，那么跳完后圆周长等于多少米
【分析与解】
3
？
X
4=-
即蓝精灵跳
4
次到
A
点.圆半径扩大一倍即乘以
2
后，跳
8
次到
A
8 2
占
八、、♦
圆半径乘以
4
后，跳
16
次到
A
点.
依次类推，由于
4+8+16+32+64+128+256+492=1000
,
所以有
7
次跳至
A
点.
1000
次跳完后圆周长是
1
X
2 =128
米.
10
3
.已知猫跑
5
步的路程与狗跑
3
步的路程相同；猫跑
7
步的路程与兔跑
5
步的路程相同.而 猫跑
3
步的时间
与狗跑
5
步的时间相同；猫跑
5
步的时间与兔跑
7
步的时间相同，猫、狗、 兔沿着周长为
300
米的圆形跑
道，同时同向同地出发.问当它们出发后第一次相遇时各跑了
多少路程
？
【分析与解】 由题意，猫与狗的速度之比为
9:25
，猫与兔的速度之比为
25:49
.
25
设单位时间内猫跑
1
米，则狗跑
25
米，兔跑 竺 米.
49
25
25
狗追上猫一圈需
300
十（空-
1）=
9
675
675
单位时间，
9 4
2
675 625
2
的整数倍，又是 验 的整数倍
•
兔追上猫一圈需
300
+
（
49
-1）=
型 单位时间.
25
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是
4
675
675
625
2 4
与
625
的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大
675 625
公约数
，
即
，
IL 4 2
跑了
||675,625 1 16875
=8437.5
.
4,2 2
8437.5
米，狗 上式表明，经过
8437.5
个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇.此时，猫跑了
25
9
49
25
8437.5
X
=23437.5
米，兔跑了
8437.5
X
=16537
.
5
米.
4
.一条环形道路，周长为
速度是每小时
少要用多少分钟
？
2
千米.甲、乙、丙
3
人从同一点同时出发，每人环行
5
千米，乙和丙步行的速度是每小时
2
周.现有
自行车
2
辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途
乙和丙下车步行，把自行车留给其他
人骑.已知甲步行的
4
千米，
3
人骑车的速
2
周最
度都是每小时
20
千米.请你设计一种走法，使
3
个人
2
辆车同时到达终点.那么环行
【分析与解】
如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位 “
1
”的路程只需
1
时间 丄；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“
20
路程，耽搁的时间比为：
1
”
1 1 1 1 c ,
3
：
4
（
5 20
丿
14 20
丿
而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等.于是步行的距离比应为耽搁时
间的倒数比，即为
4:3
;因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为
因为有
3
人，
2
辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路
的周长.
4:3:3
4
于是，甲步行的距离为
2
X
=0.8
千米；则骑车的距离为
2
X
2-0.8=3.2
千米；
4+3 + 3
0 8 3 2
11
所以甲需要时间为
（
08
*
32
）
X
60=19.2
分钟
5 20
环形两周的最短时间为
19.2
分钟.
12
参考方案如下：甲先步行
0.8
千米，再骑车
3.2
千米;
乙先骑车
2.8
千米，再步行
0.6
千米，再骑车
0.6
千米
（
丙留下的
自行车
）
；
丙先骑车
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