英文qq签名-周计划

第十讲：行程问题分类例析

主讲：何老师
行程问题有相遇问题 ，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动
形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道) . 相遇问题是相向而行.相遇距离为两
运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或 慢的先行若干时间,
快的再追及,
S
快
S
慢
S
追及距离
.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，
回时则为逆流.

一、相遇问题

例1：两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时 行72km；甲车出
发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行使48km，两车相遇后，各自 按
原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了
多少小 时？

分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程.

解答：设
甲车共
行使了
xh，则乙
车行使了
(x
25
)h
.（如图1）

60
依题意，有72x+48
(x 
25
)
=360+100,

60

解得x=4.

因此，甲车共行使了4h.
< br>说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读
者仔细体会 .

例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风< br>中的速度是575kmh,风速25 kmh,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?

分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题.

顺风中的速度=静风中速度+风速

逆风中的速度=静风中速度-风速

解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回.

依题意，有
xx
4.6

5752557525
解得:x=1320.

答:这架飞机最远飞出1320km就应返回.

解法二: 设飞机顺风飞行时间为th.

依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),

解得:t=2.2.

(575+25)t=600×2.2=1320.

答:这架飞机最远飞出1320km就应返回.

说明:飞机顺风与逆风的平均速度是 575kmh,则有
在于飞机平均速度不是575kmh,而是
2x
xx
< br>v
顺
v
逆

2x
4.6
,解得x=132 2.5.错误原因
575

2600550
574(kmh)

600550
2v
顺
v
逆
v
顺
v< br>逆
例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度
分别为21 kmh、14 kmh.

(1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?

(2) 如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相
遇?

分析:这是环形跑道的行程问题.

解答:(1)设经过xh两人首次相遇.

依题意,得(21+14)x=42,

解得:x=1.2.

因此,经过1.2小时两人首次相遇.

(3) 设经过xh两人第二次相遇.

依题意,得21x-14x=42×2,

解得:x=12.

因此,经过12h两人第二次相遇.
< br>说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.从同一地点
出发,相遇时 ,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈
的周长.

有趣的行程问题
【探究新知】

例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地 同时出发相向而行，甲每小时走
6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

分析与解： 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6
＋4＝10（千 米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米
就是几小时相遇.

30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小时）

答：3小时后两人相遇.

本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程＝

速度和×时间.

例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A点出发 ，乙从C点同时出发，都按
顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5
当甲第一次追上乙 时，甲跑了多少圈？（第二届
杯试题）

分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追 及问题问题中有一个基本关系式：
追击路程=速度差×追及时间。

追及路程：10＋6=16（米）

速度差：5－4.5=0.5（米）

追击时间：16÷0.5=32（秒）

甲跑了5×32÷[（10＋6）×2]=5（圈）

答：甲跑了5圈。
< br>例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车
从乙地开往甲地，平 均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午
12时两车同时经过途中某站，然后仍继 续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙
地还有多少千米？

分析与解：货车每小时 行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车
速度为每小时（45＋15）千米；中午12点 两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，
米。
希望

而客车已行（1 2—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求
当客车行完全程到达甲地时，货 车离乙地的距离.

解：①甲、乙两地之间的距离是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×4

＝510（千米）.

②客车行完全程所需的时间是：

510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小时）.

③客车到甲地时，货车离乙地的距离：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.

答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.

例4、两列火车相向而行，甲车每小时行 36千米，乙车每小时行54千米.两

车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他 的车窗时开始到乙车车尾经过他
的车窗共用了14秒，求乙车的车长？

分析与解：首 先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），
乙车的速度是每秒钟5400 0÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作
是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运 动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运
动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车 车头经过甲车乘客的
车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头
与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间
的距离 为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所
以，乙车车头与甲 车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，
即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒 内所走的路程之和.

解：（10＋15）×14

＝350（米）

答：乙车的车长为350米.

