张悦然经典语录-部队党员转正申请书

比例解行程问题



教学目标

1. 会解一些简单的方程.

2. 掌握寻找等量关系的方法来构建方程．

知识精讲


比例的知 识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角
色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活
性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于
工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同 路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时
间、路程分别用
v
甲
,v
乙
；t
甲
,t
乙
；s
甲，
s
乙
来表示，大体可分为以下两种情况：

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变 时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就
等于他们的速度之比。
s

s
甲
v
甲
t
甲
s
，这里因为时间相同，即t
甲
t
乙
t
,所以由
t
甲
甲
，t
乙

乙


v
甲
v< br>乙

s
乙
v
乙
t
乙
得到
t
s
甲
s
乙
sv

，
甲
< br>甲
，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比
v
甲
v
乙
s
乙
v
乙

2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之< br>比等于他们速度的反比。

s
甲
v
甲
t
甲
，这里因为路程相同，即
s
甲
s
乙
s
，由
s
甲
v
甲
t
甲
，s
乙
v< br>乙
t
乙


svt

乙乙乙
v
t
得
sv
甲
t
甲
v
乙
 t
乙
，
甲

乙
，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度 比的反比。
v
乙
t
甲

模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题
【例 1】 甲、乙两车从相距330千米 的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车
5
才从B城出发，并且甲车的 速度是乙车速度的。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，
6
则甲车开出 千米，乙车才出发。






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【例 2】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲 地出发前往乙地，途中，乘客问司
1
机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程 的加上未走路程的2倍，恰好等
3
于已走的路程，又知出租车的速度是30千米小时，那么现在 的时间是 。







【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米 的
地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好
是8千米，这时是几点几分？








【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46
追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起 学校的通知，欢欢立即调头，并将速
度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学
校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．








【例 4】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出， 第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进
到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处 相遇．求A、B两地间的距离？









【巩固】 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们
第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？








【巩固】 如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第
一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.
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【例 5】 甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在
甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲
每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟
走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．








【巩固】 甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，
并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？








【巩固】 甲、乙两人同时
A
地出发，在
A
、
B
两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次
到达
A
地 、
B
地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在
AB
之间行走方向不会改 变，已知
两人第一次相遇的地点距离
B
地
1800
米，第三次的相遇 点距离
B
地
800
米，那么第二次相遇的
地点距离
B
地 。






【例 6】 甲、乙两人同时从A地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲
每次到达 A地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会
改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二
次相遇的地点距离B 地多少米？







【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门 散步，他们相向而行，并且准时在途
中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每
分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？

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【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A，B两地同时出发，若相向 而行，则1时后
相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？








【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段9 千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽
1
车的速度是大卡车速度的3倍，两 车倒车的速度是各自速度的，小汽车需倒车的路程是大卡
5
车需倒车的路程的4倍．如果小汽车 的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少
小时?










【例 10】 一辆货车 从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。已知装满货物每时行50千米，空车
每时行70千米。 不计装卸货物时间，9时往返五次。求甲、乙两地的距离。







【例 11】 甲、乙两车往返于A，B两地之间。甲车去时的速度为 60千米／时，返回时的速度为40千米
／时；乙车往返的速度都是50千米／时。求甲、乙两车往返一 次所用时间的比。









【例 12】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追 上丙；甲比乙晚
出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？



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【例 13】 甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出
若干分 后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站
的距离的比是1 5∶16。甲火车从A站发车的时间是几点几分？








【例 14】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度 之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的
时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时每小时行2.5千米， 路程全长为20千米。此人走完全程需多
长时间？






【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶ 5，某人骑车走这三段路所
用的时间之比是6∶5∶4。已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用 了5时。问：全程多少
千米？





【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时 ，甲
车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两< br>站之间的距离为多少千米？








【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出 后60分相遇，
并继续前进。 问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？







2
【例 15】 从甲地到乙地全部是 山路，其中上山路程是下山路程的。一辆汽车上山速度是下山速度的一
3
半，从甲地到乙地共行 7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？

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【例 16】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后
乙 车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，
丙车每 分钟走多少米？







【例 17】 甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发，乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时，
甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问：到达C地时是什么时间？







【例 18】 甲、乙两车先后以相同的速度从 A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的三倍，
10点10分甲车距A站的距离是乙车 距A站距离的二倍。问：甲车是何时从A站出发的？






【例 19】 某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？ ”司机回答：“10
分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。 如果自行车
的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？







【例 20】 兄弟两人骑马进城，全程51千 米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千
米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马 和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马
的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此 地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则
何时能同时到达城里？









模块二：时间相同速度比等于路程比
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【例 21】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相
遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？






【例 22】 甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。相遇时，甲、 乙所行的路程比是a∶b。从相遇算起，
甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？






