创业活动-客户经理职责

.

一、 相遇与追及
1、路程和路程差公式
【例 1】 如下图，某城市东西路与南北路交会于路口
A
．甲在路口
A
南边560 米的
B
点，
乙在路口
A
．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二 人距
A
的距离相等．再继续行
走24分钟后，二人距
A
的距离恰又相 等．问：甲、乙二人的速度各是多少？

【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2003年，明心奥数挑战赛
【解析】 本题总共有两次距离
A
相等，第一次：甲到
A
的距离正好 就是乙从
A
出发走的路
程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度 和为：
5604140

(米分)。第二次：两人距
A
的距离又 相等，只能是甲、乙走过了
A
点，且在
A
点
以北走的路程

乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了
42428
(分 钟)，两人的速度差：
5602820
(米分)，甲速

乙速
 140
，显
然甲速要比乙速要快；甲速

乙速
20
，解这 个和差问题，甲速
（14020）280
(米分)，乙速
140806 0
(米分)．
【答案】甲速
80
米分，乙速
60
米分
2、多人相遇
【例 2】 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙 每分钟走75
米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟
后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：

10075

61050
(米)；
甲、乙相遇的时间为：< br>1050

8075

210
(分钟)；
东 、西两村之间的距离为：

10080

21037800
( 米).
【答案】
37800
米
3、多次相遇
【例 3】 甲、 乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相
遇后继续前进到达目的地后 又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两
地间的距离是多少千米？
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两
车共行了三个A、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离
时，甲车行了95千米，当它们共行三个A 、B两地间的距离时，甲车就行了3个
95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个 A、B两地间的距离多25千
米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
.

.
【答案】260千米
二、 典型行程专题
1、 火车过桥
【例 4】 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道 用23秒，若该列
车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？
【考点】行程问题之火车问题 【难度】3星 【题型】解答
a) 根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米秒），
某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米秒）某列车的车长为：< br>20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（2 0＋20）
＝400÷40＝10（秒）。
【答案】10秒
2、流水行船
【例 5】 甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行
3.3
千米，乙艇每小时行
2.1
千米．现
在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米 的上游下
行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．水流速度是每小时
千米．
【考点】行程问题之流水行船 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2009年，学而思杯，六年级
【解析】 两游艇相向而行时， 速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所
用的时间为
27(3.32. 1)5
小时．
相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需 要
549
小时，那么甲艇的逆水速度为
2793
(千米小时)，则水 流速度为
3.330.3
(千米小时)．
【答案】
0.3
千米小时
3、猎狗追兔
【例 6】 猎人带猎狗 去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步
的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离 与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，
猎狗可以追上它？
【考点】行程问题之猎狗追兔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设狗跑2步的时间为1(分钟)，兔 跑3步的时间也为1(分钟)；再设狗的步长为
7(米)，则兔的步长为4(米)，推出狗的速度是2× 7=14，兔的速度是3×4=12。用
40÷（14－12）=20，20为追击时间。再用兔的速度 乘上追击时间可得兔跑的路程，
即 12×20=240（米）。
【答案】240米
4、环形跑道
【例 7】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的 方向绕此
圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第
二次相遇。求此圆形场地的周长？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2星 【题型】解答
1
【解析】 注意观察图形，当甲、乙 第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二
2
13
次相遇时，甲乙共走完1+ ＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的
22
时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行 走的总路程为第一次相遇时行走的总路程
.

.
的3倍，即100× 3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为
3
2
圈， 所以此圆形场地的周长为480米．
【答案】480米
5、走停问题
【例 8】 小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知
小红下山的速度是上山速 度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？
【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 上山用了3时50分，即60×3+50=230 （分），由230÷（30+10）=5……30，得到上
山休息了5次，走了230-10×5=18 0（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下
山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知 ，下山途中休息了2次，所以下山共用
90+5×2=100（分）=1时40分.
【答案】1时40分
6、 变速问题
【例 9】 （时间相同模型）甲、乙两车分 别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行．出发
时，甲，乙的速度之比是
5:4
，相遇后甲的速度减少
20%
，乙的速度增加
20%
．这样
当甲到达
B
地时，乙离
A
地还有
10
千米． 那么
A
、
B
两地相距多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 出发时，两车的速度之比为
5:4
，所以相遇以后两辆车的速度之比为
5

120%4

:< br>
12

0%5:6
，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4
，所
以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为
4:5
，所以甲还需 要行驶全部路程的
当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的
4
，
9
48
，距离
A
地还有
56
915
4811
 
，所以
A
、
B
两地相距
10450
千米．
9154545
【答案】
450
千米
【例 10】 （路程相同模型）一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速
的34前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停
车 0.5 小时，然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程
为多少公里？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答
3
【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5
4
1
小时，所以后面以原速的
原来的
3
前进的时间比原定时间多用
1.50.51
小时，而速 度为
4
344
，所用时间为原来的，所以后面的一段路程原定时间为
1( 1)3
小
433
时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，
然后同样以原速的
3
前进，则到达目的地仅晚1 小时，类似分析可知又前进 90 公
4
4
里后的那段路程原定时间为
(1 0.5)(1)1.5
小时．所以原速度行驶 90 公里
3
需要1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为
901.54240
公里．
【答案】
240
公里
7、 自动扶梯
.