例5、某列车通过25 0米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若
该列车与另一列长150米.时速为72千 米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

分析与解： 解这类应用题，首先应明确几个概念：列 车通过隧道指的是从车
头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长 加
隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开
为止，这个 过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车

在这段时间里所走 的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之
和除以速度之和。

列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶
的路程为（250— 210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为
（250—210）÷（25 —23）＝20（米秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内
所走的路程等于隧道长加上车长，因 此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），
从而可求出错车时间。

解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：

72000÷3600＝20（米秒），

某列车的速度为：

（250－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米秒）

某列车的车长为：

20×25-250＝500-250＝250（米）

两列车的错车时间为：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

答：错车时间为10秒.

例6、甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的 公路乘车相

向而行，各自前往B地、A地。甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。 甲、乙
各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。问：

(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?

(2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?

(3)他们可用对讲机联络多长时间?

（第四届希望杯试题）

分析与解：

(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。

(2)20÷(32+48)=0.25(小时)。

(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可
用对讲机联络

0.25+0.25=0.5(小时)。
< br>例7、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第
一次相遇.相遇后 两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返
回，途中两车在距A地48千米处第二 次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

分析与解：甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车 走了64千米，从上图可
以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车 共走

了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.< br>
解：①AB间的距离是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.

②两次相遇点的距离为

144—48－64

＝32（千米）.

答：两次相遇点的距离为32千米.

※例8赵伯伯 为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后
又回沿原路返回，假设赵伯伯在平路上每小 时行4千米，上山每小时行3千米，下
山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？（第五届希 望杯试题）

分析与解：赵伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度为3千米，下山速度为6千米，上山与下山的平均速度是多少？（这是一个易错题）可以通过“设数”的
方法让四年级同学 明白。

设上山路程为6千米，（想一想为什么设6千米？还可以设几千米？）

上山时间为：6÷3=2（时）

下山时间为：6÷6=1（时）

上下山的平均速度为：（6＋6）÷（2＋1）=4千米

又因为平路的速度也为4千 米小时，所以赵伯伯每天锻炼走的路程为：4×
3=12千米。

【挑战自我】

1、小明、小华和小新三人家在同一条街道上，小明家在小华家西30 0米处，
小新家在小明家东400米处，则小华家和小新家相距多少米？（第三届希望杯试题）

答案：画图得100米。

2、小明家离学校2千米，小光家离学校3千米，小明和小 光的家相距多少千
米？（第一届希望杯试题）

答案：1千米与5千米之间。

分类讨论，一题多解。

当小明家与小光家在同一侧时，距离最近为1千米。

当小明家与小光家方向相反时，距离最远为5千米。

但是小明和小光家可能不在一条直线上， 所以小明与小光家的距离应在1千米
至5千米之间。

3、甲乙两个港口相距400千 米，一艘轮船从甲港顺流而下，20小时可到达乙

港。已知顺水船速是逆水船速的2倍。 有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到
突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到 9个小时。轮船的这
次航行比正常情况多行驶了多少千米？（第四届希望杯试题）

答案：顺水速度是400÷20=20（千米）

逆水速度是20÷2=10（千米）

反向航行一段距离顺水时用的时间是9÷（2＋1）=3（小时）

比正常情况多行驶的路程是20×3×2=120（千米）

4、两列相同而行的火车 恰好在某站台相遇。如果甲列车长225米，每秒行驶
25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错 车时间是9秒。求：

（1）乙列车长多少米？

（2）甲列车通过这个站台用多少秒？

（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？

（第二届希望杯试题）

答案：（1）乙列车长180米（2）甲列车通过这个站台用 多9秒（3）坐在甲列
车上的小明看到乙列车通过用了4秒

5、甲、乙两车同时从A 、B两地沿相同的方向行驶，甲车如果每小时行60千
米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶 70千米，则3小时可追上前方的

乙车。由上可知，乙车每小时行驶多少千米？（第三届 希望杯试题）

答案：乙车每小时行驶45千米。

【综合练习】

1、甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知
甲车到达B城需 4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

答案：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小时）.