【巩固】 甲、乙两辆车分别同时从 A， B 两地相向而行，相遇后甲又经过15分到达B地，乙又经过1
时到达A地，甲车速度是乙车速度的几倍？







【巩固】 A，B两地相 距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了8
分到达B地，乙又 走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米？





【例 23】 甲、乙两人分别从
A、B
两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度 之比是3：2，相遇后，
1
甲的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达
B地时，乙离
A
地还有41千米，那么
A、B
3
两地相遇____ ______千米。





【例 24】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后
继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第
一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？







【巩固】 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速
3
度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇
7
的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？

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【例 25】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另
一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶
甲和乙， 以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发
到把信调过来后返回 B地至少要用多少时间。











【例 26】 甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，
两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的 D 处
相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？







【例 27】 如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇 后，甲继续向B地行走，乙
则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在 E处相遇，已知
甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（ ）米。

图3




【例 28】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相
遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千
米．那么 A、B 两地相距多少千米？





【例 29】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点
时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小
王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？



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【例 30】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其 中下坡路与上坡
路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，
第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路
比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？










【例 31】 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为
了尽快 到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某
地下车后步行去飞 机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学
生步行速度相同，汽车速度是 他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接
乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?









4
【巩固】 小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的倍，营地有一 辆摩托车，
3
只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。为了使小光和小明在最短时间 内到达，小明
和小光需要步行的距离之比是多少？









【例 32】 自行车队出发12分后，通信员 骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然
后通信员立即返回出发点，到达后又返回 去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。自行
车队和摩托车每分各行多少千米？





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【例 33】 B地在A，C两地之间。甲从B地到A 地去，甲出发后1时乙从B地出发到C地，乙出发后1
时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从 B地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的
速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发 到最终赶回B地所用时间最少，
丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？








【例 34】 甲、乙两 车分别从A，B两地同时相向开出，4时后两车相遇，然后各自继续行驶3时，此时甲
车距B地10千米 ，乙车距A地80千米。问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到
达A地？








【例 35】 甲乙两车 分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米时，乙车的速度是40千米
1
时，当甲 车驶过A、B距离的多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距______千米。
3





模块三：路程相同速度比等于时间的反比
【例 36】 明明每天早上7：00从家出发上学，7：30到校。有一天，明明6：50就从家出发，他想：“我< br>今天出门早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走lO米，结果他到校时比往常迟到了5分
钟 。明明家离学校________米。







【巩固】 小红从家步行去学校．如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟：如 果每分钟走90
米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？






【例 37】 甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同 的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时
到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己 出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行
的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6 分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞
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穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。





【例 38】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到
达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？



【例 39】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；
相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目
的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．







【例 40】 小芳从家到学校有两 条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上
学走这两条路所用的时间一样多 ．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速
度的多少倍？









3
【例 41】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小
4
3
时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到
4
达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？








【巩固】 王 叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了19，结果提前一个半小
时到达；返 回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高16，于是提前1 小时 40 分
到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？



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【巩固】 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以 原
速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。









【巩固】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离
后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？







3
【巩固】 一辆汽车按计划行驶了
1
小时 ，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划
5
的时间迟了2时。如果按计划 速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时
间只迟1时。问：计划速度是多少？全程有多远？








模块四、比例综合题
【例 42】 自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千 米。为行驶
尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车
上的一对轮胎最多可行驶多少千米?


【例 43】 1998年夏天长 江洪水居高下不，8月22日武汉关水位高达2932米，已知武汉离长江入海口1125
千米，而九江 离武汉关269千米。假设从武汉到入海口的长江江面搬相同，请计算当天九江的
水位是多少米。(取二 位小数)
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【例 44】 甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，
此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离．









【例 45】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？






【例 46】 如图5，甲、乙两地相距360 千米，一辆卡车载有6箱药品，从甲地开往乙地，同时，一辆摩
托车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车 速度是40千米小时，摩托车速度是80千米小时。摩
托车与卡车相遇后，从卡车上卸下2箱药品运回乙 港。摩托车到达乙地卸下药品后，又立即掉
头…摩托车每次与卡车相遇，都从卡车上卸下2箱药品运回乙 地，那么将全部的6箱药品都运
送到乙地至少需要多少时间？这时摩托车一共行驶了多少路程？




【例 47】 A，B两地相距125千米，甲、乙二人骑 自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行．丙骑摩
托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A出发 ，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返
回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米， 且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同
时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米． 问：当甲、乙二人相距20千
米时，甲与丙相距多少千米?







【例 48】 一座石台的下底面是边长为10米的正方形，它的一个 顶点A处有一个虫子巢穴，虫甲每分爬6
厘米，虫乙每分爬10厘米，甲沿正方形的边由A→B→C→D →A不停的爬行，甲先爬行2厘米
后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回 巢穴，然后乙再沿甲爬
行过的路线追赶甲……在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时 间？


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