招兵网-高一周记

行程问题解题策略

很多孩子觉得行程很难。为什么呢？它过于动态，位置不 断发生变化。人数
和次数要是一多就更加不知所措。如何处理动态问题呢？在这里肖老师送大家四
个字以静制动。犹如打太极一样后发制人，先发制于人。什么是静态东西呢？这
就是不变量。在行程问 题中有显性不变量和隐性不变量。我们先说说显性不变量。

在这里我说说我是如何教学生行 程问题的。我从小学到高中一直经历过竞赛
并且一直在全国赛上至少得到二等奖。对竞赛的难点十分熟悉 ，一般竞赛书上行
程都是强调画图。可以这么说行程问题不是靠画图画出来的，而是需要整体把控。首先说下常用的显性不变量。路程和时间。一般来说大多题速度也不变，但速度
不变很难把握问题本 质。有些同学做多人行程问题很郁闷。在培训班学的不知所
措。其实很简单只要把握路程不变每次看2人 即可。根据需要去设时间或速度，
方程是很容易建立的。比如带休息的相遇问题其实我们只要管结果是走 了一个全
程局部合成整体问题也就解决了，一个方程就可以直接拿下。

很多问 题把握路程不变后局部合成整体一个方程就解决了。还有的就是时间
不变。做题的时候什么时侯能看出时 间不变呢？比如同时出发，第一反应就是时
间不变。这里如果没学比的知识考虑就是设时间为x，学了比 第一反应就是速度
比等于路程比。有些题往往有2个不变量时间和路程的。既可以设路程也可以设
时间。建议设时间。意思就是因数和积都不变。我们设因数更熟悉未必含有分母
的方程麻烦。听过我课 的同学应该清楚很多时候直接设积一个最小公倍数法就可

以解决问题。其实我讲不变量都 是从盈亏问题等最简单的讲起的。意思就是要小
孩感受因数和积不变。

通过一 个不变量去表示另外一个不变量。很多孩子听过我上牛吃草问题。在
这里一般培训班都是教竞赛书的路数 ，我这里讲的就是抓原有草和日长量不变。
方程的思路通过一个不变量去表示另外一个不变量。就是因数 和积不变。和多人
相遇问题一样，那个是相遇路程不变这个只是追及路程不变。关于牛吃草问题我
有个文件讲了7种方法。其实一般行程问题基本上只要抓路程不变或时间不变就
可以了。要不设不变的 时间要不局部合成整体就可以解决问题。这个思路同样还
可以解决面积问题。面积问题基本也就是面积不 变和高不变。要不局部合成整体
要不就是共边定理，这和今后用比例解题解决抽象问题可以打下坚实的基 础。

经典模型的积累。
1、多次相遇问题。直线型的每相遇一次加一个周期 2个全程。追及就是差
是一个来回。道理类似。如果您想不明白，可以假设一个人固定在一点不动就很< br>容易理解了。封闭的也是一个周期但只1个全程。
2、回头相遇模型。路程和2全程。路程差返 回距离2倍。这里往往和和差
问题结合。还有过中点相遇问题路程和1全程，路程差过中点距离的2倍。
3、流水问题中静水速度，水速的和差关系。
4、火车问题，不论相遇还是追及都是车长和。
5、时间点发生变化的题统一时刻的方法。

隐性不变量的积累。
1、如流水问题反向时候包括相向和背向而行的时候，速度和与水速无关，
等于两船静水速度和，同向的时候等于静水速度差。
2、合二为一的不变量。如电车发车问题的相遇 路程和追及路程是车间距不
变。其实我讲三人行程问题的时候先讲合二为一。为后来这些比较难的合二为 一
打基础。火车自行车行人那类的题。其实车头追上自行车的时候。车头i和自行
车多行人有相 同的相遇路程或追及路程，道理和电车发车问题类似。如不熟悉可
以拿3个实物去摆。二次追及问题两次 追及时刻间的时间段不变这是很难想到的
需要积累。
3、对称性的积累。特别是上下山问题， 上下坡问题，以及顺水和逆水问题。
往往上坡路程就是全程，相当于是方程组x和y在两个方程中系数交 叉的相等。
上下山和顺逆水问题往往也是有这个味道，之前我发过几个这样的例子在我博客
中论 坛中对南雅和湘1几个较难的行程问题都做了详细的分析。味道就是开始的
上坡就是返回的下坡，开始的 顺水就是后来逆水，开始的上山就是后来的下山。
很多题用对称性比方程组快的多，算术方法解决很难的 行程问题。

行程难题是需要显性和隐性不变量结合的。特别是流水问题，火车自行车行
人问题。在解决行程的时候往往还会与和差相关。一般就是相遇和追及结合的问
题往往就是和差 问题。流水问题的顺水其实可以看为相遇，逆水可以看为追及，
其中奥秘大家可以仔细揣摩。
最后提下基本思路
1、局部合成整体。整体不变方程解决。

2、设 不变的因数为x，这不仅仅行程很多类型的题都是这个思路。今后的浓
度问题典型的局部合成整体，其实 就是鸡兔同笼问题。第一类的相当于追及第二
类的相当于相遇。听过我上面积法的同学都应该很有体会。 这个相当于几何中的
面积不变。还有个就是时间不变相当于三角形的高不变。可以负责任的说百分之80的小学竞赛题包括那些计算公式可以用面积法解决。教那些特别厉害的孩子行
程还有那些难的题 我都是画面积图解的。

总之就是2个核心-----1抓不变量、2积累经典的模型。 这是快速提高行程实
力的不二法门。如您能对面积法有一定认识可以几个板块一起提升。我讲题不在乎什么题型什么套路，而是反其道行之的一个数学思想解决多少问题。很多时候
不在乎题目的难易而 在乎问题的实质。很多容易题的反思得出的结果就是解难题
的突破口。我和其他竞赛老师一个不同是，我 经历过孩子们经历过的这些，很多
是我以前摆平难题的经验，我以前做题最爱回头反思。一题多解所以思 路的广度
一直还是可以的。听过我课的小孩应该知道很多时候我的方法比培训班的简单的
多。外 面的班一般都是竞赛书的方法我觉得还不如看华罗庚学校的视频，那里的
思路还好得多。这个在我的博客 中也几乎汇总了。仁华学校的视频听不懂可以多
看几遍。您的理解肯定好的多。

这是我提示的思路和学习方向希望大家能喜欢。