2、小明家在学校 东400米处，小红加在小明家的西200米处，那么小红家距
离学校多少米？ （第三届希望杯试题）

答案：画图解题，小红家距学校200米。

3、甲 、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第
一次相遇地点离A地4千米，相遇 后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，
在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距 离？

答案：①A、B两地间的距离： 4×3—3＝9（千米）.

②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.

4、周老师和王老师沿着学校的环形林荫道 散步，王老师每分钟走55米，周
老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同 时背向而行。在
他们第10次相遇后，王老师再走多少米就回到出发点？（第四届希望杯试题）

答案：几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）

10次相遇共用：4×10=40（分钟）

王老师40分钟行了：55×40=2200（米）

2200÷480=4（圈）……280（米）

所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）

答：再走200米回到出发点。

5、“希望号”和“奥运号”两列火车相向而行，“ 希望号”车的车身长280米，
“奥运号”车的车身长385米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运 号”车驶过
的时间是11秒，求：（1）“希望号”和“奥运号”车的速度和？

（2）坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间？

（3）两列火车的会车的时间？

答案：（1）速度和35米秒；（2）8秒；（3）会车时间19秒。

5．小张与小 王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就
马上返回），他们在离甲村3.5 千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.
问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎 面相遇）？

解：画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

3.5×3＝10.5（千米）.

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍 的路程.第四次相遇时，
两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

3.5×7＝24.5（千米），

24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

就知道第四次相遇处，离乙村

8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.

35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两 站的距离相等，小强和小明
同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇， 然后两
人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、
乙两 站的距离是多少米？

先画图如下：

分析与解：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：

①第一阶段——从出发到二人相遇：

小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，

小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。

②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明 ，小强走的路程=2个甲、乙距离-100
米+300米=2个甲、乙距离+200米， 小明走的路程=100+300=400（米）。

从小强在两个阶段所走的路程可以看出 ：小强在第二阶段所走的路是第一阶段
的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第 一阶段应走400÷2
＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米） 。

47、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

分析与解：3点时分针指12，时针指3。分针在时针后5×3＝15（个）
格.
< br>48、有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；
再经过多少 分钟，分针与时针第二次重合？
解：10时整，分针与时针距离是10格，需要追击的距离是（60- 10）格，分针走60
格，时针走5格，即分针走1格，时针走560=112格。
第一次重合经过?? （60-10）（1-112）=54（611）（分）
第二次重合再经过??60（1-112）=65（511）（分）

答：经过 54（611）分钟，分针与时针第一次重合；再经过65（511）分钟，分针
与时针第二次重合。< br>
2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？

分析与解：在2点整时， 分针落后时针5×2=10（个）格，当分针与时针第一次成
直角时，分针超过时针60×（90÷36 0）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比
时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时 刻所用的时间为：

49、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

分析与解：分两种情况进行讨论。①分针与时针的夹角为180°角：

当分针与 时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）
格，而在9点整时， 分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比
时针多走45-30=15（个）格 ，而每分钟分针比时针多走


（分钟）。

②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：

9点整时，分针落后时针5×9= 45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针
多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为： 45÷(1-112)＝49又111（分钟）

19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发 ，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；
如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米 ，求A、B两地的距离。

解： 先画图如下：

【方法一】 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲
从A到C用 6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所
用时间应为：（26-6）=2 0（分）。

同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所 走的路
程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度< br>为1600÷20＝80（米分），由此可求出A、B间的距离。

50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米分）

（80+50）×6＝130×6=780（米）

答：A、B间的距离为780米。

【方法二】设甲的速度是x米分钟

那么有(x-50)×26=(x+50)×6

解得x=80

所以两地距离为(80+50)×6=780米

5．小张与小王分别从甲、乙两村同 时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就
马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在 离乙村2千米处第二次相遇.

问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇 ）？

解：画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

3.5×3＝10.5（千米）.

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍 的路程.第四次相遇时，
两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

3.5×7＝24.5（千米），

24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

就知道第四次相遇处，离乙村

8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.

例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第 一段上，汽车速度是每小时40
千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度 是每小时
50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市