.
【例 11】 小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒
2
个台阶和每秒
3
个台阶，
电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一 楼走上二楼，分别用时
28
秒和
20
秒，
那么如果小志攀登静止的电 梯需要用时多少秒？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
a) 小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了
28256
级和
20360
级，小刚
比小志多走了
60564
级，这4 级台阶实际上是小志多走的8秒钟内，电梯“缩”
进去的，因此电梯的运行速度为每秒半个台阶，那么在 小刚登梯的20秒内，电梯
也“缩”了10级，所以电梯所能见到的部分是60+10=70级，所以， 小志攀登静止的
电梯分别需要用时70÷2=35秒．
【答案】35秒
8、发车间隔
【例 12】 某人沿着电车道旁的便道以每小时
4.5
千米 的速度步行，每
7.2
分钟有一辆电
车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过， 如果电车按相等的时间间隔以同一速
度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是 多少？
【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设电车的速度为每分钟
x
米．人的速度为每小时
4.5
千米，相当于每分钟75米．根
据题意可列方程如下：

x75
7.2

x75

12
，解得
x 300
，即电车的速度为
每分钟300米，相当于每小时18千米．相同方向的两辆电车之间的 距离为：

30075

122700
(米)，所以电车之间 的时间间隔为：
27003009
(分钟)．
【答案】
9
分钟
9、接送问题
【例 13】 甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴， 但大巴只够
一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学
生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲
班学生，再回头载上 丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已
知学生步行的速度为5千米小时，大巴车 的行驶速度为55千米小时，出发地到终点
之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.
【考点】行程问题之接送问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图所示：
A
甲
乙
丙
BC
DEF

虚线为学生步行部 分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，
所以大巴车第一次折返点到出发点的距 离是乙班学生搭车前步行距离的6倍，如果
将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折 返点到出发点的距离
为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离，……如此大巴车一< br>共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大巴车共行驶了
28 千米，所花的总时间为2855小时.
【答案】2855小时
10、钟表问题
【例 14】 小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，
当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？
【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2星 【题型】解答
.

.
【解析】 9点和10点之间分针和时针在一条直线上的时刻 为：
15

1


1

4
（ 分），
16

12

11
时针与分针第一次重合的时刻为 ：
45

1
用的时间为：
49
【答案】
32


1

1
（分），所以这道题目所
49

12

11
148
1632
（分）
111111
8
分
11
三、 综合行程（主要运用比例法）
【例 15】
A
、
B
两地相距 7200 米，甲、乙分别从
A
，
B
两地同时出发，结果在距
B

地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，
则甲的速度是每分钟行多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
a) 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初
甲、乙的速度比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了
全程的23．乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比
22
等于速度之比，所以第二种情 况中相遇时甲走了全程的

．两种情况相比，
325
甲的速度没有变化，只 是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟，所以甲的速度为
22
7200()10192
(米分)．
35
【答案】192米分
【例 16】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道 匀速跑步．如果出发时乙的速度
是甲的
2.5
倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即 提高
25%
，而乙的速度立即减少
20%
，并且乙第一次追上甲的地点与第二 次追上甲的地点相距100米，那么这条环形
跑道的周长是 米．
A
C

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2003年，迎春杯
【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时 甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从
A
点同时出
发，按逆时针方向跑．由于出发时两 者的速度比为
2:5
，乙追上甲要比甲多跑1
2
5
圈，所以此时甲跑 了
1(52)2
，乙跑了；此时双方速度发生变化，甲的
3
3
速度变为
2(125%)2.5
，乙的速度变为
5(120%)4，此时两者的速度比为
2.5:45:8
；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此 次甲跑了
5
5
这个就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从环形
1 (85)5
，
3
3
52
跑道上来看，第一次相遇点跑到第二 次相遇点之间的距离，既可能是
1
个周
33
B
.

.
51
长，又可能是
2
个周长．
3 3
那么，这条环形跑道的周长可能为
100
21
150
米或100300
米．
33
【答案】
300
米或150米
【例 17】
A
、
B
两地位于同一条河上，
B
地 在
A
地下游100千米处．甲船从
A
地、乙船
从
B
地同时出发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达
A
地后，都立即按原来路线 返
航．水速为2米秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20
千米，那 么两船在静水中的速度是
米秒．
【考点】行程问题与几何综合 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2009年，迎春杯，复赛，高年级组
【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．
AD
E
N
M
BC
F

如图，箭头表示水流 方向，
ACE
表示甲船的路线，
BDF
表示乙船的
路线，两 个交点
M
、
N
就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同 ，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么
两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表 现在图中，就是
BC
和
DE
的
长度相同，
AD
和< br>CF
的长度相同．
那么根据对称性可以知道，
M
点距
BC< br>的距离与
N
点距
DE
的距离相等，也就是说
两次相遇地点与< br>A
、
B
两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，
所以 第一次相遇时，两船分别走了

10020

240
千米和< br>1004060
千米，可
得两船的顺水速度和逆水速度之比为
60:40 3:2
．
而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米秒，可得顺水速度为
4 

32

312
米秒，那么两船在静水中的速度为
12210
米秒．
【答案】
10
米秒
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑 的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不 可思议。


.